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∫ 固有ケットによる完全正規直交系
2012 / 05 / 29 ( Tue )
JJサクライの量子力学の続きです。

エルミート演算子は、次の2つの重要な性質を持つ。

固有値は実数である。

異なる固有値に対する固有ケットは互いに直交する。

証明

エルミート演算子 A の任意の2つの固有値を a' 、a" 
固有ケットを |a'>、|a"> とすると、エルミート性から、

< a" | A | a' > = < a' | A | a">*

|a'> 、|a">は固有ケットだから、

a' < a" | a' > = a"* < a' | a" >*

すなわち、

(a' - a"*) < a" | a' > = 0

固有値が等しい時 ( a' = a" ) を考えると、

a' = a'*

となり、固有値は実数である(性質1)

固有値が異なる時 ( a' ≠ a" ) を考えると、

< a' | a" > = 0

となり、異なる固有値に対する固有ケットは互いに直交する(性質2)

以上で、証明終了。

固有ケットのノルムは任意だから、規格化してやると、
エルミート演算子の固有ケットは、完全正規直交系をなすことになる。

< a' | a" > = δa'a"

ここで、完全性については、物理的要請のようです。
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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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