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∫ リーマンのゼータ関数 (3)
2011 / 05 / 26 ( Thu )
ζ(4) = 1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + ・・・ = π4/90

のオイラーの証明ですが、その前に、

ζ(2) = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ・・・ = π2/6

の証明の方が簡単なので、こちらから先に。

これは、バーゼル問題と言われて、
時の数学者が必死で取り組んでいたそうです。

まずは、sin x のテーラー展開を考えます。
sin x = x - x3/3! + x5/5! - ・・・   (1)

実は、もうひとつ、sin x の展開方法があるそうで、
これが無限積展開というもの。

たとえば、x=1,2,3 に零点を持つ3次式 f(x) が、

f(x) = a(x-1)(x-2)(x-3) = b(1 - x)(1 - x/2)(1 - x/3)

という風に書けるように(a,bは定数)、

sin x も x = ±nπ(n = 0,1,2,・・・) に零点を持つので、

sin x = x (1 - x/π) (1 + x/π) (1 - x/2π) (1 + x/2π)・・
                   ・・(1 - x/nπ) (1 + x/nπ)・・・


と書けるんだそうで、2つずつ、まとめると、

sin x = x {1 - x22} {1 - x2/(2π)2}・・・{1 - x2/(nπ)2}  (2)

(1)、(2)の2通りの展開を見比べて、係数を比較すると、証明したい式が現れるという仕掛け。

たとえば、x3の係数を比較すると、

(1)の係数は、-1/3! = -1/6

(2)の係数はというと、初めのxにどれか一つのx2の因子を掛けると、x3になるから、

- 1/π2 - 1/(2π)2 -・・・- 1/(nπ)2 - ・・・
= - 1/π2 { 1 + 1/22 + 1/32 + ・・・ + 1/n2 + ・・・}

これらを等しいと置くと、
1 + 1/22 + 1/32 + ・・・ + 1/n2 + ・・・ = π2/6

となり、ζ(2)の方は証明完了!

言われてみると単純ですが、いきなり sin が登場なんて、
凡人には到底思いつきませんね!

それに、こういう無限積展開が可能ということは、
厳密には証明していかなければならないので、実際はもっと大変です。

ζ(4)の方は、x5の係数を比較すると、出てくるのですが、
これは、少し複雑になりますので、次回に(余力があれば・・・)

いろいろなサイトを参考にさせていただきましたが、
特にこのサイトが分かりやすくて、参考になりました。
このサイトでは、ζ(2n)の一般形まで証明していて、頭が下がります。
http://homepage3.nifty.com/aya_js/math/math01.htm
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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