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∫ オイラーの公式 (2)
2012 / 02 / 25 ( Sat )
オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法の話。

一つ目の方法は、Wikipediaに載っている方法で、
非常にだまされた気になるような証明ですが(笑)、
これなら、高校生でも十分理解できる素晴らしい証明ですね!

まずは、いきなり、

f(x) = (cos x - i sin x) e ix

という関数f(x)を考えます。
ここで、いきなり、なんで???と言いたくなるでしょうけど、ここはぐっと我慢(笑)

このf(x)を微分してみます。
積の微分は、
前を微分して、後ろを微分しないものと
前を微分しないで、後ろを微分するものとを足すんでしたね。

f'(x) = (cos x - i sin x)' eix + (cos x - i sin x) (eix)'
   = (- sin x - i cos x) eix + (cos x - i sin x) ieix
   = (- sin x - i cos x + i cos x + sin x) eix
   = 0

なんと素晴らしいことに、微分したら0になってしまうんです。
ということは、f(x)は定数ってことになります。

定数の値は、何か適当に x を入れれば、出てくるので、x = 0を入れると、

f(0) = (cos 0 - i sin 0) e 0 = 1

となるので、f(x) = 1 です。
つまり、
(cos x - i sin x) e ix = 1

ここまで来たらもう、求めたい eix の前についている
余計な因子で両辺を割ってしまえばよいだけです。

eix = 1 / (cos x - i sin x)

分母を実数化するために、複素共役 cos x + i sin x を分母分子にかけると、

eix = (cos x + i sin x) / (cos2 x + sin2 x)

cos2 x + sin2 x = 1 より、

eix = cos x + i sin x

となり、オイラーの公式が出てきます!

なかなかエレガントな証明ですよね!

ここで、なぜ、あの変な関数 f(x)を考えたか?ということを振り返ってみます。
実は、オイラーの公式に -x を入れてやると、

cos x - i sin x = e-ix

ということがすぐに分かるので、あの f(x)は、

f(x) = e-ix eix

を計算していることになるんですね。
この値は、明らかに1になります

でも、オイラーの公式を使ってないのに(証明したい式なので、使ってはいけない)
うまく1という答えを導き出しているのが、なかなかうまい証明ですよね!

この証明、ただ一点を除いて、高校数学の範囲で説明できます。
ただ一点というのは、微分するところで、何気なく、

( eix )' = i eix

とやりましたが、虚数が指数になっているときの指数関数も
このように微分できるかどうかは保証されてません。

結局、複素数の指数関数を高校では定義してないわけだから、
しかたないんですよね。
そもそも、複素数の指数関数をどう定義するかで証明も変わってきます。

テーラー展開で定義するならば、
テーラー展開からこの微分公式が成立することを証明しておくしかないですし、
逆に、このオイラーの公式を定義式にしてしまう流儀もあります。
そうすると、オイラーの公式を証明するのではなく、
この公式を前提として、逆に、指数関数の指数法則や微分の公式が
ちゃんと成り立つかを証明することになりますね。

まあ、でも、細かいことはさておき、この証明、ほんと分かりやすいので、
高校生に説明するには、お勧めの方法ですね!

他にもいくつかありますので、次回ご紹介します。
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

23 : 31 : 45 | 数学(高校+α) | コメント(2) | page top↑
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コメント
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わーチンプンカンプンv-12

「隠れ文系」の私は、微積は理系クラスで最後まで学んだハズで、数学受験したタチなんですけどね・・・、全然覚えていない。
そうそう、センター試験の数学で、解き方の穴埋め問題が出たのですが、それが数Ⅰ的な解き方で、すっかり落としてしまいました・・・orz
微積を使えば簡単に解けるのに、なんでこんな回りくどい方法で穴埋めさせるんだ・・・、と負け惜しんだおぼえがあります(苦笑)
数Ⅰは暗記しないとダメみたいなところがあってどうも苦手でした。
それに対して微積は、最低限の公式を覚えていれば、度忘れしても公式を導ける、みたいなお得感があるので結構好きだったハズなんですが・・・、dyneさんの記事を読んでも全然思い出せないv-356

sin・cos・tanと聞いてすぐに思い出せるのは、江頭2:50のネタだけです(苦笑)
そんなの、dyneさんはご存じないですよね・・・^^;
by: ruvhana * 2012/02/26 10:51 * URL [ 編集] | page top↑
--ruvhanaさんへ--

>「隠れ文系」の私は、微積は理系クラスで最後まで学んだハズで、数学受験したタチなんですけどね・・・、全然覚えていない。

チャート式を制覇したruvhanaさんなら、受験の頃なら、
たぶん、楽勝で理解できてしまうような内容です。
でも、数学なんて使ってないと忘れますよね(笑)

>そうそう、センター試験の数学で、解き方の穴埋め問題が出たのですが、それが数Ⅰ的な解き方で、すっかり落としてしまいました・・・orz
>微積を使えば簡単に解けるのに、なんでこんな回りくどい方法で穴埋めさせるんだ・・・、と負け惜しんだおぼえがあります(苦笑)
>数Ⅰは暗記しないとダメみたいなところがあってどうも苦手でした。
>それに対して微積は、最低限の公式を覚えていれば、度忘れしても公式を導ける、みたいなお得感があるので結構好きだったハズなんですが・・・、dyneさんの記事を読んでも全然思い出せない

そうなんですよね。
数Iって、すごく難しいですよね!
発想やひらめきみたいなのがないと解けない気がします。
これが微分積分を使うと、力技の正攻法で解けてしまうから、
僕もそっちのほうが好きです(笑)

>sin・cos・tanと聞いてすぐに思い出せるのは、江頭2:50のネタだけです(苦笑)
>そんなの、dyneさんはご存じないですよね・・・^^;

今度、是非披露してください(笑)
by: dyne→ruvhanaさん * 2012/02/26 22:57 * URL [ 編集] | page top↑
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