スポンサーサイト
-- / -- / -- ( -- )
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
-- : -- : -- | スポンサー広告 | page top↑
ローン再論(2)
2009 / 12 / 06 ( Sun )
前回は、ローンの返済額の概算方法を紹介しましたが、
これを数学的に示してみたいと思います。
今回は、そのための準備として、ある近似公式を導きます。

今回は、過去最高に数式だらけになりますので、
数学嫌いの方は、適当にスルーして下さいね!(笑

さて、ローン返済総額(P)の厳密な式は、何度も登場しているこの式。
loanapproxeq01.jpg(1)

ここで、(1+r)N の部分を近似するための公式を導きます。

まずは、rをxに、Nをαに置き換えた
loanapproxeq02.jpg(2)
という関数を考えます。
(ここで、αは任意の実数とします)

この関数のマクローリン展開(x=0におけるテーラー展開)は、
loanapproxeq03.jpg(3)
と表せます。

n次の導関数を計算するために、
まずは、1次、2次、3次の導関数まで書き出してみると、
loanapproxeq04.jpg(4)
これをじっと睨んで、法則性を見つけると、n次の導関数は、
loanapproxeq05.jpg(5)
と表せることが分かります。
x=0における微分係数は、
loanapproxeq06.jpg(6)
となるので、これらを級数展開の式(3)に代入すると、
loanapproxeq07.jpg(7)
と書き表せます(級数は、|x|<1の時、収束)

特にαが整数のとき、Nと書くとすると、この式は、二項定理
loanapproxeq08.jpg(8)
と一致することが分かるので、
この式(7)は、二項定理を一般の実数の場合に拡張したものになっていて、
一般の二項定理とも言われます。

さて、式(7)は、|x|<1の任意の実数xで成り立ちますが、
特に、|x| << 1(|x|が1に比べて十分小さい)の時は、
xの高次の項は低次の項に比べて無視できるほど小さくなるので、
近似公式が作れることになります。

たとえば、最も粗い近似の場合、1次の項までを残すと、
loanapproxeq09.jpg(9)
という近似式となります。

もう少し、精度を上げるために2次の項まで残した場合には、
loanapproxeq10.jpg(10)
となります。

というわけで、近似公式が導出できましたので、
次回はこれを用いて、ローンの返済額の近似式を導いていきます。
スポンサーサイト

テーマ:家作り日記 - ジャンル:ライフ

23 : 59 : 48 | 住宅ローン | コメント(0) | page top↑
<<ローン再特約の選択(2) | ホーム | ローン再論(1)>>
コメント
コメントの投稿














管理者にだけ表示を許可する

| ホーム |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。