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♪ 純正律と平均律 (2) うなり
2010 / 02 / 28 ( Sun )
まずは、
「周波数が簡単な整数比になるほど、和音の響きが美しい」
のはなぜだろう?というところから。

そもそも、「美しい」なんて言うのは心理的な話なので、
福山雅治さん扮するガリレオ先生に聞こうものなら、
「実に非論理的である。」と言われておしまいな気もしますが(笑

一応、倍音のうなりが少ないという物理的要素もあるので、
そのあたりを確かめてみようと思います。

今回は、「うなり」とは何かについて。
高校物理を復習しておこうかなと思います。

「うなり」(beat)とは・・・
わずかに異なる周波数の2つの音を同時に鳴らすと、
音が周期的に大きくなったり小さくなったりする現象。

音は、空気の振動なので、三角関数で書けます。
beateq02.jpg(1)
Ψ0は波の振幅、fは周波数、tは時刻、
φは初期位相(t=0のときにどこから始まるか)を表します。

少し簡単にするために、振幅Ψ0=1としてしまって、φも省略して、
beateq01.jpg(2)
と書くことにします。

うなりを考えるために、
周波数のわずかに異なる2つの音波Ψ1、Ψ2を考えます。
周波数をそれぞれ、f1、f2とすると、
beateq03.jpg(3)

2つの音を同時に鳴らすということは、足し算すればいいので、
beateq04.jpg(4)
となります。

ここで便利なのが、三角関数の和→積の公式。
beateq05.jpg(5)

これを用いると、足し算が掛け算に変わって、
beateq06.jpg(6)
となります。

ここで、f+ と f- は、
beateq07.jpg(7)
と定義しました。

さて、Ψの式(6)の意味を考えたいと思います。
こういうときは、具体的な数字を入れてみるのが一番!
というわけで・・・
f1=110Hzf2=100Hzのわずかに異なった周波数の場合(差は10Hz)を考えます。

このとき、
f+ = (110 + 100)/2 = 105 (Hz)
f- = (110 - 100)/2 = 5 (Hz)

となり、
f+ は、元々の周波数 f1 と同程度の速い振動ですが、
f- は、ゆっくりとした振動であることが分かります。
つまり、(6)式のsinの部分は速い振動、cosの部分はゆっくりとした振動を表します。
このゆっくりとした部分の振動が「うなり」に相当するわけですね。

グラフに書いてみると、2つの音の振動はこんな感じになります。
f1 = 110Hz
beat01.jpg
f2 = 100Hz
beat02.jpg
2つの音は周波数が微妙に違うのですが、見てもわかりませんね。
重ねて書いて、拡大してみると、少し違ってるのが分かると思います。
beat03.jpg
この2つの音を足し合わせると、このようになります(式(6)のグラフ)
beat04.jpg
音が大きくなったり、小さくなったりしているのが分かりますね。
赤線の振動は、sinの速い振動成分を表します。
青線は、cosのゆっくりとした振動成分だけを書いたもの。
赤線の速い振動の振幅が青線のようにゆっくりと大きくなったり、小さくなったりして、
うなりが生じることが分かります。

よく見ると、うなりの振動周期は、cosの半周期になっているのがわかりますので、
うなりの周波数 fbeat は、f- の2倍となります。
すなわち、
beateq08.jpg
ということになります。
この例では、うなりの周波数は、fbeat = 110 - 100 = 10 (Hz)

ここでの結論としては、
うなりの周波数(振動数)は2つの音の周波数の差になる
ということですね。

次回は、倍音について。
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テーマ:ピアノ - ジャンル:音楽

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コメント
--リンクさせていただいていいですか?--

 dyneさん こんばんは。

 「周波数が簡単な整数比になるほど、和音の響きが美しい」のはなぜだろう?というところから、⇒倍音のうなりが少ないという物理的要素もある⇒「うなり」とは何か という話の展開がすばらしいですv-424
 数学が得意と自負している私も、dyneさんの論理の展開に付いていくのが精一杯でしたv-388

 私のブログにコメントありがとうございましたm(_ _)m
私のブログはリンクフリーですから、お粗末なブログですがそれでもよければ どうぞリンクしてやってくださいv-436

 dyneさんのブログにリンクさせていただいてよろしいでしょうか?
by: コウ * 2010/03/01 22:30 * URL [ 編集] | page top↑
--コウさんへ--

コウさんは数学がお得意だったんですね!
いい加減なこと書けないですね(汗
もし、間違ってたら、教えてください(笑

うなり説が正しいかどうか分かりませんが、
一応、解決のめどは立ちました。
非常にいい加減な考察をこれから何回かに
分けて書いていこうと思いますので、
よろしかったら、お付き合いくださいね。
平均律の謎の方は、まだこれから考えます。

リンクの件、ご承諾いただいて、ありがとうございます。
こちらもリンクフリーですので、リンクして
いただければ嬉しいです。
今後ともよろしくお願いします。
by: dyne→コウさん * 2010/03/01 23:22 * URL [ 編集] | page top↑
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