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∫ 0.99999・・・ = 1
2012 / 01 / 11 ( Wed )
最近、物理・数学編は、調和振動子の計算の記事ばかり書いていて、
さすがに、こんなのずっと書いててもなあ・・・と思えてきましたので(笑)
もう少し分かりやすい数学の記事でも書こうと思います。

0.99999・・・ = 1

って、正しいと思いますか?

この式は数学的に厳密に正しいのですが(僕の知る限り)、
これを知った時は、かなり意外だったのを覚えています。
だって、初めの桁からして、既に違ってますからね(笑)

ちょっと厳密性は欠きますが、
小学生でもわかる簡単な証明をまず紹介します。

まずは、0.99999・・・ を x と置きます。

x = 0.99999・・・   (1)

両辺を10倍すると、小数点が一桁右へ移動するから、

10 x = 9.99999・・・  (2)

(2)から(1)を引くと・・・

   10 x = 9.99999・・・
-)    x = 0.99999・・・
-----------------------------
    9 x = 9.00000・・・

小数点以下はすべて同じく9が続いているので、
引き算すると全部ごっそり消えてしまいます。

というわけで、

9 x = 9

となり、めでたく、

x = 1

という答が出ます。

なんか、だまされたような証明ですよね!
でも、答えは正しいんですよ。

高校レベルの数学を使うと、もう少しちゃんとした証明が出来ます。
それには無限級数を使います。

0.99999・・・は、無限級数で表すと、

0.99999・・・
= 9/10 + 9/102 + 9/103 + ・・・ + 9/10n + ・・・


初項が 9/10 で、公比が 1/10 の無限級数になります。
公比の絶対値が1より小さいと、この和、
和 = 初項 / ( 1 - 公比 ) に収束するので、

0.99999・・・
= (9/10) / ( 1 - 1/10 )
= (9/10) / (9/10)
= 1

となります。

なんか不思議ですよね!
でも、これはおそらく、「極限」というものがそのように定義されてるからなんです。

つまり、0.99999・・・はどこまで行っても、厳密に1にはならないのですが、
「限りなく、どこまでも近づけられる」というのを「極限」と定義して、
数学的なイコールで結んでしまおうと決めたからなんですよね。

ちょっと哲学的なにおいのするこの式、結構好きなんです(笑)
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 20 : 42 | 数学(高校+α) | コメント(18) | page top↑
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コメント
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出た~(;一_一)「限りなくゼロに近づく」ってやつ!こ、こいつが私の進路を妨害しやがったのです(プルプル・ワナワナ)

なんか、数学ってきれいに割り切れるって思ってたのに、1=0.999…とか、限りなくゼロに近づくとか、そんな話をされた辺りからすっごい胡散臭い気がして、詐欺にあったというか、だまされたというか。いくら理路整然と説明されても「そんなこと信じたくない」って気持ちが思考回路をシャットダウンさせてしまうのですよ。だってやっぱりなんかズルイもん!

って、単に私のオツムがアホなだけなんですけどね(^^;;

by: トマト * 2012/01/11 09:09 * URL [ 編集] | page top↑
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うゎ~ホントだ~~。
何でだろう・・・。
dyneさんのおっしゃってる事は分かるのですが、でも結果的にどうしてこうなっちゃうのかがいまいち納得出来ない・・。
変なの~~。
by: らべんだ〜 * 2012/01/11 17:58 * URL [ 編集] | page top↑
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お~、ホントに1になってますね(@_@)
dyneさんの説明聞くと納得出来るのに、でもやっぱりなんだか騙された気分です(笑)。
限りなくどこまでも1に近づけられるのは分かりますけど、限りなく近くはあるけどでも結局1じゃないんじゃ?とか思ってしまう私はきっと数学向いてないですね(笑)
確かに哲学的な匂いがしますが、そういえば私は哲学全然ダメでした(-"-)
歴史で哲学は重要だったのに…汗
by: エラニユース * 2012/01/12 00:43 * URL [ 編集] | page top↑
--トマトさんへ--

>出た~(;一_一)「限りなくゼロに近づく」ってやつ!こ、こいつが私の進路を妨害しやがったのです(プルプル・ワナワナ)

そうだったんですね!

