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∫ オイラーの公式 (4)
2012 / 05 / 11 ( Fri )
オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法を
いろいろ探しています。

今回は、正攻法で攻めてみようかなと思って、自分で考えた方法を紹介します。
ひょっとしたら、数学的に間違ってる個所もあるかもしれませんし、
逆に、ひょっとしたら、有名な方法なのかもしれません。
勉強不足なので、間違えていても、ご了承ください。

まずは、eixの正体が分からないと考えて、
eixを実部と虚部に分けて、
それぞれを実数関数 f (x)、g(x)で表す。

eix = f (x) + i g(x)

微分すると、
{eix}' = f' (x) + i g'(x)

一方で、指数関数として微分すると、
{eix}' = i eix = i { f (x) + i g(x) }
だから、
{eix}' = - g(x) + i f (x)

実部と虚部を比較して、

f '(x) = - g(x)
g'(x) = f (x)


という連立一階の微分方程式が出てきます。

この解は、いかにも

f (x) = cos x
g (x) = sin x


っぽいですよね!
これを証明できればいいわけです。

たぶん、微分方程式の解の一意性の定理から、
一個解が見つかっているならば、その解しかありえない!
と言って、煙に巻いてしまうこともできるのかもしれませんが(笑)、
一応、解は分からないという前提で話を進めます。

こういうのは正攻法では、たぶん、

関数を v = [ f, g ] とベクトル化して、
係数行列 A = | 0 -1 | を導入して、
         | 1 0 |

dv/dt = A v

と表し、Aの固有値と固有ベクトルを求めて、
ξ(x) = a f(x) + b g(x)
η(x) = c f(x) + d g(x)

といった2つの線形結合からなる関数の独立した微分方程式に分離する
というようなことをやるんだと思うのですが、

それをやると、おそらく、
f(x) = eix + e-ix
g(x) = eix - e-ix

といったような答になりそうな気がして、
結局、オイラーの公式を使わなければ、
cos x, sin xに行きつけなくなりそうな気がします。

そこで、別の方法を取ります。

以前に、この記事で紹介した山本義隆先生の「物理入門」で
オイラーの公式を用いずに、単振動の運動方程式を
見事に解いていた方法を使わせていただきます。

まずは、連立微分方程式の第1式に f(x)、第2式に g(x) を掛けて、足すと、

f (x) f '(x) + g (x) g '(x) = 0

これを x で積分すると、置換積分を使って、たとえば、

∫f (x) f '(x) dx = ∫y dy = y2/2 + C = {f (x)}2/ 2 + C

などとできて、結局、

{f (x)}2 + {g (x)}2 = C  (Cは定数)

という関係式が得られる。

この式から、(f(x), g(x)) は、
原点を中心とする半径 A = √C 上の円周上の点となるから、
θというパラメータを用いて、

f (x) = A cos θ(x)
g (x) = A sin θ(x)


と表せる(θはxに依存する関数)
(cos と sin を逆にすることができる任意性は、
θをπ/2-θとする自由度に含まれている)

これで、だいぶ近づいてきました!
(あとは、θ(x)の形を求めればOK!)

f(x)、g(x)を微分すると、合成関数の微分を使って、

f '(x) = - A θ'(x) sin θ(x) = - θ'(x) g (x)
g '(x) = A θ'(x) cos θ(x) = θ'(x) f (x)


元の連立微分方程式を満たすためには、

θ'(x) = 1

でなければならない。積分して、

θ(x) = x + x0 (x0は定数)

f (x) = A cos (x + x0)
g (x) = A sin (x + x0)


あとは、 x=0 の時の条件で、定数を決める。

e0 = 1 だから、 f(0) = 1、 g(0) = 0

g(0) = 0 で、A≠0 だから、x0 = nπ (nは整数)

f(0) = 1 より、次のいずれかである。

(i) x0 = 2nπ、A = 1

(ii) x0 = (2n+1)π、A = -1


いずれの場合も、

f (x) = cos x
g (x) = sin x


となるので、めでたく、証明ができました!

テーラー展開を使わない証明方法は、こんなところです。
やっぱり、テーラー展開を使った証明が一番わかりやすいんですけどね(笑)
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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