スポンサーサイト
-- / -- / -- ( -- )
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
-- : -- : -- | スポンサー広告 | page top↑
∫ iのi乗
2012 / 06 / 19 ( Tue )
追記 (2015/2/25)
ご指摘をいただき、この記事の内容は間違っていることが判明しました。
複素数では一般に指数法則が成立しないため、下記証明は成立しません。
正しくは、定義に基づいて、log を使って表し、
主値を取るという手続きを経由しなければならないようです。
詳細は、物理ブログの記事のコメント欄をご参照ください。


i の i 乗って、計算できますか?
(ここでいう i は、2乗したら -1 になる虚数単位の i のことです)

そもそも、i じたい訳のわからない数なのに、
それを i 回かけるって、意味分からない!


って感じですよね(笑)

まずは、天下のGoogle様にやっていただくことにしましょう。

Google画面で、「i^i」 と入力して、検索ボタンを押してみます。
(「^」の記号は、「○乗」の意味で、右肩の小さい数字が書けない環境で使う記号です)

すると、Google様は、ちゃんと計算して、答を出してくれるんですよ。

i^i = 0.207879576

驚くべきことに、虚数の虚数乗なのに、答えはなんと、実数!

これを自分で計算してみましょう。
実は、以前から記事にしているオイラーの公式

e ix = cos x + i sin x

を使うと、簡単にできます。

ここで、x = π/2 を代入すると、

cos (π/2) = 0
sin (π/2) = 1


なので、

e πi/2 = i

という関係が得られます。

これを用いると、

i i = [ e πi/2 ] i = e πi/2 × i = e -π/2

ここで、指数法則 [ e a ] b = e ab と、i2 = -1 を使いました。

というわけで、答は、

i i = e -π/2

となり、見事に i が消えてしまって、実数になるんですね!

これ以降は、電卓を使わないと計算しようがないんですが、
0.207879576という値になることが確認できます。
(気になる方は、Google画面で、「e^(-pi/2)」と打ち込んでみてください)

このように、オイラーの公式は、複素数の計算や理論で絶大な威力を発揮してくれます。
スポンサーサイト

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 26 : 09 | 数学(高校+α) | コメント(4) | page top↑
<<♪ ピアノは剣術に似たり? | ホーム | 植栽・ガーデニング紹介(4) ヤマボウシ>>
コメント
----

i^i(胃の愛情)って、計算はできないんですけど何時もお世話になっています、暴飲暴食には気を付けましょう。
by: 渡 弘道 * 2012/06/19 10:22 * URL [ 編集] | page top↑
--渡さんへ--

>i^i(胃の愛情)って、計算はできないんですけど何時もお世話になっています、暴飲暴食には気を付けましょう。

あ、「胃の愛情」は、僕もよくお世話になってます(笑)
最近は、食べ放題なども程々にして、胃をいたわるようにしてますよ^^
by: dyne→渡さん * 2012/06/19 23:20 * URL [ 編集] | page top↑
----

ほら~、虚実の世界を行き来するこの感覚が「騙された」感じでヤなんですよね~(-"-)。詐欺師っぽい…。でも数学が好きな人はここにロマンを感じちゃうのかな?

「そもそも、i じたい訳のわからない数なのに、それを i 回かけるって、意味分からない!」←これに尽きます!実数が出てくるんなら、実は虚数って実数なんじゃないの?意味わからん。こら~っ、責任者出て来い!!
by: 数学嫌いのトマト * 2012/06/29 10:14 * URL [ 編集] | page top↑
--トマトさんへ--

たとえ、数学嫌いの方であっても、
こうやって、数学記事にコメントいただけると嬉しいですね^^

>ほら~、虚実の世界を行き来するこの感覚が「騙された」感じでヤなんですよね~(-"-)。詐欺師っぽい…。でも数学が好きな人はここにロマンを感じちゃうのかな?

やっぱり、詐欺師っぽく感じちゃうのかな?
実数が先にあって、それに虚数などというわけのわからないものを
付け加えると考えてしまうので、詐欺っぽく感じるんでしょうね(笑)

数というのは本来、「実数+虚数」のいわゆる「複素数」の形式で表して初めて、
完全の形になって、とても美しい法則性が現れるんですよ。
(なんか、この言い方やっぱり、詐欺師っぽい!?笑)

実数しか見てないのは、たとえて言うと、氷山の一角しか見ていないということで、
だからこそ、実数だけ考えてると、水面下の部分が見えないので、
余計に複雑に見えるんです!

物理の世界でも、量子力学では、
そもそも虚数がないと成立しえない学問で、
この量子力学がないと、現代の科学文明はありえないのわけで・・・
たとえば、半導体なんてものが理解できなくなるので、
パソコンなど電子機器がすべて、ありえなくなります。。。

でも、一般的な大多数の人からみると、虚数なんて何の役に立つの!?
と思ってしまうのも、非常によくわかります。
また、記事にしますね(笑)
by: dyne→トマトさん * 2012/06/30 01:19 * URL [ 編集] | page top↑
コメントの投稿














管理者にだけ表示を許可する

| ホーム |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。