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∫ 電磁誘導のガリレイ不変性
2013 / 04 / 16 ( Tue )
前回、単位系に依存しないマックスウェル方程式を導出しましたが、
これから、係数の依存関係を求めていきます。

一つ目は、電磁誘導のガリレイ不変性から。

厳密には、マックスウェル方程式は相対論的なローレンツ不変性が成立しますが、
Jacksonにならって、ここでは、v/c << 1 の範囲で、
近似的に非相対論的なガリレイ不変性で考えて、係数の依存関係を求めます。

考えたいのは、このような話。

induction-lorentz-invariance.jpg

電磁誘導を考えた時、磁石の方を動かしても、回路の方を動かしても、
同じだけの誘導起電力が発生します。

高校物理では、回路の内部を貫く磁束はどちらも同様に変化するから
同じ現象という扱いで、さらっと説明されていると思いますが、
これは実は、

「回路が静止した座標系(左図)と磁石が静止した座標系(右図)の
どちらの系から見ても、電磁気学の法則は不変である」


という相対性原理を前提としている話。

というわけで、相対性原理(ガリレイ不変性)を前提すると、
係数にどのような依存関係が出てくるかを見ていきます。

induction-gallilean-invariance.jpg


図のように、回路 C が実験室系に対して、速度 v で動いている
状況を考える。

実験室系から見た場合も、回路とともに動く座標系から見た場合も、
以下の法則が成立する。

C E・ds = - k3 (d/dt)∫S B・dS   (1)

実験室系で見た場合、
磁束の変化は、実際に各点の磁場が変化していること
(∂B/∂tによる効果)に起因するので、

C E・ds = - k3S (∂B/∂t)・dS   (2)

一方、回路とともに動く系で見た場合、
磁束の変化は、回路Cが動くことによる位置の変化による磁場の変化
も考慮しなければならない。

回路内部の磁場のトータルな変化は、
もともとの各点の磁場の変化に加えて、回路が動くことによる変化が加わる。

dB/dt = ∂B/∂t + (v・∇)B   (3)

ベクトル解析の公式
×(a×b) = a(∇・b) - b(∇・a) + (b・∇)a - (a・∇)b   (4)
を用いて、
×(B×v) = (v)B - v(B)   (5)
となるから、(v は一定)

dB/dt = ∂B/∂t + ×(B×v)   (6)

ここで、マックスウェル方程式から ∇・B = 0 を用いた。

これを最初の式(1)に代入して、ストークスの定理を用いて整理すると、

C (E' - k3 v×B)・ds = - k3S (∂B/∂t)・dS   (7)

ただし、E' は、回路とともに動く系から見た誘導電場で、
実験室系から見た誘導電場 E と区別するために、' をつけた。

(2)と(7)を比較すると、

E = E' - k3 v×B

すなわち、

E' = E + k3 v×B   (8)

つまり、実験室系から見た場合には、
誘導電場に加えて、k3 v×B という追加項が付加されることが分かる。

これは、実際に回路が存在した場合に、
電荷が動くことによるローレンツ力と解釈することができるので、

以前の記事に登場したローレンツ力の式
E = F/q = (1/α) v × B    (9)

と比較すると、

k3 = 1/α   (10)

という関係式が得られる。

これで、係数の依存関係が一つ求められました。


参考文献
J.D.Jackson Classical Electrodynamics
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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

23 : 47 : 11 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(2) | page top↑
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コメント
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本題とは全く関係ないんですけど・・
こういう図が描きたかったんですね!笑
結局Excelなんですか~?
by: Sleeping * 2013/04/17 13:02 * URL [ 編集] | page top↑
--Sleepingさんへ--

>本題とは全く関係ないんですけど・・
>こういう図が描きたかったんですね!笑

そうなんですよ。

>結局Excelなんですか~?

ExcelやPower point(使ってるエンジンはおそらく同じ)で描きました。
磁石の部分の直方体とか、ベクトルの矢印とか、
初めからコンポーネントがある程度そろっているので、
下手に高級な描画ソフト使うより描きやすいですね(笑)

FC2のお絵かきエディターがもう少し高機能だといいんですけどね、
あまりにひどすぎると思いません???(笑)
by: dyne→Sleepingさん * 2013/04/17 13:23 * URL [ 編集] | page top↑
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