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∫ 非正方行列の逆行列②
2011 / 04 / 13 ( Wed )
前回記事で、
Aが非正方行列の場合、
XA = E かつ AX = E の両方を満たす逆行列 X = A-1 は存在しない!

ということが分かりました。

A を m x n として、
m > n の時は、AX = E が不成立。
m < n の時は、XA = E が不成立。
ということがわかりましたが、

m > n の時なら、 XA = E、
m < n の時なら、 AX = E
という片側だけの逆行列なら、存在してもよさそうですよね!

と思って、調べてみたら、Wikiの「逆元」の記事に書いてありました!

右逆行列左逆行列なる行列が実際に存在するようです。

たとえば、m > n の場合を考えます。
A の階数は最大と仮定して、rank A = n
転置行列 AT についても、rank AT = n
積 ATA は、階数は n となる可能性があり、n次正方行列であるから、
その場合、ATA は正則となり、
通常の意味での逆行列 (ATA)-1が存在します。

つまり、

(ATA)-1(ATA) = E

となり、結合法則を使って、これを

(ATA)-1AT A = E

と読みかえれば、

X = (ATA)-1AT として、XA = E となります。

m < n の場合も同様にして、
X = AT(AAT)-1 として、AX = E とすることができます。

つまり、m > n の場合は左逆行列、m < n の場合は右逆行列
定義できてしまうわけですね!

これって、何に使うかは知りませんが、
逆行列の話は、とりあえず、これでおしまい(笑)
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

11 : 58 : 03 | 数学(代数・群論) | コメント(2) | page top↑
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コメント
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こんばんは♪
こちらの記事・・・あぁ・・頭が・・笑。
数学は高校生のときの数列でいきなりつまづき。。赤点だらけでした。
先ほどはブログ移転につき温かいコメントをありがとうございました。
私のほうでもリンクをいただきにあがりました。これからも仲良くしてください。
ありがとうございました!!
by: みーや * 2011/04/13 22:11 * URL [ 編集] | page top↑
--みーやさんへ--

単に勉強の励みに書いているというのもありますので、
適当にスルーしちゃって下さいね(笑)

数列、難しいですよね。
nにn+1を入れたりとか、頭が混乱します・・・
ちなみに、僕は数Iの多項式の展開のところ
あたりで赤点取りました(笑)
他にも何度か取ったような・・・(爆)

リンク、ありがとうございます。
お茶ブログも楽しみにさせていただきますね。
旧ブログのリンクも、見に行きたくなることがありそうなので、
残しましたが、もし、ご迷惑ならば、おっしゃってくださいね。
by: dyne→みーやさん * 2011/04/13 22:41 * URL [ 編集] | page top↑
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