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∫ エルミート行列のユニタリ変換による対角化
2011 / 04 / 14 ( Thu )
なぜ、エルミート行列の対角化が重要か?

それは、エルミート行列は必ず、実数の固有値を持つため、
実測できる物理量の演算子は、エルミート行列で表されるから。
しかも、ユニタリ変換、すなわち正規直交性を不変にする基底の変換で
対角化できるのがポイント。

というわけで、このあたりを少し。。。
(勉強中の身なので、間違ってるかもしれません・・・)

まず、随伴行列とは、Aに対して、
( x, Ay ) = ( A+x, y )
となるような行列A+のこと。

具体的には、ベクトルの内積を行列の積として計算すると、
(x, Ay) = xT*(Ay) = xT*Ay = (AT*x)T*y = (AT*x, y)
となるから、
A+ = AT*
すなわち、随伴行列は、転置して複素共役をとったものになる。

この随伴行列A+が自分自身Aと等しい、
自己随伴な行列をエルミート行列と呼ぶ。
式で書くと、A+ = A
自分の分身が自分自身みたいなイメージでしょうか?(笑)

エルミート行列ならば、
( x, Ay ) = ( Ax, y )
となり、そのままの形で、内積の右へ行ったり、左へ行ったり・・・
と、自由自在に活躍できるってわけですね!

ユニタリ変換とは、
変換しても内積を不変にするような変換のこと。
つまり、
( Ux, Uy ) = ( x, y )
となるような変換。
内積が不変だから、内積で定義されたノルムも不変。
よって、正規直交基底は、変換されても、正規直交基底になる。
複素空間上の軸が回転するイメージでしょうか?

さっきの随伴行列を使うと、
( Ux, Uy ) = ( U+U x, y )
だから、 U+U = E で、 U+ = U-1

以上が定義の話。
ここからは、Aを正則なエルミート行列として話を進めます。

固有値λi、固有ベクトル pi とすると、
A pi = λi pi   (pi≠0)

正則性から、pi はn個あり、すべて線形独立。
(ここ、合ってるかどうか、自信なし)

( pi, Api) = λi ( pi, pi) = λi |pi|2
( Api, pi) = λi* ( pi, pi) = λi* |pi|2

エルミートならば、この2つは等しいはずなので、pi≠0の仮定より、
λi = λi*、すなわち、エルミート行列の固有値はすべて実数!

前回の固有値と対角化の話を使うと、
固有ベクトルを並べて、行列 P を作れば、
P-1AP = D と対角化できるが、
この固有ベクトルは、定数倍しても固有ベクトル。
なぜなら、A(αp) = αAp = αλp = λ(αp)
というわけで、
固有ベクトルは、ノルムが1になるように、正規化できる。

また、固有値が異なる2つの固有ベクトル pk、pl を考えると、
(i と j にしようと思ったら、添え字の文字が小さすぎて、区別できない・・・汗)

( pk, Apl) = λl ( pk, pl)
( Apk, pl) = λk ( pk, pl)

エルミートなので、上の2つは等しいはず。
λk ≠ λl という仮定から、( pk, pl) = 0 となる。
異なる固有値に対する固有ベクトルは直交する。

固有値が等しい2つ以上の固有ベクトルがあると、
それらは直交するとは限らないが、
線形独立であるという仮定を置いたので、
シュミットの直交化法により、
直交した固有ベクトルを作ることが可能。

(線形結合が固有ベクトルとなるのは、上の定数倍と同様に証明可能)

以上を総合すると、
固有ベクトルとして、正規直交基底を作ることができる!

そこで、正規直交化した固有ベクトル ui を並べて、行列 U を作ると、
行列 U = ( u1 u2 ... un ) はユニタリ行列である。
なぜなら、
( U+U )kl = ( uk, ul ) = δkl となり、U+U = E

結論として、
正則なエルミート行列は、ユニタリ変換で対角化できる!
U+AU = D

正則性のところがちょっと自信ないですが、こんな感じです。
もっと簡単にまとめようと思ってたのですが・・・(汗)
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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