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∫ テンソルの縮約
2012 / 03 / 08 ( Thu )
テンソルについて、もう一つ押さえておきたいのが、縮約について。

上付きの添え字と下付きの添え字が同じになる成分の和を取ると、
その2つの添え字を消したテンソルと同じになる!


たとえば、Aμνλρというような4階の混合テンソルがあったとして、

μとλが同じになる成分の和を取ると・・・

Aμνμρ=Aνρ

というように、2階の混合テンソルとして扱える。
(μについて、和を取ることに注意!)

これは、すごく便利!

テンソルの変換則で確かめてみます。

もともとの4階テンソルの変換則は・・・
A’μνλρ = aμi aνj aλk aρl Aijkl

ブログで、あの偏微分記号を書くのは、分かりにくくてしかたがないので、
内山先生の教科書でローレンツ変換の係数に使っている記法を使いました。

aμi ≡ ∂xμ'/∂xi
aμi ≡ ∂xi/∂xμ'

(これらはテンソルではない)

λ=μにして和を取ると、

A’μνμρ = aμi aνj aμk aρl Aijkl

ここで、μのついているこの2つの係数だけを抜き出してみると、
aμi aμk = δki

となっていることが、偏微分表示に戻して計算してみるとすぐにわかる。
(偏微分書くのが面倒だから書かないけど・・・)

すると、
A’μνμρ = δki aνj aρl Aijkl

となり、
A’μνμρ = aνj aρl Aijil

となる。
この式は、下のような2階のテンソルの変換則と同等とみなせる。
A’νρ = aνj aρl Ajl

というわけで、縮約できることが示せました。

テンソルの積は、こんな感じで、やはりテンソルになることはすぐにわかるので、
Cμνλ ≡ Aμν Bλ

縮約を使って、ベクトルのスカラー積を定義できる。
C ≡ Aμ Aμ
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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