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∫ 99次方程式
2012 / 09 / 06 ( Thu )
ちょっと面白そうな数学の問題を思いついたので、出題してみます。
(ひょっとすると、僕が知らないだけで、定番の問題なのかもしれませんが・・・)

問題

次の99次方程式を解け!(笑)

x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1 = 0

複素数の範囲で解をすべて見つけてください。
代数学の基本定理から、解は最大で99個あるはずですね!

先日、mixiの方でつぶやいた時には、100次方程式にしてたのですが、
99次に変えました。
というのも、99次にすると、おもしろいことに、
実数解が一つだけ存在するんです!
その実数解は、たぶん、あてずっぽうでもすぐに見つけられますよね。
複素数の範囲だと、他にもたくさん解があります。

純粋に高校の範囲だと、残念ながら、たぶん最後の解までは行きつけなくて、
少しだけ大学レベルの数学を使います。
(ひょっとしたら、高校レベルで解けるエレガントな方法があるのかもしれませんが)

答えが分かったら、どんどんコメントしてくださいね!
しばらくしたら、別記事にて、解答をアップします!
・・・と言いつつ、自分で考えた解答なので、間違ってたらすみません(汗)
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

19 : 25 : 05 | 数学(高校+α) | コメント(8) | page top↑
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コメント
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すみません、当てずっぽうの方法しか分からないんですけど、-1ですか?

+1を右に移すと、X99(小さく書けない)+・・・Xまでの合計が-1になりますよね。
用語が分からないので上手く説明(証明?)できませんが、隣り合うたとえばX99とX98は打ち消しあって0になるので・・・

ここまでは簡単なんでしょうけど、これの全部の解をdyneさんがどうやって素人に(笑)分かりやすく解説されるのかが興味あります。

というか大学レベルの数学なんて分からないので無理ですね。。そもそも高校の数学も途中から全く分からなくなりましたし・・汗

私の大学時代の友達(女性です)に数学専攻の人がいて、それはそれは楽しそうに数学のことを語ってました。今は大学教授で、双子の母で、面白い人です。

数学者といえば、藤原正彦さんのエッセイは面白いですよね。イギリス留学記が大好きです。

話が脱線しすぎてすみません。。
by: Sleeping * 2012/09/12 09:58 * URL [ 編集] | page top↑
--Sleepingさんへ--

>すみません、当てずっぽうの方法しか分からないんですけど、-1ですか?

そうです!
実数解は、-1です!!!
説明も、まさに書いていただいたとおりで、
偶数次の項が+1で、奇数次の項が-1になるので、
隣り合う項がすべて打ち消しあって、ゼロになって、
右辺と等しくなるから、解になります。

>ここまでは簡単なんでしょうけど、これの全部の解をdyneさんがどうやって素人に(笑)分かりやすく解説されるのかが興味あります。

え!?大学レベルの数学で、さらっと書いちゃって
終わりにするつもりだったんですが、
やっぱり、分かりやすく書かないとダメですかね?(汗)
書けるかな・・・

丁寧に書いても、それだけ長くなるから、いずれにしても、
数学嫌いな人は見るだけで嫌になって、読んでいただけないような・・・笑
Sleepingさんはお好きそうだから、大丈夫ですけどね^^

>というか大学レベルの数学なんて分からないので無理ですね。。そもそも高校の数学も途中から全く分からなくなりましたし・・汗

Sleepingさんは数学とかそっち系お得意な気がしてましたよ。

>私の大学時代の友達(女性です)に数学専攻の人がいて、それはそれは楽しそうに数学のことを語ってました。今は大学教授で、双子の母で、面白い人です。

そうなんですね。
数学の好きな女性って、わりと多いですよね。
神秘的でパズル的要素もあるから、魅力に感じる方も多いんでしょうね。

これが物理になると、お固いイメージとかメカっぽいイメージが出るから、
とたんに嫌いって言う人が多くなるんですよね・・・汗
実は、物理も難しくなってくると、絵的イメージがなくなってきて、
数式ばかりいじってくるので、数学とほとんどやってること
変わらないんですけどね(笑)

>数学者といえば、藤原正彦さんのエッセイは面白いですよね。イギリス留学記が大好きです。

読んだことないですね。チェックしてみたいと思います^^
by: dyne→Sleepingさん * 2012/09/12 19:01 * URL [ 編集] | page top↑
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目の子でx=aが根とわかったら、左辺はx-aで割り切れるわけで、以下割り算を繰り返していけばよいのですがどうやら実根はひとつしかないようですね。

んで、根性がないわたしは計算機に聞くわけです。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%5Bk%3D0%2C99%5D%28x%5Ek%29+%3D+0
by: shig * 2012/09/14 14:15 * URL [ 編集] | page top↑
--shigさんへ--

>目の子でx=aが根とわかったら、左辺はx-aで割り切れるわけで、以下割り算を繰り返していけばよいのですがどうやら実根はひとつしかないようですね。

因数定理というやつですね^^

>んで、根性がないわたしは計算機に聞くわけです。
>http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum%5Bk%3D0%2C99%5D%28x%5Ek%29+%3D+0

こんな計算してくれる便利なサイトがあるんですね!@@
・・・と言いつつ、以前に何かで使ったことがあったような覚えも・・・汗
なんだったかな???

ところで、shigさんって何でもよくご存知ですよね!
いったい、何がご専門なんですか?・・・笑
by: dyne→shigさん * 2012/09/15 00:00 * URL [ 編集] | page top↑
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何処かで聞いたんですけど“愛は全ての答”, 実数ではないんですけどもしかしたら i も答でしょうか ?
by: 渡 弘道 * 2012/09/15 11:02 * URL [ 編集] | page top↑
--渡さんへ--

>何処かで聞いたんですけど“愛は全ての答”,

おお、「愛はすべての答え」・・・素敵な言葉ですね!^^
ヘーゲルの「愛による運命との和解」みたいですね!
(不勉強ゆえ、真の意味は分かっておりませんが・・・^^;)

>実数ではないんですけどもしかしたら i も答でしょうか ?

ほんとですね。
i もちゃんと解になってるではないですか。
まさに、苦渋苦次方程式からの愛による和解ですね(笑)

・・・などということを言ってる場合ではなく、
そろそろ解答を示すことにいたしますね^^;
by: dyne→渡さん * 2012/09/16 22:56 * URL [ 編集] | page top↑
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>いったい、何がご専門なんですか?・・・笑
自分でもよくわかりませぬ(爆)
大学で専攻していた(ハズ)のことはまぁ~ったく仕事に使ってない気が、します...
by: shig * 2012/09/17 01:28 * URL [ 編集] | page top↑
--shigさんへ--

>自分でもよくわかりませぬ(爆)

あれ、分からないのですか?(笑)

>大学で専攻していた(ハズ)のことはまぁ~ったく仕事に使ってない気が、します...

大学で何を専攻されてたのかも興味ありますが、
ここではなんでしたら、また今度お会いした時にでも教えてください^^

僕も興味の範囲はわりと幅広いんですが、
全部浅いので、shigさんのように全部知識が深い人は
すごいなあと思うんですよ(笑)
by: dyne→shigさん * 2012/09/17 22:53 * URL [ 編集] | page top↑
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