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∫ 内積が不変という意味
2013 / 05 / 07 ( Tue )
ローレンツ変換は、ミンコフスキー内積を不変にする変換なので、
「内積が不変」とはどういうことかということをずっと考えていて、
この意味に2通りあることに気づきました。
それで、ちょっと混乱していたようで、そこが整理できると、すっきりしました!

まず、計量テンソル gmn を定義して、
その計量を用いた場合の内積 (x, y) というものを

(x, y) = xm gmn yn = xm ym  (1)

で定義します。
最後の等式には、計量テンソルによる降階を使っています。

これを別の座標系に座標変換したとすると、
(つまり、別の基底で見たとすると)

(x', y') = x'μ g'μν y'ν = x'μ y'μ  (2)

となります。

(1),(2)どちらの式もテンソルの縮約を使うと、スカラーになるので、
内積は、座標変換によらず不変ということになります。

xm gmn yn = x'μ g'μν y'ν  (3)

これは、一般的なテンソルの性質だから、どんな座標変換に対しても、成立します。

どうなっているかというと、
座標変換をすると、x も y も成分が反変的に変化しますが、
それに対して、計量テンソルが共変的に変化してくれるように作られていて、
それぞれの変化が相殺して、内積は変化しないというわけです。

つまり、 g が g' に変化しているというところがミソなんですね!

ここで、
ローレンツ変換がミンコフスキー内積を不変にするというのは、
そういう意味での内積不変ではなくて、

g を g'にせず、g のまま用いても内積が変化しない

という意味なんです。

すなわち、

xm gmn yn = x'μ gμν y'ν  (4)

(3)式と比べると、単に、g のプライム記号が取れただけです。
たった、これだけの違いですが、ここが混乱していると、理解できないですよね。

言い方を変えれば、共変的に変化した計量テンソルがそのままの形を保っている
つまり、

g = g'

となっているとも言えます。

例えば、ミンコフスキー計量ならば、g = diag( 1, -1, -1, -1)ですが、
これが変換後も g' = diag( 1, -1, -1, -1) のままで形が変わらないということですね。

だから、「変換によって、計量(テンソル)が不変である」と言った方が分かりやすいのかなあ。
こういう言い方が合ってるかどうか分かりませんが・・・

そして、このような内積不変性は、ミンコフスキー内積に対しては、
ローレンツ変換でしか成立しないことになります。

ここのところが分かったことでだいぶ理解が深まりました。
・・・って、普通そんなに混乱しないものなんだろうか???
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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