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∫ ブラケット・内積
2012 / 04 / 14 ( Sat ) さっそく、J.J.サクライを元に、ポイントを整理していこうと思います。
あくまでも、自分用のまとめなので、 自分がまとめておきたいことだけですけどね。 まずは、ブラケットの概念と内積のことについて。 量子力学的状態をケットというベクトル |α> で表す。 ケットに双対なブラというベクトル <α| を考える。 |α> ← DC → <α| DCはdual correspondence (双対) 重要なのが・・・ c|α> に双対なブラは、c*<α| (cはスカラー) 双対空間へ行くと、スカラー倍の因子は複素共役になる! c|α> ← DC → c*<α| 演算子Xに対して、 X |α> と <α| X が双対とは限らない! X |α> に対して、<α| X+ が双対になるような演算子 X+を考え、 随伴演算子と呼ぶ。 X |α> ← DC → <α| X+ X = X+ となる演算子をエルミート演算子と呼ぶ。 この随伴演算子の定義は、普通の数学でよく見る内積を使った定義 (X+α, β) = (α, Xβ) と違っていて、違和感があったのですが、 それについて考えたことは、次回の記事で述べます。 内積 <α|β> を以下の性質をもつものとして定義する。 (1) 交換すると、複素共役になる。 <α|β> = <β|α>* (2) 自己の内積は非負である。 <α|α> ≧ 0 これは、おそらく、普通の数学の内積と同じ定義ですね。 ちなみに、(2)の前提として、自己の内積が実数になるというのは、 (1)で |α>=|β> にしたときを考えると、自明。 √<α|α>をノルムと考えて、通常、量子力学的状態は規格化しておく。 さらに、<α|β> = 0 を直交状態と考えて、 正規直交系を考えることができる。 スポンサーサイト
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