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∫ 計量テンソル
2013 / 04 / 02 ( Tue )
計量テンソルについて、まとめておきます。

定義

gmn = emen   共変
gmn = emen   反変
gmn = emen = δmn   混合

最後の混合形については、双対基底の定義から
必ず、クロネッカーのδになる。

対称性
実数ベクトルのみを考えると、
gmn = gnm
gmn = gnm
gmn = gnm

内積
計量テンソルが定義されると、
次のように、ベクトル同士の内積が計算できるようになる。

AB = Am em・ Bn en = Am gmn Bn
AB = Am em・ Bn en = Am gmn Bn
AB = Am em・ Bn en = Am δmn Bn = An Bn
AB = Am em・ Bn en = Am δmn Bn = An Bn

最後の2つは重要なので、再掲。
AB = An Bn = An Bn

昇階・降階
Am em = Ak ek
の両辺に、enを掛けると、
Am gmn = An   昇階

同様に、enを掛けると、
Am gmn = An   降階

というように、計量テンソルを使うと、添え字を自由に上げ下げできる。

また、上の2つの関係を見ると、昇階と降階は逆変換なので、
gmngmn は互いに逆行列の関係になっている。

・・・と、このぐらいで、
特殊相対論の範囲は大丈夫なんじゃないかと思っています。
一般相対論になると、共変微分とか曲率テンソルとか
いろいろややこしそうなのが出てきて、大変そうだけど・・・(汗)


参考文献
岡部洋一 講義資料「座標変換」
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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