>なんか、数学ってきれいに割り切れるって思ってたのに、1=0.999…とか、限りなくゼロに近づくとか、そんな話をされた辺りからすっごい胡散臭い気がして、詐欺にあったというか、だまされたというか。いくら理路整然と説明されても「そんなこと信じたくない」って気持ちが思考回路をシャットダウンさせてしまうのですよ。だってやっぱりなんかズルイもん!

ああ、分かる気がします~(笑)
確かに、「限りなく近づく」って表現、嫌ですよね。
僕も高校の時、「極限」を「限りなく近づく」って定義された時は、
そんなあいまいな定義じゃ、その後の証明とかできないじゃん?って、
詐欺にあった気がしましたね(笑)
(実際は語尾は「じゃん」ではなくて、関西弁でしたが・・・)

でも、大学に入ると、この「限りなく近づく」を
もっとしっかりと定義するんですよ。
分かりやすいように、ちょっと砕けた表現にすると・・・

「どんな小さな正の数ε(>0)を持ってきても、
必ず、ある整数Nが存在して、
そのNより大きいすべての整数n(>N)に対して、
| a_n - x | < ε
が成り立つ。
(つまり、a_n と x との差がεより近づく)」

という条件が成立する時、

「数列a_nの極限は、xである」

と定義します。

これだと、きちんと不等式だけで定義されているので、
あいまいさはなくなるんですよね。
この定義を初めて知った時、世の中かしこい人がいるもんだなあ・・・
と思いましたよ(笑)

それでもやはり胡散臭いですか?(笑)
by: dyne→トマトさん * 2012/01/12 13:21 * URL [ 編集] | page top↑
--らべんだ~さんへ--

>dyneさんのおっしゃってる事は分かるのですが、でも結果的にどうしてこうなっちゃうのかがいまいち納得出来ない・・。
>変なの~~。

納得できない・・・という気持ちはよくわかります(笑)
極限というものがそういう風に定義されてるからですよ。

もし、無限じゃなくて、「・・・」の部分が途中で切れてるなら、
小数点がずれた分、小数点以下にある9が一つ足りなくなるので、
引き算しても、全部ごっそりゼロにはなってくれないんです。
無限だから、こういうことができるんですよね~。

この証明パターンって、小学校の問題で、
循環小数を分数に直す時に出てくる常套手段なので、
らべんだ~さんも、もぞちゃんやわき子ちゃんの宿題で
ご覧になったことあるかもしれませんね(笑)
by: dyne→らべんだ~さん * 2012/01/12 19:53 * URL [ 編集] | page top↑
--エラニユースさんへ--

>お~、ホントに1になってますね(@_@)
>dyneさんの説明聞くと納得出来るのに、でもやっぱりなんだか騙された気分です(笑)。

やっぱり、だまされた気分になりますよね(笑)
特に小学生向けの証明の方は、だまされた気がするので、
あんまり好きじゃありません(笑)

>限りなくどこまでも1に近づけられるのは分かりますけど、限りなく近くはあるけどでも結局1じゃないんじゃ?とか思ってしまう私はきっと数学向いてないですね(笑)

そんなことないですよ~。
無限に行かないと、途中で切れてしまえば、
1ではないということを理解するのも重要なことだと思うので。。。

極限がそういう定義だということを納得してしまうしかないですよね。
極限の概念のおかげで微分積分ができるようになったわけで、
微分積分がなければ、物理は何一つ理解できないし、
現代の科学や文明はありえないので、
ちょっとだまされた気分になっても、
あってよかったと思います^^

>確かに哲学的な匂いがしますが、そういえば私は哲学全然ダメでした(-"-)
>歴史で哲学は重要だったのに…汗

哲学は確かに、歴史においては、超重要ですよね(特に世界史では・・・)
僕は哲学も結構、好きですよ。
学生時代は、かなり哲学書ばかり読んでた時期もありました。。。
デカルトの「方法序説」とか、カントの「純粋理性批判」とか・・・
難しくて、さっぱり理解できませんでしたけどね・・・汗
今、読んだら、意外ともう少し理解できるかも!
人生経験も積んだので。。。(笑)
by: dyne→エラニユースさん * 2012/01/12 20:03 * URL [ 編集] | page top↑
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「数列a_n」からしてわかんないです…(>_<)ごめんなさい、せっかく丁寧に説明してくださったのに。あとね、いつも思うんですけど「無限なのに引き算が完了する」ってのが気に入らないんです(-"-)!無限なんだから引き算完了しないと思うんですよね~(←って重ね重ねすみません、どうしても理解したくないみたいです、私)。

