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∫ オイラーの公式 (1)
2012 / 02 / 18 ( Sat )
前回の「0.999・・・=1」という記事で、哲学的な数式の話題になりましたが、
「哲学的な数式」と言われて、僕が真っ先に思い出すのは、
「オイラーの等式」でしょう。

小説「博士の愛した数式」でも登場した
「人類の至宝」とも「数学史上、最も美しい数式」とも言われている数式

e = -1

ほんと、美しいですよね!

e と π と i という言わば数学界の3大キャラ数字
一同に会すると、-1 などという純朴な数字になるんですから!

僕も中学の時だったかに、読み物系の本でこの式を目にしたときに、
「数学って、神秘的!」って思った記憶があります。

この等式は、「オイラーの公式」と呼ばれる、
e ix = cos x + i sin x

という公式に、x = π を入れるだけで出てきます。
cos π = -1、sin π = 0 だから。

そして、このオイラーの公式は、数学科の人しか使わないような高尚な公式ではなく、
物理系ではこれを知らないと生きていけないぐらいに頻出の公式。

そもそも、ほとんどの物理現象は、振動で表せるので、
sinやcosで表すことになるのですが、
sinやcosは、加法定理やら、倍角公式、半角公式、3倍角公式、合成・・・
と、たくさんの公式を覚えなくてはいけなくて、
うんざりしてくるんですよね。。。

ところが、このオイラーの公式で、sinやcosを eix に置き換えるだけで、
そんなもの何も覚えてなくても、
すべて、これ一台で計算できてしまうというすぐれもの!(笑)
・・・というわけで、この公式が重宝されるわけです。

で、この公式の証明が気になるわけですが、
一般には、テイラー展開を使うと、簡単にできます。
でも、テイラー展開は、高校数学レベルだと、ちょっとハードル高いですよね。

テイラー展開を使わない高校数学レベルで理解可能な証明方法ってないのかな?
とちょっと調べていたら、いくつかありそうですので、
次回から、紹介していこうと思います。

ただ、厳密な証明は、テイラー展開をしないとだめな気がするのですが、
その理由は、その時に述べようと思います。
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

22 : 20 : 54 | 数学(高校+α) | コメント(6) | page top↑
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コメント
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小説「博士の愛した数式」
小説の内容は読んだから分かります(笑)
美しい小説でしたよねv-352
博士の記憶構造がどうなってるのか
不思議で検証しましたけどやっぱり謎。
by: もでらーと * 2012/02/20 22:24 * URL [ 編集] | page top↑
----

高校時代同級生の男の子が、アインシュタインの相対性理論の公式 E=mc2(2はもちろん2乗ですがどうやって変換するんだろ?) をじっと眺めて「う~ん!なんてシンプルで美しいんだろう」と感動していたのを思い出しました。
彼はその後 京大の物理学科に行きました☆
by: 私はタワシ * 2012/02/21 14:04 * URL [ 編集] | page top↑
--もでらーとさんへ--

>小説「博士の愛した数式」
>小説の内容は読んだから分かります(笑)
>美しい小説でしたよね

小説、読まれたんですね!
僕はこう書いておきながらなんなのですが、
小説は読んでなくて、映画をテレビで見ただけです^^;

>博士の記憶構造がどうなってるのか
>不思議で検証しましたけどやっぱり謎。

不思議な記憶構造でしたよね。
それから、数学者というと、ガシガシ計算してるのかという
イメージでしたが(実際はそうかもしれませんが・・・)
「数字と戯れている」とか言って瞑想にふけっているのが印象的でした。
究極的な域に達すると、案外、細かな計算よりは、
頭の中のイメージの方が先行するんだろうなと思いました。

ピアノの場合も、ピアニストはたぶん、楽譜を見ただけで
頭の中に音楽が奏でられますよね。
僕みたいに、「ファが#」とか、そんな細かいことに
とらわれていないのは確かだと思います(笑)
by: dyne→もでらーとさん * 2012/02/22 00:06 * URL [ 編集] | page top↑
--タワシさんへ--

>高校時代同級生の男の子が、アインシュタインの相対性理論の公式 E=mc2(2はもちろん2乗ですがどうやって変換するんだろ?) をじっと眺めて「う~ん!なんてシンプルで美しいんだろう」と感動していたのを思い出しました。

僕と似たタイプの方ですね(笑)
僕も中学生の頃、読み物系の本でこの式を目にした時、
面白い式だなあと思いました。
美しいというよりは、ちょっとした質量がとてつもなく莫大な
エネルギーをもつことに、すごく驚いた覚えがあります。
広島の原爆で消費されたエネルギーですら、
質量にして、わずか1グラム以下ですからね。

それにしても、タイムリーな話題ですよ。
ちょうど、相対論の話を書こうと思ってたんです。
といっても、最近、勉強し始めたばかりですが・・・汗

2乗の上付き文字は、本文だと <sup>2</sup>と
書けばいいのですが、コメント欄だとタグは使えないみたいですね。
そういう時は、「mc^2」という風に書く習慣があるんですよ。
by: dyne→タワシさん * 2012/02/22 00:22 * URL [ 編集] | page top↑
----

「博士の愛した数式」は映画館で何度か見ました(^^♪もちろん本も読みましたが、オイラーの定理の響き「だけ」は憶えております(笑)
私の知っている唯一の数学者の方は、計算が苦手のようです(爆)
by: kassii3 * 2012/02/24 14:26 * URL [ 編集] | page top↑
--kassiiさんへ--

>「博士の愛した数式」は映画館で何度か見ました(^^♪もちろん本も読みましたが、オイラーの定理の響き「だけ」は憶えております(笑)

映画、ご覧になったんですね!
あの式は僕から見ると、すごく魅惑的な式なんですけど、
普段、あまり数学に関連していない方からみると、
どんな感じに見えるんでしょうかね?

>私の知っている唯一の数学者の方は、計算が苦手のようです(爆)

そんなもんかもしれません。
数学の世界は、計算をするというよりは、
ひたすら論理的な証明の世界なので、
実際に方程式を解くとかとは苦手だったりする人も
いるかもしれませんね(笑)

僕の大学時代に習った授業では、ひたすら、
微分方程式の解が存在することを証明する授業もあったぐらいです。
数学においては、重要なことなんですけどね^^;
結局、微分方程式の解き方は分かりませんでした(笑)
by: dyne→kassiiさん * 2012/02/24 23:38 * URL [ 編集] | page top↑
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