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∫ 線形写像の行列表現
2012 / 06 / 27 ( Wed )
量子力学で「演算子の行列表現」の記事を書く前に、
線形代数で出てくる「線形写像の行列表現」について、
軽く復習しておこうと思います。

ベクトルは基底を指定することによって、成分表示で表せる。

例えば、n次元ベクトル空間 V の基底を

{ e1, ..., en }

と指定してやると、任意のベクトルv ∈ V は、

v = v1 e1 + ・・・+ vn en

というように、基底で展開した形で一意に表せるので、

v = ( v1, ・・・, vn )

というように、成分で表示することができる。

次に、このベクトルに作用する線形写像 T を考えて、
線形写像 T によって、ベクトル空間 V のベクトルは、別のベクトル空間 V' (次元 はn'とする)に移るとする。

V' の基底も

{ e'1, ..., e'n' }

というように指定してやると、

ベクトルv に対して、写像Tを作用させたベクトル

v' = Tv ∈ V'

も同様に、

v' = v'1 e'1 + ・・・+ v'n e'n'

のように基底で展開することができ、

v' = ( v'1, ・・・, v'n' )

のように成分表示することができる。

ここで知りたいことは、
この v の成分と、v' の成分との間にどのような変換則が成り立つか?
ということ。

ここで、基底は、線形独立でありさえすれば、なんでもよいのですが、
後に、量子力学と関連づけたいので、正規直交基底としておきます。
つまり、基底はすべて長さ1の単位ベクトルで、お互いに直交している。

もう少しきちんと言うと、ベクトル空間 V, V' においては、内積が定義されていて、

(ei, ej) = δij
(e'i, e'j) = δij


となっていると仮定する。

Vの各基底に線形写像Tを施したものを考えると、これらは V' の元だから、V'の基底で表すことができる。

Tej = Σi aij e'i  (☆)

基底の正規直交性を仮定したので、係数は、次のように書けることが分かる。

aij = ( e'i, Tej )

v を基底で表して、

v = Σj vj ej

これに、Tを施すと、v'になるから、

v' = Tv = T Σj vj ej = Σj vj T ej

☆を代入して、

v' = Σj vj Σi aij e'i = Σi [ Σj aij vj ] e'i

一方、v' を基底で表現した式

v' = Σi v'i e'i

と見比べると、

v'i = Σj aij vj

となることが分かる。

ここで、(i,j)成分が aij となる行列

A = [ aij ] 

を考えると、行列とベクトルの積の演算則から、

v' = A v

と書けることになる。

つまり、写像を施す前後のベクトルの成分の関係は、行列で表現できる
ということが分かりました。
この行列 A が線形写像 T の表現行列 となります。

量子力学に応用するために、もう一度、要点だけを書いておくと・・・

基底として正規直交基底を選んでおけば、線形写像は、

aij = ( e'i, Tej )

で定義される行列で表現できる!


ということです。



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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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