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∫ 共変と反変
2012 / 09 / 22 ( Sat )
以前、「特殊相対論における共変と反変」の記事を書いた時に、
共変と反変について、少し勉強しましたが、
理解したことを冷めないうちにまとめておきます。。。

内容は主に、放送大学長の岡部洋一先生のページの「座標変換」の講義資料を参考にしています。
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html

座標変換を考える。
xm → xμ

以前の記事でも書いたように、
旧座標系を英文字、新座標系をギリシャ文字で表すことにする。

位置ベクトルの全微分 dx を新旧座標系の基底で表すと、
dx = dxm em = dxμ eμ   (1)

注1:基底は正規直交基底である必要はない。
注2:なぜ、微分を考えるかというと、
   一般相対論のような曲線座標では局所でしか考えられないから。

成分の変換則は、微分則から、
dxμ = ∂m xμ dxm
dxm = ∂μ xm dxμ  (2)

ここで、
m xμ ≡ ∂xμ / ∂xm
と定義する。

(2)を(1)に代入すると、
eμ = ∂μ xm em
em = ∂m xμ eμ   (3)

という基底の変換則が導かれる。

基底の変換則を基準に見ると、
dx の成分の変換則は基底の変換則と反対になっているので、
反変であるという。

一般のベクトル A についても、基底で分解すると、
A = Am em = Aμ eμ   (4)
となり、(1)と同様だから、Amは、反変成分となる。
Aμ = ∂m xμ Am
Am = ∂μ xm Aμ  (5)



では、共変とは何ぞやと言うと・・・
双対基底 em なるものを考える。

定義は、
emen = δnm  (6)
を満たすような em のこと。

双対基底の変換則はどうなるかというと・・・
変換後も、
eμeν = δνμ  (7)
が成立してなければならず、もとの基底の変換則(3)を用いると、
eμ = ∂m xμ em
em = ∂μ xm eμ   (8)
と、もとの基底の変換則と反対になっていることが分かる。

一般のベクトル A を双対基底で分解すると、
A = Am em = Aμ eμ   (9)

成分 Am の変換則は、
Aμ = ∂μ xm Am
Am = ∂m xμ Aμ  (10)

となり、元の基底の変換則(3)と同じになる。
そこで、これを共変であると呼ぶ。

ここまでをまとめると・・・

ある基底で表した成分は、基底の変換則と反対の変換則になる→反変成分

双対基底で表した成分は、基底の変換則と同じ変換則になる→共変成分


基底も「共変基底」、「反変基底」と呼ぶと分かりやすいと思うのですが、
教科書でそう呼んでいる例があまりないみたいです。
(ネットの記事ではよく使われているようなので、間違いではないと思うのですが・・・)

あともう一つ、便利な式(定義式(6)から直接導かれる)
Aem = Am
Aem = Am


それから、もともとの基底が正規直交基底の場合。
双対基底は、もとの基底と一致する!

というわけで、自分用にということで、
無駄をなるべく省いて、簡潔にまとめたかったのですが、
それでも、かなり長くなってしまいましたね。ふ~っ(汗)

計量テンソルについても、まとめておきたいのですが、次回。


参考文献
岡部洋一 講義資料「座標変換」
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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