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∫ 量子力学の行列形式 (1)
2011 / 04 / 18 ( Mon )
せっかく、対角化の記事を書いたところなので、
量子力学でどう使うかについてまで、
まとめておこうかなと思ったのですが、
意外にどう書いたらいいか難しいですね!

※この記事は、シッフの「量子力学」を参考にしています。


量子力学的状態は、抽象的なベクトルで表現できる。

Diracが考案したブラケット記法を用いることにして、
たとえば、ある状態αをベクトルとして、|α>と表す。
(このベクトルを「ケット」と呼ぶ)

ハミルトニアンHの固有値Ekに対する固有状態を |k> と書くことにすると、

H |k> = Ek |k>

Hはエルミートだから、|k> を正規直交基底とすることができ、
完全系であれば、任意の状態αを次のように展開することができる。

|α> = Σk ak |k>

この展開係数を並べると、成分表示になり、ベクトルっぽく見えてくる。

|α> = ( a1, a2, ・・・, ak, ・・・ )

同じように、|k>をこの成分表示で表すと、
          ↓k
|k> = ( 0, 0, ・・・, 1, 0, ・・・)

という風に、k番目だけが1になった単位ベクトルである。

ところで、正規直交基底の取り方なんて、他にもいくらでもありうるから、
これ以外の成分表示で表すことも出来る。

たとえば、ハミルトニアン以外の別のある物理量演算子Ωの
固有状態を基底にとることを考える。
固有値をωμに対する固有状態を|μ> と書くと、

Ω|μ> = ωμ|μ>

物理量演算子なので、エルミートだとすると、
やはり、正規直交基底とすることができて、
完全性を仮定すると、状態αを

|α> = Σμ bμ |μ>

のようにも展開することができる。

同様に、成分表示にすると、

|α> = ( b1, b2, ・・・, bμ, ・・・)

今度は、基底自体を成分表示すると、|k>の時と同様に、
           ↓μ
|μ> = ( 0, 0, ・・・, 1, 0, ・・・)

この|μ> を基底に取った表示では、
もはや、|k> は先ほどのようにきれいな形では表せない。
(すべての成分に値を持つことになる)

まだ対角化はでてきませんが、とりあえず、今回はここまで。
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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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