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∫ 固有値と対角化
2011 / 04 / 13 ( Wed )
行列の固有値と対角化について、思い出し中。

確か、高校の教科書には載ってなかったと思いますが、
大学受験では、なにげに、行列のn乗を求めるときの必須テクでしたよね!
(確か、高校の授業でも教わりました)

実際には、n乗を求めるのがそんなに重要なのかどうかは知りませんが、
(行列の級数の収束性とか考えるのには必要か・・・)
固有値と対角化自体は、量子力学では超重要な概念なのです!

というわけで、頭の整理。
線形代数の本を一から読んでいると、それはそれで面白いんだけど、
それだといつまでも物理に入れないので、
最低限の知識で雰囲気だけでもつかみたいってことで・・・(笑)

n次正方行列 A に対して、ある複素数λと複素ベクトルpが存在して、

A p = λ p  (p≠0)

と表せるとき、λをAの固有値、pをそれに対する固有ベクトルという。

(A - λE) p = 0

で、p≠0の解をもつためには、

det (A-λE) = 0

となり、これは、λのn次方程式になるので、代数学の基本定理より、
解は複素数として、重根を含んで、n個ある。
これらの解を λi、pi ( i = 1, ... , n ) とする。

重根(つまり縮退)がある場合は、pi はすべて線形独立とは限らないが、
n個ともすべて線形独立である場合のみを考えることにする。

線形独立なn個の pi を列ベクトルとして並べて、行列 P を作る。
P = ( p1 p2 ... pn )

AP = ( Ap1 Ap2 ... Apn )
= (λ1p1 λ2p2 ... λnpn )
= ( p1 p2 ... pn ) [ λ1 ... λn ]
= PD

ただし、D = [ λ1 ... λn ] は、λ1, ... , λnを対角要素にもつ対角行列を表すとする。

ゆえに、AP = PD

pi がすべて線形独立という仮定から、Pは正則、P-1が存在し、

P-1AP = D

という操作でAが対角化できることになる。

対角化した対角行列の対角要素は固有値となり、
対角化するための正則行列の列ベクトルは固有ベクトルとなる。


次回は、量子力学で重要となる
エルミート行列のユニタリ変換による対角化について、
整理してみます。
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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