スポンサーサイト
-- / -- / -- ( -- )
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
-- : -- : -- | スポンサー広告 | page top↑
∫ n次元図形の表裏
2013 / 05 / 01 ( Wed )
一般のローレンツ変換(ローレンツ群)について、理解を深めたいと思い、
あれこれ考えているうちに、興味がどんどん飛び火してしまい、

n次元空間上の図形にも、表と裏があるか?

という疑問がわいて、このところずっと調べてました(笑)

「表と裏」という表現が正しいかどうかは分かりませんが、
ここに至った経緯は次の通り。

ローレンツ変換は、ミンコフスキー内積を不変にする変換だから、
まずは、ユークリッド内積を不変にする変換を考えて、
それとのアナロジーで理解しようと思ったわけです。

ユークリッド内積(通常の内積)を不変にする変換というのは、
ATA = 1 を満たす直交行列で表される直交変換です。

要するに、ベクトルの長さとベクトル間の角度を変えない変換だから、
回転とか鏡映とかのような変換でしょう。

2次元だと、簡単に計算できて、確かに、回転変換か鏡映変換になります。
この2つは行列式が1か-1かで決まるのですが、

そういえば、一般の一次変換の場合でも、
変換後の図形の面積は、行列式倍されて、
行列式の値が負の場合は、図形が裏返しになる(つまり、鏡映操作が含まれる)
・・・と、高校で習った記憶がありましたね。

実際、どうして、そのようになるんだっけ?
と思い出しながら、2次元の場合は簡単な計算で理解することができました。

それでは、n次元の時はどうなるんだろう?
ということが気になり始め、
そもそも、n次元でも表裏という概念があるんだろうか?
という疑問に発展(笑)

2次元の場合は、
たとえば、「さ」という図形に鏡映変換を施すと、
「ち」という図形になるといったイメージですね。

3次元の場合は、「右手系」と「左手系」ということになるようです。
立体的に考えた場合、右手の形をいくら回転させても、
左手の形に一致させることはできないですよね。
一致させるには、必ず、鏡映変換が必要になります。
3次元の場合も、行列式が負の時に、右手系と左手系が入れ換わるようです。
(ちゃんとした計算はまだ追えてませんが・・・)

n次元の場合でも、「右手系」と「左手系」に相当するものがあるんだろうかと
調べてみたら、まだ断片的な知識しかありませんが、
どうやらありそうですね。

「有向体積」という概念があるらしく、
n次元体積にも向きがちゃんと定義できるようです。
その定義に、行列式が使用されているので、
やはり、行列式の正負でその向きが入れ換わりそうな感じです。

そういえば、n次元体積も変換によって、行列式倍されるというのは、
重積分の変数変換をする場合に、ヤコビ行列式として、出てきますよね。
そうそう、これもちゃんと理解したかったのでした。

それはそうと、この有向体積という概念、
3次元の場合は、ベクトル積に結び付けられますが、
ベクトル積は、行列式で表現できるんですよね。

そして、n次元の場合にも、ベクトル積は定義できるらしく、
それにも行列式が使われているようでした。

う~ん、この「有向体積」と「行列式」と「ベクトル積」の関係が
統一的に理解できると、すっきりするんだけどなあ・・・
と言いつつ、あんまり深みにはまってしまってもというのもあります^^;

とりあえず、n次元は置いておくことにして、
3次元の直交変換については、直交群として、
量子力学でも重要となってくるので、おさえておきたいなと思っているところです。

しかし、線形代数の幾何学的側面には、
今まで正直あんまり興味がわかなかったのですが、
結構、面白そうですね。
アフィン幾何学とかユークリッド幾何学、ちょっと勉強してみようかな・・・
って、結局ハマってるじゃないですか(笑)


この記事は、にわか勉強でかなりいい加減に雰囲気で書いていますので、内容注意です。

参考文献
岩堀 長慶 「線形代数学」(裳華房)
斉藤 正彦 「基礎数学1 線型代数入門」(東大出版会)
スポンサーサイト

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 12 : 12 | 数学(代数・群論) | コメント(0) | page top↑
<<♪ ノクターン20番 (1) ビフォー版 | ホーム | ∫ 数学を理解しやすくする方法 (1)>>
コメント
コメントの投稿














管理者にだけ表示を許可する

| ホーム |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。