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∫ 一階偏微分方程式
2012 / 05 / 15 ( Tue )
仕事で、簡単な一階偏微分方程式を解かなくてはいけなくて、
特性曲線を使って解く方法を復習しています。

簡単な例。

ut + c ux = 0

を満たす u(x,t) を求める。

(x, t) 平面上に x = x(t) で表される特性曲線Γなるものを考えて、
その曲線Γ上での u の変化を考える。

曲線Γ上に限ると、t を dt だけ変化させると、
x の変化 dx も自動的に次のように決まる。

dx = (dx/dt) dt

その時の u の変化 du は、

du = ux dx + ut dt
 = { ux (dx/dt) + ut } dt


ここで、特性曲線Γを dx/dt = c を満たすように決めると、
元の偏微分方程式より、{・・・} = 0 になって、

du = 0

つまり、u は、特性曲線Γ上では、定数となる。

特性曲線の式は、dx/dt = c から、

x - ct = ξ(const.)

と表されるので、u(x,t) の一般解は、

u (x,t) = f (ξ) = f ( x - ct )

となる。
ここで、f (ξ)は、任意の関数。

もし、係数 c が c(u) のようにuに依存した関数になっていた場合、
すなわち、

ut + c (u) ux = 0

といったような場合でも、まったく同じ論理が使えて、
結局、特性曲線上では u が一定になるので、
c(u)も定数になって、
特性曲線は、

x - c (u) t = ξ(const.)

という直線になり、一般解は、

u(x,t) = f ( x - c (u)t )

と表せる。
ただし、陰関数表示になっているので、
陽的な表示が欲しい場合は、ここから、u について解かなければならない。
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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