でも「限りなくゼロに近づく」じゃなくて、不等式できちんと表せる「極限」という概念があるってことは今日初めて教えてもらったお話なので、そこは素直に頭に入れときました。生まれ変わったら、ちゃんと勉強してみたいと思います(やっぱ素直じゃない^^;;)

PS:そう言えば、確か小学生の頃に「アキレスが亀に追いつけない」って話を読んだ時の「胡散臭さ」に似てる。
by: トマト * 2012/01/12 20:47 * URL [ 編集] | page top↑
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そうですよトマトさん。

かの有名な「アキレスは亀に追いつけない」パラドクス。
足が速いことで知られるアキレスは、亀より後ろから走り出した場合、
あゆみがノロイはずの亀に追いつけない。
なぜなら、アキレスが亀のいた位置①にたどりついたとき、
亀は少し進んで位置②にいる。
アキレスが位置②にたどりついたとき、亀はほんの少し進んだ位置③にいる。
アキレスが位置③にたどりついたときは亀はほんの少しの少し進んだ位置④にいる。
アキレスが…というやつ。


これを子どものときに何かで読んだときは、ずいぶん考えこんだもんです。

でも、これも
たとえばアキレスが①にたどりつくまでの時間が0.9時間で、
②、③、④とたどりつくための時間が1/10づつになってゆくとすれば
0.9+0.09+0.009…で
0.99999・・・ = 1
と同じなんですね。永遠にたどりつけないのではなく、ある時間でたどり着く。
ということで「パラドクスなんかじゃない」と説明されたときは
なんか釈然としなかったものです←今も問題のすり替えだと思う^^;




ヒー、ヒー、目一杯の速さで走っているのに、
いつまでたっても追いつけない。どういうわけだ!
やめた。どうしても追いつける気がしない。

アキレスよ、あきらめるな。公比の絶対値が1より小さい無限級数は一定値に収斂する。
かくかくしかじかだ。

うーん、なんだか騙されてるような気が。

数学を信じろ!

「さあ、各馬いっせいにスタートしました。しかし解説のゼノンさん、あんな方法で本当に走るんですね」
「数は連続してなければならず、かつ連続していてはならないんですね。可能無限を…」
「えー、それはともあれdyne騎手のアキレス号、今日も鼻先にんじんで、すばらしい走りを見せております」
by: とびたか * 2012/01/12 21:14 * URL [ 編集] | page top↑
--トマトさんへ--

>「数列a_n」からしてわかんないです…(>_<)ごめんなさい、せっかく丁寧に説明してくださったのに。

あ、いえいえ、他に読まれる方のためにも、
書いておいたという意味もありますので。。。

いきなり、数列 a_n になっちゃうと分かんないですよね(汗)
a_1 = 0.9
a_2 = 0.99
a_3 = 0.999
・・・
という風に続けていくと、a_n が1に近づくという意味でした。

>あとね、いつも思うんですけど「無限なのに引き算が完了する」ってのが気に入らないんです(-"-)!無限なんだから引き算完了しないと思うんですよね~(←って重ね重ねすみません、どうしても理解したくないみたいです、私)。

無限なのに、引き算が完了するというのは、確かにおかしいですよね!
なので、小学生向きの証明はやや乱暴で、
数学的には厳密ではないんです。
高校以上では、こんな証明では認めてもらえません。

ちゃんと、n個めの表式を作っておいてから、
最後に、nを無限大までぶっ飛ばしてしまうというのが正しいやり方です。

>でも「限りなくゼロに近づく」じゃなくて、不等式できちんと表せる「極限」という概念があるってことは今日初めて教えてもらったお話なので、そこは素直に頭に入れときました。生まれ変わったら、ちゃんと勉強してみたいと思います(やっぱ素直じゃない^^;;)

