スポンサーサイト
-- / -- / -- ( -- )
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
-- : -- : -- | スポンサー広告 | page top↑
∫ ブラケットと演算子の積の結合則
2012 / 04 / 17 ( Tue )
ブラケットと演算子の混ざった積の表現には、
すべて結合則が成立することが仮定される。

演算子の積の結合則
XYZ = (XY)Z = X(YZ)

は、演算子の積を普通に合成写像で定義してやれば、
結合則が成立するのは、自明として理解できますが、

ブラケットと演算子が混ざった積の場合の結合則
<α|X|β> = ( <α|X )・|β> = <α|・( X|β> )

は、よくよく考えてみると、そんなに自明ではない気がします。

つまり、演算子Xをまず、ブラに施してから内積を取るのと、
ケットに施してから内積を取るのとが本当に同じ意味になりえるのか?
という疑問を感じてしまいました。

ここ以降は、サクライに書かれている内容ではなくて、
自分で勝手に考えた考察ですので、ご注意ください!


普通の数学で使う内積表現では、この等式は、
(X+α, β) = (α, Xβ)
に対応していると考えられます。
つまり、ブラに施す方は、随伴演算子になってるんですね。
それがブラケット表示では、Xのまま、このように表記できると考えられます。

前記事を思い出すと、
X |α> ← DC → <α| X+
でした。
この関係を使って、
X = Y+となる演算子Yを考えると、
Y |α> ← DC → <α| Y+ = <α| X
となり、
( <α| X )・|β> のブラとケットを交換したものを考えると、

( <α| X )・|β> = [ <β|・(Y |α> ) ]*   (1)

一方、
<α|・( X |β> ) のブラとケットを交換したものを考えると、

<α|・( X |β> ) = [ (<β| X+)・|α>]*   (2)

ここで、結合則が成立するならば、(1)と(2)は同じはずであるから、
任意のα、βに対して成り立つことから、
Y = X+

2つの関係を合わせると、
(X+)+ = X
となり、双対の双対はもとに戻るということがわかる。

そして、(1)と(2)は、
<α| X |β> = [ <β| X+ |α>]*
と書ける。

この2つの性質が満たされるように約束すると、
自然に結合則が成立するようになるのではないのだろうかと
考えています。

独自考察なので、間違ってるかもしれませんが、
この結合則の要請がDiracの考えたブラケット記法のミソではないかな
と思うのですが、どうなんでしょう?
スポンサーサイト

テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

01 : 14 : 30 | 物理(量子論) | コメント(2) | page top↑
<<♪ ノクターン19番 (6) 実情版アップ | ホーム | ♪ 暗譜の法則>>
コメント
----

まったく意味がわからない日本語に遭遇するって、ありそうでない経験なので、なんというかすごく新鮮でした(^^;ふつう、ぼんやりとでも何か形が見えるものですが、マジで何にも見えてこない。これなら自分の詳しい領域のラテン語を読む方が易しい(笑)

「ブラケット」なるものが「ブラ」と「ケット」に分かれるんだぁ~ということだけ分かって、なんかそれも面白かった。

あっ、いや、独り言ですから、間違っても解説しないで下さいね。絶対わかりませんから(^^ゞ
by: トマト * 2012/04/17 08:36 * URL [ 編集] | page top↑
--トマトさんへ--

>まったく意味がわからない日本語に遭遇するって、ありそうでない経験なので、なんというかすごく新鮮でした(^^;ふつう、ぼんやりとでも何か形が見えるものですが、マジで何にも見えてこない。

いつも、こんなものを読んでくださって、ありがとうございます^^;
確かに、全く意味のわからない日本語に遭遇するのも
珍しい機会かもしれませんね(笑)

でも、この内容は物理としてはまだ、全然初歩レベルで、
ピアノでいえば、ツェルニー30番に入ってるか入ってないかという感じなんですよ。
もっと難しい物理書になると、
僕にとっても全く分からない日本語と数式の羅列です^^;

>これなら自分の詳しい領域のラテン語を読む方が易しい(笑)

気持ち分かります(笑)
言語の難しさより内容の難しさの方がたちが悪いですよね!
だいたい、物理は英語の洋書で勉強してることが多いのですが、
日本語の不親切な本より、英語の分かりやすい本の方が
よほど、読みやすいです。

>「ブラケット」なるものが「ブラ」と「ケット」に分かれるんだぁ~ということだけ分かって、なんかそれも面白かった。

もともと、<>のカッコを英語で「ブラケット」と呼ぶところから
ブラとケットに分けたようですが、僕もその昔、
授業で聞いたときにかなりうけました(笑)

>あっ、いや、独り言ですから、間違っても解説しないで下さいね。絶対わかりませんから(^^ゞ

はい、分かりました!(笑)
そんな空気読めないことはいたしませんので、大丈夫ですよ^^
by: dyne→トマトさん * 2012/04/18 00:16 * URL [ 編集] | page top↑
コメントの投稿














管理者にだけ表示を許可する

| ホーム |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。