スポンサーサイト
-- / -- / -- ( -- )
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
-- : -- : -- | スポンサー広告 | page top↑
∫ リーマンのゼータ関数 (2)
2011 / 05 / 19 ( Thu )
件の積分

I = ∫0 x3 / ( ex - 1 ) dx = π4 / 15

の証明ですが、いろいろネットで探しているうちに、
数学的厳密性にこだわなければ、わりと簡単に理解できるものだったので、
何回かに分けて証明しておきます。

まず、1 / (ex - 1) の分母分子に e-x を乗じると、
x > 0 では、|e-x| < 1 だから、

1 / (ex - 1)

= e-x / ( 1 - e-x )

= e-x + e-2x + e-3x + ・・・

= Σn=1 e-nx

という無限等比級数に変形できるので、

I = ∫0 x3 / ( ex - 1 ) dx

= ∫0 [ Σn=1 x3 e-nx ] dx

= Σn=1 ∫0 x3 e-nx dx

となります。

ここで、Σと∫の順序を入れ替えて、項別積分するためには、
ほんとは、一様収束性を確認しなければなりませんが、
数学的厳密性にはこだわらないってことで、省略^^;

次に、∫0 x3 e-nx dx の計算をしたいのですが、
一般的に、

In,k = ∫0 xk e-nx dx

の値を求めておくことにします。
部分積分をひたすら使う方法です。

In,k = ∫0 xk e-nx dx

= ∫0 xk (d/dx)[ e-nx / (-n) ] dx

= -1/n ∫0 xk (d/dx)[ e-nx ] dx

= -1/n [ xk e-nx ]0 + 1/n ∫0 (d/dx) [xk] e-nx dx

= k/n ∫0 xk-1 e-nx dx

= k/n In,k-1

・・・ = k!/nk In,0

ここで、

In,0 = ∫0 e-nx dx = 1/n

であるから、

In,k = k! / nk+1

求めたい積分にこの式を用いると、

I = Σn=1 In,3 = Σn=1 3! / n4

= 6 Σn=1 1/n4

= 6ζ(4)

となり、リーマンのゼータ関数が登場するわけです!

このゼータ関数の特殊値ζ(4)は、

ζ(4) = π4 / 90

となることをオイラーが証明していて、それを用いると、

I = π4 / 15

となり、証明終了!

次回は、このオイラーの証明について、見ていきます。
スポンサーサイト

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

18 : 24 : 11 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
<<♪ ピアノの物理 | ホーム | ∫ リーマンのゼータ関数>>
コメント
コメントの投稿














管理者にだけ表示を許可する

| ホーム |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。