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∫ 静電場
2012 / 12 / 05 ( Wed )
さっそく、電磁気学の復習をさらっと・・・

物質中はいろいろと難しいので、後回しにして、
すべて真空中で考えます。
仕事では物質中の方が重要なのですが(汗)、
とりあえず、相対論や場の量子論では真空中でよさそうなので・・・

今回は、静電場の話。

クーロンの法則
点電荷 q (位置x) が 点電荷 q'(位置x') から受ける静電気力は、
各電荷に比例して、距離 r の2乗に反比例する。
(向きまで考えて、単位ベクトル r/r を追加している)
F = k1 q q' r / r3   (r = x - x')

これを電磁気学では、遠隔作用ではなく、「場」を介した近接作用の立場で理解する。
つまり、電荷 q' が xの位置に電場 E を作り、電荷 q は電場 E から力を受けると考える。

F(x) = q E(x)
E = k1 q' r / r3


電荷が連続的な密度分布ρ(x')の場合に拡張して、
E(x) = k1 ∫dx' ρ(x') r / r3

以上が静電場の基本式。

(1/r) = - r / r3
を用いると、

E(x) = - φ(x)
φ(x) = k1 ∫dx' ρ(x') / r

と変形できる。

この計算において、∇の演算は観測点 x に対する微分操作であり、
x' に対しては作用しないので、ρ(x')などは定数として扱えることに注意。

恒等式 ∇×∇ φ = 0 より、
∇×E(x) = 0

ただし、あくまでも、静電場の場合。
後述する誘導電場が入ると、この限りではない。
後に、電磁誘導の効果を入れたものが、マックスウェル方程式の第3式になる。

ストークスの定理から、任意の閉曲線C(内部の面をSとする)に対して、
C E・ds = ∫S (∇×E)・dS = 0

となるから、任意の2点間で電場がなす仕事は経路に依存しない。
つまり、電場は、保存力場であり、
位置エネルギー的な意味でのポテンシャルが定義できる。
φは静電場 E を与える静電ポテンシャル

そして、こんな論理展開は普通ないとは思うのですが、
答を知っているので、最速で行くために、
いきなり、電場の発散を計算します。

∇・E(x) = - ∇・∇φ(x) = -∇2φ(x)
= - k1 ∫dx' ρ(x') ∇2(1/ r)


ラプラシアンの部分は、デルタ関数を用いて、以下のように書き直せる。
(証明はこちらの記事
2(1/ r) = - 4πδ(r)

これを用いて、
∇・E(x) = 4πk1ρ(x)

これがマックスウェル方程式の第1式。

以上で、静電場は終了。
次は、静磁場を復習します。


参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

追記(2013/1/21)
今後の記事との統一性のために、
div, grad, rot をすべて、を用いた表記に変更しました。
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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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