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∫ 99次方程式~解答編 (2)
2013 / 03 / 18 ( Mon )
昨年の99次方程式の問題の解答編がまだ終わってませんでした
問題をもう一度、掲載します。

問題

次の99次方程式を解け!(笑)

x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1 = 0

複素数の範囲で解をすべて見つけてください。



初めてご覧になって、挑戦してみたくなった方は、
以下の「続きを読む」をクリックしないでくださいね(笑)
解答編(1)では・・・
x = 11/100 (ただし、1を除く)

つまり、
「1の100乗根(100乗したら1になる数)の中で、1以外のもの」
という答えまで行き着いたところでしたね。

「方程式を代数的に解く」とは、
「有限回の四則演算とべき根(○乗根)で解を表現する」という意味なので、
これが答えと言ってしまって、全く問題ありません。

といっても、これがどんな数なのかさっぱり見当がつかないと思いますので、
n乗根とは、どういう数なのか?
もう少し掘り下げてみます。

それには、複素数を図で表すための複素平面という便利なものを導入します。

ちなみに、この複素平面、最近の指導要領では高校でも習わないそうだとか(x_x
複素数の本質を表していると言っても過言ではない複素平面を習わなくなったとは・・・

まあ、虚数の重要性なんて、高校の段階では分かりにくいかもしれませんね。
数は、複素数(実数+虚数)になってはじめてその本質が現れる!
と言ってもいいぐらいに重要な概念なのですが・・・

実数は、単にその片割れを見てるだけ。
実数だけ見てると、さも複雑そうに見えることが、
複素数にするとすごくシンプルなことだったり。
実数は、たとえて言うと、氷山の一角。
あの海面上に現れている部分だけを見てるようなものですね(笑)

物理に至っては、現代物理の根幹となっている量子力学が
そもそも複素数で記述しないと成り立たない学問ですからね。
世の中、複素数で成り立っているといってもいいでしょう!
今度、虚数がなかったら、どんなに大変なことになるか・・・
という記事でも書こうと思います^^;

・・・と、脱線はこれぐらいにしておいて(笑)、
まずは、複素平面の説明。

たとえば、x = a + ib という複素数(a, bはそれぞれ実部、虚部)を考えた時、
実部の a を横軸(実軸)に、虚部の b を縦軸(虚軸)にして、図のようにプロットします。
Complex01.jpg
このような座標平面を複素平面と呼びます。
Re と書いたのは、実部(Real part)の略で、
Im と書いたのは、虚部(Imaginary part)の略。

次に、図のように、この点と原点の間の距離を R として、半径 R の円を描きます。
その半径の線(動径と呼ぶ)と実軸(Reと書いた軸)のなす角をθとすると、
Complex02.jpg
三角関数を使って、

a = R cosθ
b = R sinθ


と表せることが分かります。
つまり、複素数 x は、

x = a + ib = R ( cosθ + i sinθ )

と表せることになります。

ここで、この( )の中の式
cosθ + i sinθ

これを見て思い出すのが以前にいろいろな証明を記事にしてきた
オイラーの公式!

e = cosθ + i sinθ

こんなところでも役に立つんですね。
(注:以前は x という文字をつかっていたところをθに変えてあります)

この公式を使うと、複素数 x は、

x = R e

と表せてしまうんですね!
この表現は、複素数の極形式と呼ばれ、とても便利な表現なのです。

ここまで来たら、いよいよ、1のn乗根を考えてみます。

xn = 1

を満たす x のことでしたから、
これに先ほどの極形式で表現された x を代入してみると、左辺は、

xn = ( R e )n = Rn (e)n = Rn einθ

となります。

右辺の1の方も極形式で表してみます。
複素平面上では、1は、実軸(横軸)上の1の目盛にある点だから、
1 = 1 ・ ei ・ 0
と表せます。
しかし、実は、角度の方は、必ずしも、0でなくても、2π(= 360°)の整数倍でもよいので、
もう少し一般的には、k を任意の整数として、
1 = 1 ・ e2πk i     (kは整数)
と書けます。

両辺を並べてみると、
Rn einθ = 1 ・ e2πki

両辺をよく見比べると、
Rn = 1
nθ = 2πk

とならなければならないことが分かりますね。

一つ目の式を見ると、もともと、R は距離なので、R≧0 の実数だから、
R = 1
二番目の式からは、
θ = 2πk/n

ここで、kは任意の整数ですが、
2π足したり引いたりしたものはすべて同じ角度を表すので、
このうち、同じ角度にならないものは、

k = 0, 1, 2, ・・・, n-1

の n 個だけとなります。
(たとえば、k = n は、k = 0 と同じになってしまう)

というわけで、1のn乗根は、最終的に、

x = Re
= e2πk i / n
= cos (2πk / n) + i sin (2πk / n)   (k = 0, 1, 2, ・・・, n-1)


と書くことができます。

今回の問題で求めたい解は、1の100乗根ですから、n = 100を代入して、

x = cos (πk / 50) + i sin (πk / 50)   (k = 1, 2, ・・・, 99)

となります。
ただし、「1を除く」でしたから、1に相当する k = 0 は除きました。

これを複素平面上で表したのが以下の図です。

Complex03.jpg

全部、図に書くことはできませんが、
半径1の円周上で、一周(2π)を100分割した●の点がすべて、1の100乗根になります。
1は除くので、実軸上の1の点のみ○にして、除いてあります。

というわけで、もう少しほんとは分かりやすく書きたかったけど、無理でしたね~(汗)
これにて、99次方程式の話はおしまいです!
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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