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∫ テンソル
2012 / 03 / 08 ( Thu )
相対論と言えば、テンソルですね!

やはり、初めはなかなかつかめず、難しかったです。
ようやく、少しずつつかめてきた気がしています。

ということで、まずはテンソルについて、自分なりに整理しておこうと思います。

とにかく、添え字がごちゃごちゃしてきて、混乱してしまうので、
かなり我流ですが・・・

座標系Sから座標系S’に変換することを考えるときに、

S系における添え字は、英文字(i, j, k, ...)
S’系における添え字は、ギリシャ文字(μ, ν, λ,...)

と決めてやることにしたところ、少し分かりやすくなった気がします。

このルールのもとに、テンソルの定義を書いてみます。

ある量Tを
S系(xi)からみたときの成分を ij...kl...
S’系(xμ')からみたときの成分を T’μν...λρ...
と書いたとき、

T’μν...λρ... 
= (∂xμ'/∂xi)(∂xν'/∂xj)・・・
   (∂xk/∂xλ')(∂xl/∂xρ')・・・Tij...kl...


という変換則で変換されるとき、Tをテンソルと呼ぶ。

上付きの添え字が反変成分、下付きの添え字が共変成分。

変換係数となっている微分の形が・・・
反変は、「新座標系/旧座標系」
共変は、「旧座標系/新座標系」

添え字が一つしかない場合がベクトルで、
Aμ反変ベクトル
Aμ共変ベクトル

と言っても、イメージがいまひとつわかない!

そこで、一般相対論に出てくるリーマン幾何学のような
非線形な変換はまだ理解できないので、置いておいて・・・

ここでは、特殊相対論のローレンツ変換を念頭において、
線形な座標変換に限ることにする。

そうすると、偏微分の形をした変換係数は、場所によらない定数になるので、
座標変換じたい

xμ' = (∂xμ'/∂xi) xi

と表せることになる。

こう書くと、反変ベクトルの変換則は、そもそも定義から
Aμ' = (∂xμ'/∂xi) Ai
のように書けるので、
座標成分自体が反変ベクトルになっていることが分かる。

つまり、座標成分そのものと同じように変換されるものが「反変」
と考えればいいってことになりそうですね。

これで、「反変」のイメージはわいたけど、「共変」のイメージがわかない!

共変は、微分演算がそうなるようです。

座標変換前後で変わらないスカラー量ξがあったとして、
iξ = ∂ξ/∂xi
と書くことにすると、

μ = ∂ξ / ∂xμ' 
= (∂xi / ∂xμ')(∂ξ / ∂xi
= (∂xi / ∂xμ')∂iξ


共変ベクトルの変換則は、
Aμ' = (∂xi/∂xμ') Ai
だから、確かに、微分の成分∂μは共変ベクトルになっていることが分かる。

というわけで、共変も反変も少しはイメージがつかめるようになりました。

参考文献:
内山龍雄「相対性理論」
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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