少しでもお役に立てたようでよかったです。
生まれ変わったら、お知らせください(笑)

>PS:そう言えば、確か小学生の頃に「アキレスが亀に追いつけない」って話を読んだ時の「胡散臭さ」に似てる。

ああ、この話も不思議ですよね~
詳しくは、↑とびたかさんが説明して下さったので、
助かりました(笑)
by: dyne→トマトさん * 2012/01/13 13:32 * URL [ 編集] | page top↑
--とびたかさんへ--

>でも、これも
たとえばアキレスが①にたどりつくまでの時間が0.9時間で、
②、③、④とたどりつくための時間が1/10づつになってゆくとすれば
0.9+0.09+0.009…で
0.99999・・・ = 1
と同じなんですね。永遠にたどりつけないのではなく、ある時間でたどり着く。
ということで「パラドクスなんかじゃない」と説明されたときは
なんか釈然としなかったものです←今も問題のすり替えだと思う^^;

ゼノンのパラドックスの詳しい説明、ありがとうございます。
この話が、0.99999・・・=1の話に結びつくとは
気づきませんでしたが、言われてみれば、ほんとですね!
こういうパラドックスや偽証明みたいな話は、僕も結構好きです。

とびたかさんが読まれている「無限に魅入られた数学者たち(?)」
という本も面白そうですよね。

無限がからむと、当たり前と思ってたようなことが当たり前でなくなったり、
当たり前でないことが当たり前になったり・・・
僕の有限な頭では、もうついていけません(汗)
by: dyne→とびたかさん * 2012/01/13 13:39 * URL [ 編集] | page top↑
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私がどこかで読んだ証明法は、

1/9=0.111111……(1の上に点がついた循環小数の表記)

両辺に9をかけて、

1=0.999999……(9の上に以下同文)
(証明終わり)

何だか、騙されたような気がしなくもありません(笑)。
by: NaGISA * 2012/01/13 18:44 * URL [ 編集] | page top↑
--NaGISAさんへ--

>1/9=0.111111……(1の上に点がついた循環小数の表記)
>両辺に9をかけて、
>1=0.999999……(9の上に以下同文)
>(証明終わり)

そんな証明、初めてみましたよ!
たったの2行、すばらしいですね(笑)
小学生向けは、こっちの方がシンプルで素敵ですね。

>何だか、騙されたような気がしなくもありません(笑)。

だまされてるとしか思えません(笑)
この胸のモヤット感は、どうすればよいのやら・・・爆
by: dyne→NaGISAさん * 2012/01/13 22:53 * URL [ 編集] | page top↑
----

NaGISAさんの証明を見ると、シンプルでさすがの私も理解できてしまうだけに、付け入る隙がありませんね。悔しいけど、初めて1=0.9999…を認めなくちゃいけないのかな~(←負け惜しみ)って気になりました。そっかぁ…。でも、それなら線分図って何?
by: トマト * 2012/01/14 09:40 * URL [ 編集] | page top↑
--トマトさんへ--

>NaGISAさんの証明を見ると、シンプルでさすがの私も理解できてしまうだけに、付け入る隙がありませんね。悔しいけど、初めて1=0.9999…を認めなくちゃいけないのかな~(←負け惜しみ)って気になりました。そっかぁ…。

ほんと、シンプルですごいですよね!
あっさり認めてしまいましょう^^

・・・って、僕はこういうエレガントすぎる証明見ると、
逆にだまされた気になって、認められなくなっちゃうんですよね(笑)
むしろ、多少複雑でも、自分でも思いつくかな
というような
正攻法な証明の方が信じられます。

>でも、それなら線分図って何?

