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ローン再論(1)
2009 / 12 / 03 ( Thu )
連日、ローンの話題ばかりでスミマセン。

いよいよ、日銀が動き始めたようですし、
今後、金利がもう少し下がる可能性もあるんでしょうか。
やはり、変動にしたい気もしてきました。

景気は早く回復して欲しい!と願いつつも、
金利は上がって欲しくないなあという矛盾した思い(笑
・・・これは、住宅ローンを抱えている人たち共通の思いでしょうね。

さて、ローンの計算をしているうちに、
以前に導いた例の複雑な式を使わなくても、
概算ならもっと簡単に計算できることに気づいたので、
その計算方法について書こうと思います。

例として、借入金額1000万円、年利3%、30年でローンを組んだ場合に
最終的な返済総額がいくらになるか?
つまり、
最終的に借入額の何%分の利子を払ったことになるか?
を考えたいと思います。

まずは、例の厳密な式
eq8.gif
を用いて、厳密な答えを出しておきます。
(後で、簡単な方法で計算して比較してみます)

ここで、文字の意味ですが、
N は返済月数、p は毎月の返済額、r は月利(=年利÷12)、a は元本(借入額)です。  
返済総額は、N×p となり、このような式になります。

この例では、
N = 30(年)× 12 = 360(ヶ月)
r = 0.03 ÷ 12 = 0.0025
a = 1000(万円)
となるので、計算すると・・・

返済総額は、Np ≒ 1518(万円)となり、元本に対して、
最終的に約52%の金利がついた計算になります。

それでは、同じ例を簡単な方法で概算してみることにします。

まずは、非常に大雑把に。
返済期間の間、元本が全く減らないという仮定で考えてみます。
loan_rectangular.jpg

利子は毎年、元本の3%ついていく計算なので、図の赤い長方形のようになります。
長方形の面積が利子の総額だから、
3(%)×30(年)=90(%)
となります。
厳密な値は52%ですから、これはあまりにも誤差が大きすぎです。

そこで、元本が一定の割合で減っていくモデルに変更してみましょう。
loan_triangular.jpg
このように、元本が三角形のように減っていきます。
当然、利子もそれに比例するので、赤い三角形のようになりますね。
黄色い部分が先ほどの長方形近似の結果ですから、
赤い三角形の面積は、長方形のちょうど半分です。
ということは、
90(%)÷2=45(%)
となります。
この方法だと、厳密な値52%に比べて、わりと近い値になっていますよね!

実は、厳密に計算した場合の元本の減り方は、こんな感じになります。
(イメージ図ではなく、この例の場合の厳密な計算値です)
loan_exact.jpg
点線部分が三角形近似なので、それに比べて若干、上側に膨らむんです。

これはなぜかというと・・・
初めのうちは利子が多いので、返済の大部分が利子の支払いに回されるため、
元本の減り方が遅いからなのです。
とはいっても、膨らみはそれほど顕著ではないので、
概算でよければ、三角形近似でもわりと近い値が計算できてしまうんですね。

もちろん、返済期間や借入額によって、膨らみ方も違うと思うので、
過度に信用せず、最終的にはちゃんと計算した方がよいと思います。

というわけなのですが・・・
ここで終わらないのがこのブログの特徴(笑
一応、数学的にもこの近似の正当性を示してみようということで、
次回は、厳密な式から適当な数学的近似を施して、この近似式を導いてみます。
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