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♪ 純正律と平均律 (8) 周波数比と美しい響きについての考察 (5)
2010 / 03 / 27 ( Sat )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


さて、今回は実際に、倍音のうなりの周波数をすべて、
コンピュータで数値計算して、検証してみましょう。

プログラムは、こんな感じの至って簡単なもの。

#include <iostream>
#include <math.h>

void main()
{
  const int N = 16; //倍音の数
  const double f1 = 440; //周波数1 (Hz)
  const double f2 = 660; //周波数2 (Hz)

  for(int m=1; m<=N; m++){
   for(int n=1; n<=N; n++){
    double f = fabs(m * f1 - n * f2); //うなりの周波数
    std::cout << f << std::endl;
   }
  }
}


Nは、計算する倍音の数。
まずは、人間の可聴限界を考えて、4オクターブ上までということで、
N=24=16に設定。

プログラムは、2つの音の基音~16倍音のすべての倍音どうしのうなりの周波数
(合計16x16=256個)を計算して、出力します。

fabs()は、math.hのライブラリに入っている絶対値を返す関数ですが、
条件分岐を使って、自作してもそんなに大したことないでしょう。
たとえば、こんな感じでしょうか。
    double f = m * f1 - n * f2; //うなりの周波数
    f = (f>=0) ? f : -f;  //絶対値

(ただし、この部分は動作チェックしてないので、動く保証はありません)

それでは、計算結果です。
まずは、純正律にぴったり合わせた場合。
周波数比が完全に2:3の場合(p = 2, q = 3)
横軸が周波数を表していて、赤線が出ているところがうなりがある位置を表します。
fbeatgraph01.jpg
前回の数式では、最低周波数f0=220(Hz)ということでしたが、
実際、220Hz間隔にうなりが出ていて、最低が220Hzであることが分かりますね。
ちなみに、0Hzのところにも出ていますが、
0Hzとは、完全に同じ周波数に一致していることを意味しますので、
うなりは発生しません。

気になる低周波領域(上のグラフの楕円で表示したところ)を拡大してみましょう。
fbeatgraph02.jpg
やはり、0Hz以外に存在しませんね。

次は、純正律からずれた場合です。
周波数比が200:301の場合(p = 200, q = 301)
fbeatgraph03.jpg
上の例に比べると、0Hzのあたりが太くなっていますね。
そこで、拡大してみると・・・
fbeatgraph04.jpg
今度は、0Hz付近の低周波領域にうなりが発生していることがわかります。

でも、ちょっとおかしなことが。
確か、前回の数式による解析では、最低周波数はf0=2.2(Hz)だったはず。
にもかかわらず、このグラフでは4.4Hzになってますね。

これは、倍音の数Nを16個に制限したのが原因。
前回の解析では、倍音が無限に続くという仮定を置いていました。

そこで、可聴限界をはるかに超えてしまいますが、
N=100にして計算してみたのですが、
なんと、それでも4.4Hzになってしまいました

こうなったら、意地でも・・・というわけで、
パソコンに奮起してもらって、
N=1000にして、1000×1000=1000000個のうなりを
計算してみたところ、こんな風に。
fbeatgraph05.jpg
ようやく、2.2Hzのうなりが登場してくれました。
というわけで、現実には必ず最低周波数のうなりが出てくるとは限らないようですが、
周波数比が複雑になると、低周波領域にうなりが出てくるということは、
これで検証することが出来ました。

次回は、やり残した整数論の証明をやるか、あるいは、
マニアックついでに、平均律の完全5度の場合のうなりを
計算してみるかもしれません。
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テーマ:ピアノ - ジャンル:音楽

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