線分図って、何ですか?
by: dyne→トマトさん * 2012/01/14 13:32 * URL [ 編集] | page top↑
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トマトさんが「線分図」で何をおっしゃっているのか私も分かりませんが、
線分図を「見よ」というだけの「証明」もあります。

長さ1の線を、左から10分の9のところで二分割した図。
それをただ「見よ」。

10分の9と10分の1に分けられた、その10分の1もまた、
10分の9と10分の1に分けられる。
その10分の1もまた。
というわけで、9/10+9/100+9/1000…は、
というか1/2+1/4+1/8…であろうとなんだろうと、
線分の分割を示すに過ぎない数列は、
全部足せば元の線分値になる、当たり前じゃないか、という「証明」

ゼノンが無限級数なんて言葉を使わないにしても
それぐらい分かってなかったはずがない。

アキレスと亀のパラドクスについて言えば
ゼノンは、なぜアキレスは亀にたどり着くのか
(それは証明などいらない、事実としてわかっている)
と問いかけているのに、

X= であろうと
1/9= であろうと
イコールと置いたとき
アキレスが亀にたどり着いたときから
さて、それまでに必要だった時間の1/10のときアキレスは何処にいたか
さらにその1/10のときに…という線分分割の問題にすりかえてしまって、
「なぜたどり着くのか」に答えてない
ということでケチをつけられませんかね(笑)

なお、いつものホラ話。
こっそり改定しております。


前 「えー、それはともあれdyne舎のアキレス号、今日も鼻にんじんで、すばらしい走りを見せております」

後 「えー、それはともあれdyne騎手のアキレス号、今日も鼻先にんじんで、すばらしい走りを見せております」

理由は特に説明しませんが(汗)
by: とびたか * 2012/01/14 18:21 * URL [ 編集] | page top↑
--とびたかさんへ--

>トマトさんが「線分図」で何をおっしゃっているのか私も分かりませんが、
>線分図を「見よ」というだけの「証明」もあります。

線分図って、なんかそういうものがあったような
おぼろげな記憶はあるんですが、
なるほど、そういう証明があるんですね!

>イコールと置いたとき
>アキレスが亀にたどり着いたときから
>さて、それまでに必要だった時間の1/10のときアキレスは何処にいたか
>さらにその1/10のときに…という線分分割の問題にすりかえてしまって、
>「なぜたどり着くのか」に答えてない
>ということでケチをつけられませんかね(笑)

アキレスと亀が本当のところ、何を意味しているのかは
僕には分かりませんが、確かに、イコールと置いてしまう時点で
何か前提がされてしまっている気がしなくもないですね(笑)

0.999・・・=1については、数学的極限がそのように定義されている
ということで、僕は特に疑問なく理解してしまっています。
数学ではそのようなところにも踏み込まなければならないのでしょうが、
物理においては、微分積分を導入するのが目的ですからね。
これで、十分な気がしています^^
by: dyne→とびたかさん * 2012/01/15 15:21 * URL [ 編集] | page top↑
--仕方ない…--

わかりましたぁ。
悔しいけど、1=0.99999…ですぅ<`ヘ´>

ふふ、素直じゃないなあ、私。それにしても、dyneさん、とびたかさん、NaGISAさん、ありがとうございました。今まで1=0.9999…だって言われて「そんなの納得できません!」って言い返したところで、誰もこんな風に説明してくださったことありませんでした。たいてい、こんなアホに説明してもムダだと思われたんだと思いますけど、今は以前とはちょっと違う面持ちです。ビビビっとは来ませんでしたし、しっくりきたわけでもありませんけど、認めざるを得ないな~と思えました。世の中そうだったんだ~と(笑)。とりあえず来世まで持ち越す必要はなさそうです(^^)。
by: トマト * 2012/01/16 13:07 * URL [ 編集] | page top↑
--トマトさんへ--

お返事、非常に長らく、お待たせいたしました。。。

>わかりましたぁ。
>悔しいけど、1=0.99999…ですぅ<`ヘ´>

ついに~、トマトさん折れましたね!
でも、最後の顔文字が、まだっぽいような・・・笑

>ビビビっとは来ませんでしたし、しっくりきたわけでもありませんけど、認めざるを得ないな~と思えました。世の中そうだったんだ~と(笑)。とりあえず来世まで持ち越す必要はなさそうです(^^)。

何はともあれ、納得していただけてよかったです^^
たぶん、来世まで持ち越したところで、
まったく何の実害もなかったであろう問題だとは思いますが(笑)、
現世のうちに解決できて、まあそれはそれでよかったのではないかと・・・^^;

この調子で、また、他の問題もトマトさんに
納得していただこうと思いますので、
これからも、よろしくお願いします(笑)
by: dyne→トマトさん * 2012/01/23 23:32 * URL [ 編集] | page top↑
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