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♪ 純正律と平均律 (9) 周波数比と美しい響きについての考察 (6)
2010 / 04 / 03 ( Sat )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


やり残した整数論の証明を行っておきます。
本題にはほとんど関係ありませんので、数学嫌いな方はスルーしてくださいね。
このネタも少し疲れてきたので、さらっとすませます(笑

このままだとちょっと証明しにくいので、少し式を変形。
うなりの式は、
harmonicbeateq04.jpg(1)
でしたが、絶対値が面倒なので、±をつけて、絶対値を除去。
harmonicbeateq12.jpg(2)
かっこを外すと、
harmonicbeateq13.jpg(3)
そして、m、nの前に±がついているので、
m、nの範囲を正の整数から負を含めたすべての整数に拡張して、
harmonicbeateq14.jpg(4)
と表せます。
ここで、
harmonicbeateq15.jpg(5)
で表される整数NがN=0、±1、2、3、・・・のようにすべての整数を取りうる
ということを証明します。
このことが証明できれば、うなりの最低周波数がN=1の時のf0となることが言えます。

式を変形したことで、2つの弊害が考えられます。
①負の整数が現れる
m、nの符号を反転させることによって、絶対値が同じ正の整数が必ず存在します。
正負両方に同じ整数が組になって現れるだけなので、問題はありません。

②和の周波数が含まれる
うなりは差の周波数ですが、変形によって和の周波数も含まれてしまいます。
和の周波数は必ず、元の音の周波数よりも大きい周波数になりますが、
興味のあるのは低い周波数領域なので、問題ありません。

というわけで、式の変形は問題ないことが分かりましたので、
証明に移ります。

互いに素な2つの整数p、q に対して、
harmonicbeateq15.jpg(5)
で表される整数Nは、すべての整数をとりうる
ことを証明します。

そのために、まず、
2つの整数p、q に対して、
harmonicbeateq15.jpg(5)
で表される整数Nは、p、q の最大公約数のすべての倍数を取りうる
ことを証明します。
これが証明されれば、互いに素な場合は、最大公約数が1ですから、
1のすべての倍数、つまり、すべての整数を取りうることが証明されたことになります。

p、q の最大公約数をk として、次の2段階で証明します。
①まず、整数Nは必ず、kの倍数になっていることを証明。
②次に、kの倍数すべてを取りうること(穴がないこと)を証明。

①の証明
p、q の最大公約数をkとすると、ある整数p'、q' に対して、
harmonicbeateq16.jpg(6)
と表せる。
harmonicbeateq17.jpg(7)
となり、mp'+nq' は整数であるから、Nは必ず、kの倍数である。

②の証明
整数Nの集合のうち、最小の正の整数をN0(>0)とする。
0はNの形で書き表される数の一つであるから、
ある整数m0 、n0 に対して、
harmonicbeateq18.jpg(8)
と書き表せる。

これから、Nの集合のすべての整数がN0の倍数になっていることを示す。
NをN0で割ったときの商をQ、余りをRとすると、
harmonicbeateq19.jpg(9)
余りR が割る数N0 よりも大きくなることはないので、
harmonicbeateq20.jpg(10)
の大小関係がある。
(8)式を(9)式に代入。
harmonicbeateq21.jpg(11)
変形すると、
harmonicbeateq22.jpg(12)
となり、m-m0Q、n-n0Q も整数であるから、
Rも(5)式の形で表される整数Nの一つであることが分かる。

しかし、(10)の大小関係があるので、Rが正の数(R>0)であるとすると、
0がNのうち、最小の正の整数であるという仮定に反する。
ゆえに、R=0(余りが0)でなければならない。

つまり、すべてのNはN0で割り切れることになり、
すべてのNはN0の倍数であることが示された。
言い換えれば、0は、すべてのNの公約数である。

ここで、整数p、q は、
harmonicbeateq23.jpg(13)
と書けるから、p、q 自体もNの形であらわせる整数のうちに含まれる。
よって、0はp、q の公約数でもある。(結論A)

一方、上の①の証明の結論より、すべてのNは、p、q の最大公約数kの倍数であるから、
当然、Nのうちの一つである0は、p、q の最大公約数kの倍数である。(結論B)
結論Aと結論Bより、
0は、p、q の最大公約数kそのものでなければならない。
ゆえに、
harmonicbeateq24.jpg(14)
となる。

これより、(8)は、
harmonicbeateq25.jpg(15)
となり、すべての整数sに対して、
harmonicbeateq26.jpg(16)
が成立することから、
すべてのkの倍数もNの形であらわされる整数に含まれる。

これで、めでたく、
Nは、すべてのkの倍数を取りうることが証明できました。

p、q が互いに素ならば、k=1なので、
harmonicbeateq27.jpg(17)
というように、Nはすべての整数を取りえます。

和の形では、必ず、Nはp、q以上になるため、
p、q よりも小さい範囲では、必ず差となって現れるはずなので、
harmonicbeateq28.jpg(18)
が言えます。

そこで、うなりの周波数は、
harmonicbeateq29.jpg(19)
となり、最低周波数はf0であることが証明されました。

以上で、証明終了!
今回は、疲れて見直す気力がありません。
間違ってたら、どなたか教えてくださいね!

参考にしたサイト:
和歌山大学森杉先生の講義資料
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テーマ:ピアノ - ジャンル:音楽

00 : 10 : 32 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
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コメント
--最低周波数--

 dyneさん おはようございます。

 最低周波数はf0であることの証明 お疲れ様でしたv-388 すみませんが、私はまだ全てを理解できていません。(時間をください)v-435
 結局 この最低周波数が、音の高さを決めるんですものねv-218 そこが非常に重要だということだけ分かっておりますv-290
ですから、f0が最低周波数だということが 非常に大きな意味を持つのですねv-352

 ではまた♪
by: コウ * 2010/04/04 08:07 * URL [ 編集] | page top↑
--コウさんへ--

こんな長ったらしい証明記事を見てくださって、ありがとうございます(笑
この整数論部分の証明は、僕も自分で考えたわけではなく、
リンクサイトを参考にしただけなのですが、
リンクサイトを読んで理解するのに相当時間がかかりました^^;

平均律の考察に早く、移ろうと思いますので、
続きもよろしくお願いします。
by: dyne→コウさん * 2010/04/04 21:38 * URL [ 編集] | page top↑
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