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∫ リーマンのゼータ関数 (4)
2011 / 05 / 31 ( Tue )
もう書くの飽きてきたのですが、
一応、ζ(4)の証明が当初の目的だったので、
最後まで責任持って書いておきます(笑)

ζ(4) = 1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + ・・・ = π4/90

を証明します。

前回記事での sin x の2通りの級数展開

sin x = x - x3/3! + x5/5! - ・・・   (1)

sin x = x {1 - x22} {1 - x2/(2π)2}・・・{1 - x2/(nπ)2}・・・  (2)

において、今度は、5次の係数を比較します。

(1)の係数は、簡単で 1/5! = 1/120

問題は、(2)の係数で、今回はちょっと複雑。
x5になるようにするには、x2の部分を2つ取る組み合わせを
考えなければなりません。

そうすると、係数は、

ΣΣm>n 1/m2n2π4

となります。 これらが等しいのだから、

ΣΣm>n 1/m2n2 = π4/120  (3)

ということがまずわかります。

ここで、すべてのm,nについて和を取ったもの
ΣmΣn 1/m2n2

を考えると、

ΣmΣn = ΣΣm=n + ΣΣm > n + ΣΣm < n  (4)

と分けることができて、

ΣΣm=n 1/m2n2 = Σn 1/n4 = ζ(4)

ΣΣm < n 1/m2n2 = ΣΣm > n 1/m2n2 = π4/120

だから、(4)式は、

ΣmΣn1/m2n2 = ζ(4) + 2×π4/120   (5)

となります。

一方、この式の左辺は、

ΣmΣn 1/m2n2 = (Σm 1/m2) (Σn 1/n2) = ζ(2)2 = π4/36  (6)

と計算できます。
ζ(2)の値は、前回記事で証明済の値を用いました。

最後に、(5)と(6)から、

ζ(4) = π4/36 - π4/60 = π4/90

となり、めでたく証明終了!
これで、ゼータ関数の記事は終わりです。

参考にしたサイト
http://homepage3.nifty.com/aya_js/math/math01.htm
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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