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∫ 静磁場 (1)
2013 / 01 / 24 ( Thu )
電磁気学を復習しながら、
単位系に依存しないマックスウェル方程式を導くシリーズ。

前回は、「静電場」について書きましたが、
今回は、静磁場について。

静電場は、電荷と電荷の間に働く力を生み出すものであるが、
静磁場は、電流と電流の間に働く力を生み出す。

「場」の考え方では・・・

電流(密度) jj' の間に働く力を
(i) 場所 x' にある電流 j' が電流 j の場所 x に、磁場 B を作り、
(ii) 電流 j は、磁場 B から力 F を受ける。
と二段階に分けて考える。

(ii)は、アンペール力の式
F = (1/α) j × B  (1)
で表され、磁場の大きさの定義を与える。

MKSAでは、ここに比例定数がないので、違和感がありますが、
磁場の大きさ(単位)の決め方は自由なので、
ここに比例定数があってもいいんですね。

同様に、電場の定義においても、比例定数を入れて、
F = (1/β) q E  (2)
とすることもできそうですが、
こちらにも比例定数の自由度を持たせた単位系は、歴史的に存在しないのか、
こちらは、比例定数を暗黙のうちに、1としています。

話をアンペール力の式に戻して、
電荷 q が速度 v で運動している場合には、j = qv となるので、
ローレンツ力の式にも同様の比例定数がつきます。
F = (1/α) q v × B   (3)

(i)の方は、ビオ・サバールの法則で与えられる。
B(x) = k2α ∫ j(x') × r / r3 dx'  (4)
r = x - x'

比例定数の置き方がちょっと変に見えますが、
電流どうしに働く力を考えるた時、(4)を(1)に代入すると、
係数αが消えて、係数 k2のみになるようにしています。
(Jacksonの本の表記に倣っています)

ここで、
×( j/r ) = (1/r)×j = j×r / r3  (5)
は、xに関する微分で、x'には作用しないことに注意!)

を用いると、(4)は、

B(x) = ×A(x)  (6)

A(x) = k2α ∫ j(x')/r dx'  (7)

というように、磁場はベクトルポテンシャルを用いて表すことができる。

恒等式 ∇・∇×A = 0より、

∇・B(x) = 0  (8)

この式は、マックスウェル方程式の一つであり、
単磁荷(モノポール)が存在しないことを示す。

長くなってしまったので、静磁場は2回に分けることにして、続きは次回。

参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics
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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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