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ax^2 + bx + c = 愛
2011 / 02 / 03 ( Thu )
「容疑者Xの献身」のガリレオ(福山雅治)のセリフ
※開始直後のセリフなので、ネタばれではありません

もし、2次方程式が

ax2 + bx + c = 愛 

などであったならば、
そんなものは、解けはしない。。。


それを聞いて、いやいや、

ax2 + bx + c = i

だったら解けるんじゃないの?

と思った人は、僕以外にも少なからずいるハズ

というわけで、解いてみます。

ax2 + bx + (c-i) = 0

解の公式を用いて、

x = [ - b + { b2 - 4a(c-i) }1/2 ] / 2a

ここで、注意しなくてはいけないのが、
虚数単位の i が入ってしまっているので、
平方根は、複素数的意味での平方根として考えなければならない。

z = b2 - 4a(c-i)

とおくと、

z1/2 = √|z| exp{ i (θ+ 2kπ)/2 }
   = √|z| exp{ i (θ/2 + kπ) }

ここで、
    k = 0, 1
   θ = Arg z

k=0の場合の解 √|z| exp{ iθ/2 } を 
√z と表記すると約束すると、

k=1の場合の解は、
√|z| exp{ i (θ/2 + π) }
= √|z| exp{ iθ/2 } exp{iπ}
= - √|z| exp{ iθ/2 }
= - √z

すなわち、解は、

x = [ - b ± √{ b2 - 4a(c-i) } ] / 2a

となる。
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