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フライングガーデンの謎
2011 / 02 / 03 ( Thu )
お正月に録画しておいた「相棒スペシャル」を見ていたら、
爆弾殺人の話だったのですが、
フライングガーデン(※)が登場していました。
※「爆弾ハンバーグ」が人気の北関東のファミレスチェーン。

なかなか、芸が細かいですね~

ところで、このフライングガーデン。
金券半額デーというのがあって、お得ですよね!
現金で支払った分の半額が次回以降使える金券として
戻ってくるシステム。

この金券半額デーに通い続けると、いったいどうなるんだろう?

・・・と以前から思っていました。

毎回 a 円のものを食べるとして、
還元率を r (この場合は、r = 1/2)、
n 回目に現金で支払った金額を an とすると、

n 回目に現金で支払う金額は、
n-1 回目に得た金券分を差し引いて、

an = a - r an-1 ・・・(1)

となる。

この漸化式を a0 = a の初期条件で解く。

特性方程式は、

α = a - rα・・・(2)

(1)-(2)

an - α = - r { an-1 - α }
   ・・・
   = (-r)n { a0 - α}
   = (-r)n (a - α)

ゆえに、
an = (-r)n (a - α) + α

(2)を解いて、
α = a / (1 + r)

an = (-r)n r a / (1 + r) + a / ( 1 + r)
  = a { 1 - (-r)n+1 } / (1 + r)

無限に通ったとすると、n→∞

an → a / (1 + r)

還元率 r = 1/2 を代入すると、

an → 2/3 a

というわけで、最終的には、なんと、
毎回、33.333・・・% OFFで
食べられる状態になるようです!


・・・と、ここまで計算して、
よくよく考えてみると、当たり前のことでした。

2/3支払うと、その半額の1/3の金券がもらえます。
その金券で次回食べると、支払う金額は2/3。


これが永遠に繰り返されるわけですね!

恐るべし、フライングガーデン(笑)
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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

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