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∫ 群の逆元と逆行列
2011 / 04 / 27 ( Wed )
群論始めてまだ一週間の超初心者がこんな記事を書いて、
はなはだ申し訳ないのですが・・・

片側の逆元と単位元の存在を仮定するだけで、
もう一方の逆元・単位元の存在が証明できてしまう!


というのはなんだか摩訶不思議で、面白いですね!

詳しく書くと・・・

群 G を最小限の定義を用いて、以下を満たすような集合 G と定義します。

(1) 閉じた積が定義される。 すなわち、a,b ∈ G ⇒ ab ∈ G
(2) 結合法則が成立。すなわち、(ab)c = a(bc)
(3) すべての元 a に対して、ae = a となる 右単位元 e がGに存在。
(4) 元 a に対して、必ず、aa-1 = e となる 右逆元 a-1 がGに存在。

ここで、右単位元、右逆元の存在を仮定するだけで、
これらは自然に、
ea = a となる 左単位元
a-1a = e となる 左逆元
にもなっているらしいのです。

証明はわりと単純。
右逆元もGの元だから、さらに、その右逆元が存在するはずで、
a-1 (a-1)-1 = e

右単位元を用いながら、右辺を変形して、
a-1 (a-1)-1
= ( a-1 e ) (a-1)-1
= { a-1 ( a a-1 ) } (a-1)-1
= ( a-1 a ) { a-1 (a-1)-1 }
= ( a-1 a ) e
= a-1 a

∴ a-1 a = e

となり、a-1が左逆元であることは、証明終了。

ae = a に上の式を代入すると、
a ( a-1 a ) = a
( a a-1 ) a = a
e a = a

となり、eが左単位元であることも、証明終了。

なぜ、こんな記事を書いたかというと、
正方行列の逆行列との関連性。

AA-1 = E を満たす A-1 (右逆行列)が存在すれば、
A-1A = E となり、左逆行列でもある。
(有限次元の場合)

という定理がありました。

教科書に載っているこの定理の証明がなんだか複雑で、
あまりフォローする気になれないのですが、
群の場合のすっきりとした証明との違いは何なのだろう?
と、疑問に思ったんです。

考えてみると、大きな違いは、群の場合、
「右逆元にも、さらにその右逆元が必ず存在する」
ということが前提されているのがポイントなんでしょうね。

上の行列の定理の場合、
AA-1 = E を満たす A-1 (右逆行列)が存在することはわかっても、
さらにその右逆行列 (A-1)-1 が存在する保証はないので、
群のような証明の論理が使えないということになります。

というよりも、
この定理を別の手段で証明してはじめて、
正則行列が群をなすことが示せるという論理なんでしょうか。

もう少し群論読み進めてみないと、わかりませんね。
あまり深みに入らないように気をつけます(笑)


参考文献:
Frederick W. Byron Jr. Robert W. Fuller
"Mathematics of Classical and Quantum Physics"
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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