さっそく、J.J.サクライを元に、ポイントを整理していこうと思います。
あくまでも、自分用のまとめなので、
自分がまとめておきたいことだけですけどね。

まずは、ブラケットの概念と内積のことについて。

量子力学的状態をケットというベクトル |α> で表す。

ケットに双対なブラというベクトル <α| を考える。

|α> ← DC → <α|　　　DCはdual correspondence (双対）

重要なのが・・・

c|α>　に双対なブラは、c^*<α|　(cはスカラー）

双対空間へ行くと、スカラー倍の因子は複素共役になる！

c|α> ← DC → c^*<α|


演算子Xに対して、
X |α> と <α| X が双対とは限らない！

X |α>　に対して、<α| X⁺　が双対になるような演算子 X⁺を考え、
随伴演算子と呼ぶ。
X |α> ← DC → <α| X⁺

X = X⁺ となる演算子をエルミート演算子と呼ぶ。

この随伴演算子の定義は、普通の数学でよく見る内積を使った定義
(X⁺α, β) = (α, Xβ)
と違っていて、違和感があったのですが、
それについて考えたことは、次回の記事で述べます。



内積 <α|β>　を以下の性質をもつものとして定義する。

(1) 交換すると、複素共役になる。
<α|β> = <β|α>^*
(2) 自己の内積は非負である。
<α|α> ≧ 0

これは、おそらく、普通の数学の内積と同じ定義ですね。
ちなみに、(2)の前提として、自己の内積が実数になるというのは、
(1)で |α>＝|β> にしたときを考えると、自明。

√<α|α>をノルムと考えて、通常、量子力学的状態は規格化しておく。

さらに、<α|β> = 0 を直交状態と考えて、
正規直交系を考えることができる。