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∫ リーマンのゼータ関数
2011 / 05 / 18 ( Wed )
今、気になっているのがリーマンのゼータ関数!

興味を持った経緯は、またあらためて書きますが、
この積分の証明が知りたくなったのがきっかけ。

0 x3 / ( ex - 1 ) dx = π4 / 15

さしづめ、複素積分にして、留数定理か何かを使うんだろうと思ったら、
そう簡単でもなさそう。。。
いろいろネットで探してみたら、
リーマンのゼータ関数を使うということが分かりました。

また、めんどくさいことになったなと思いつつ(笑)、
さらに調べていたら、
これがなんともミステリアスな関数!

数学者が一度ハマったら、一生抜け出せなさそうな関数ですね(笑)

端的に言うと、

1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ・・・

1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + ・・・

といった数列を延々と足していくと、いったい、どんな数になるの?という話。

指数を一般のsにしたものをリーマンのゼータ関数と言うらしい。
つまり、

ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ・・・ = Σn=1 1/ns

簡単そうに見えて、この級数の答を得るのは、大変難しかったようで、
上のs=2やs=4の時のような特殊な値については、
数学者オイラーが大変な苦労の末、答を見つけ出したようです。

さらに解析接続によって、定義域を複素平面上に拡張すると、
負の整数sに対して、

ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ・・・= -1/12

とか、

ζ(-2) = 1 + 22 + 32 + 42 + ・・・ = 0

とか、恐ろしいことになってくるようです。

さらに、このゼータ関数には、素数の分布に関する大きな知見が含まれていて、
150年以上たってもいまだ証明されていない難題である
「リーマン予想」も、このゼータ関数の零点に関する話。

まあ、そんな深みに入るつもりは毛頭なくて、
ただ、初めの積分の証明がわかればいいんですけど、
なんとも摩訶不思議な世界ですね。
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

22 : 57 : 53 | 数学(解析・関数論) | コメント(2) | page top↑
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コメント
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>さらに解析接続によって、定義域を複素平面上に拡張すると、
>負の整数sに対して、
>
>ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ・・・= -1/12
>
>とか、
>
>ζ(-2) = 1 + 22 + 32 + 42 + ・・・ = 0
>
>とか、恐ろしいことになってくるようです。




こういうのはいかがですか?

1 + 2 + 3 + 4 + ・・・= 2 + 4 + 6 + 8 + ・・・
by: 渡 弘道 * 2011/05/20 03:28 * URL [ 編集] | page top↑
--渡さんへ--

>1 + 2 + 3 + 4 + ・・・= 2 + 4 + 6 + 8 + ・・・

そんなのもあるんですか?
数学は、ミステリアスですね!
そこが面白いですけど・・・(笑)
by: dyne→渡さん * 2011/05/20 17:32 * URL [ 編集] | page top↑
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