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∫ 汎関数微分
2012 / 04 / 02 ( Mon )
以前やると言っていた場の量子化の方ですが、
決して、あきらめたわけではありません(汗)

シッフ先生の教科書で、「汎関数微分」なるものが
どうしても理解できず、ずっと悶々としていました。。。

ピンと来ないまま、先へ進むのも嫌ですしね~。
それで、いろいろなサイトを巡っていたのです。

いつも勉強させていただいている
「EMANの物理学」さんの記事
「物理のぺーじ」さんの記事を読んで、
悶々としていたものが氷解しました!

分かってしまえば、非常に単純な話で、さほど難しいことは言ってないようです。
といっても、自分なりの理解なので、本当に理解できてるかどうか怪しいのですが・・・
とりあえず、この理解をもとにシッフを読み直してみたら、
よく理解できました。
シッフ先生は、わりと「理解している人目線」で書かれてますからね(笑)

とりあえず、自分なりの理解をもとに、整理しておきます。


まずは、汎関数とは何か?

ある関数 f(x) が何らかの形で入っている関数 F(x) をある区間で定積分したようなもの

I[f] = ∫F( f(x),・・・)(x) dx

を考える。
定積分というのがポイントで、I[f] には、変数 x は含まれていない
つまり、この値は、x の値によってではなく、
関数 f(x) の形が変わることによって、変化する。
このようなものを「汎関数」という。

たぶん、汎関数の定義は積分に限らず、
もっと広い意味での定義ができるんでしょうけど、
ここでは、積分のもののみが分かればいいので、
積分によるものに限ることにします。


そこで、汎関数微分とは、
関数 f(x) の形がほんの少しだけ変化したとき、
汎関数 I[f] の値がどれだけ変化するかという変化率

みたいなもの。

通常の微分とイメージは同じであるが、
普通の微分と違うのは、変化するのが一つの数ではなく、
関数なので、各点xで別の値をとるものが集まった集合であるという点。

つまり、各点xでの微小区間における微分を考えて、
それらを区間全体で積分してやってはじめて、最終的な微分量が分かる。

そこで、ある点 xi における微小区間Δx において、
f(x)をδf(x)だけ変化させた時の汎関数の変化量を δIiとする。

無限に微小な区間を想定すれば、δf(x)は、関数ではなく、
x = xiにおける数値δf(xi)で代表させてしまっても問題ないので、
変化率を Ai として、

δIi = Ai δf(xi) Δx

と書ける。
ここで、Δx が入ってるのは、微小区間として後で積分をすることを考えているから。

トータルの変化 δI は、これを区間全体で足し合わせたものだから、

δI = Σi δIi = Σi Ai δf(xi) Δx

微小区間を無限小にすると、積分になって、

δI = ∫ A(x) δf(x) dx

変化率Aは、各区間で値が変わるので、当然、x の関数 A(x) になる。
この A(x) がIのfに対する汎関数微分であり、[δI/δf ](x) と書く。

つまり、
δI = ∫ [δI/δf ](x) δf(x) dx

どうしても、両辺の次元が dx の分だけ違ってて、気持ち悪いのですが、
こういう定義なんだからしかたないと思うことにしました(笑)
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 28 : 49 | 数学(解析・関数論) | コメント(2) | page top↑
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コメント
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はじめまして。ぴよのと申します。ピアノが趣味の50代のおばさんです。

dyneさんのお名前は、sleepingさんやトマトさんのブログでちょくちょくお見かけし、どんな方だろうと思っていました。本日、sleepingさんのブログのお日様マークのリンクをクリックしたら、到着致しました。

私、理系人間で、高校生の時は数学大好きだったんです。でも、大学はそっち系に進まなかったので、数学を勉強したのは高校迄です。この記事を見て、息子が「本当の数学は大学から」と言ってたのがよく理解できました。数学に拒否反応を示したのは、初めてです。もう、数学が好きだなんて言えません。得意だったとも、言い辛い。数学の項なんて、クリックするんじゃなかったわ(笑)

ピアノも聞かせて頂きました。ハノン、ツェルニー30番、インベンション、私と同じ教材を練習されているのに、ノクターン19番があんなに素敵に弾けるなんて、私は定番OP9-2で撃沈です。9-1も中盤から沈んでいきます。
by: ぴよの * 2012/04/28 00:45 * URL [ 編集] | page top↑
--ぴよのさんへ--

>はじめまして。ぴよのと申します。ピアノが趣味の50代のおばさんです。

はじめまして。
コメントいただき、ありがとうございます^^

>dyneさんのお名前は、sleepingさんやトマトさんのブログでちょくちょくお見かけし、どんな方だろうと思っていました。

僕もつい最近、ぴよのさんのブログを少し読ませていただいてました。

>私、理系人間で、高校生の時は数学大好きだったんです。でも、大学はそっち系に進まなかったので、数学を勉強したのは高校迄です。

そうだったんですね!
実は、トマトさんのブログのコメントで、「ぴよのさんは理系」というのを
読んだことがあり、そういう印象を前から抱いておりました^^
大学では、どういう系統に進まれたんでしょうか?

>この記事を見て、息子が「本当の数学は大学から」と言ってたのがよく理解できました。

息子さんは、大学でも数学を使われているのですね。
高校までの数学は、どちらかといえば、
パズルを解くような楽しみだと思うんですが、
大学からの数学は、物事をどこまで抽象化して、
本質だけを抜き出せるかという楽しみなので、
全然違った世界になるんですよね。

僕は、大学の数学の方が好きです。
高校の時は、あんまり定義や証明も厳密じゃなくて、
ずっと悶々としていました。

>数学に拒否反応を示したのは、初めてです。もう、数学が好きだなんて言えません。得意だったとも、言い辛い。数学の項なんて、クリックするんじゃなかったわ(笑)

いえいえ。高校数学がお好きでしたら、
それはもう、数学が好きとおっしゃって、大丈夫ですよ~

この記事は、自分用に書いているので、あんまりちゃんと説明してないのですが、
もう少し、高校数学に近い記事もたまに書こうと思ってますので、
お気が向きましたら、読んでみてください(笑)

>ピアノも聞かせて頂きました。ハノン、ツェルニー30番、インベンション、私と同じ教材を練習されているのに、ノクターン19番があんなに素敵に弾けるなんて、私は定番OP9-2で撃沈です。9-1も中盤から沈んでいきます。

お聴きいただいた上に、そんな過分なおほめの言葉をいただいて、
ありがとうございます^^;

実は、このコメントをいただく前に、ぴよのさんのOP9-2の最新録音は、
聴かせていただいておりました。
すごく素敵な演奏でしたよ。
仕上げ方がとても丁寧で、特に最後の方はとてもきれいな音で
感心しておりました。
いつか、コメントさせていただこうかと思っていたぐらいです。

9-1の方は好きな曲で、弾いてみたいと思っている曲なので、
録音、また聴かせていただきますね!
by: dyne→ぴよのさん * 2012/04/28 01:15 * URL [ 編集] | page top↑
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