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ありえない入試問題 解答編 (2)
2009 / 07 / 22 ( Wed )
続いて、問2の解答編。

問2:犯罪行為である場合

コンビニ強盗がレジから10万円を奪い、逃走しました。
図のような碁盤の目状の道路を仲間が待つポイントまで最短経路で逃走するとして、
×印の検問に捕まらずに逃げ切れる確率はいくらか?
また、手にすることができる金額の期待値はいくらか?
(ただし、分岐点では等確率で→と↓を選択するものとします)

nyushimondai01.jpg
解答
これは、ちょっとした引っかけ問題です。
どこがひっかけなのかを説明する前に、まずは解答から。


上図の例のように、検問所へ最短経路で到達するには、
出発点(コンビニ)を含めて、必ず3回、分岐点(図中○印)を通る。

検問所に到達するのは、その3回の分岐のうち、
1回は右方向、2回は下方向を選択しなければならない。

それぞれの分岐点で分岐を決める確率は1/2なので、
3回分岐を選択して、一種類のルートを選択する確率は
(1/2)3 = 1/8

ルートの数は、3回のうち1回右方向を選ぶ組み合わせの数に等しいから、
3C1 = 3! / 2!1! = 3 (通り)

よって、検問所に至る確率は、
3 x 1/8 = 3/8

逃げ切れる確率は、その余事象だから、
1 - 3/8 = 5/8

逮捕された場合、奪ったお金は没収されるので、期待値は、
3/8 ×¥0 + 5/8 ×¥100,000 = ¥62,500

答え:逃げ切れる確率は5/8、期待値は¥62,500

間違い例
間違い例として、次のようなものが考えられます。

コンビニから仲間(ゴール)へ到達するすべての最短経路の数は、
合計6回、右方向と下方向を選択して、
そのうち3回右方向を選択しなければならないから、
6個から3個を選択する組み合わせの数に等しい。
すなわち、
6C3 = 6! / (3!3!) = (6x5x4) / (3x2) = 20 (通り)

そのうち、途中で検問所を通るルートの数は、同様の考え方で
検問所へ至るまでのルートの数が3C1
検問所から仲間までのルートの数が3C2なので、
3C1 x 3C2 = 3 x 3 = 9 (通り)

よって、検問所へ到達する確率は、9/20
逃げ切れる確率は余事象なので、
1 - 9/20 = 11/20

上の解答と答えが違ってますが・・・
さて、どこで間違えたのでしょうか???
実は、「すべてのルートを選ぶ確率は等しい」
と暗黙のうちに仮定してしまったのが間違いです!

あくまでも、分岐点で右を選ぶか下を選ぶかが等確率なのであって、
最終的に一つのルートが選ばれる確率は等確率ではありません!
(意外でしょうけど・・・)

たとえば、下の図のようなルートの場合。
図の○印のところで、右に行くか下に行くかを選択します。
しかし、最後の□のところでは、もう右に行けませんよね。
なので、無条件に下に行くしかありません。
結果として、このルートを選択する確率は、
(1/2)5 = 1/32 となります。


しかし、下の図のようなルートの場合。
分岐を選ぶことができるのは、初めの3つの○印のところだけです。
そこで、このルートを選択する確率は、
(1/2)3 = 1/8 となり、
上のルートと選ばれる確率は異なってしまいます。


各ルートの確率までを考慮して、重みづけして計算すれば、
きっと、この方法でも正しい答えを得ることができると思います。

とはいっても、かくいう出題者の僕もこの問題を考えてみるまで、恥ずかしながら、
すべてのルートは等確率だとばかり思ってました。。。

以上が解答編ですが、間違ってるかもしれません(汗
もし間違ってたら、どなたか教えて下さいね。
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コメント
----

私はもっと簡単に考えました,勿論答えはいっしょですけど。
下の図は通るルートの確率です,従って検問所を通る確率は25%+12.5%=37.5%=3/8です。

******50%****25%
******--------------------
**50%|***25%|******|******|
*****|******|******|******|
*****|25%***|25%***|******|
******--------------------
**25%|***25%|******|******|
*****|******|******|******|
*****|12.5%*|******|******|
******--------------------
12.5%|******|******|******|
*****|******|******|******|
*****|******|******|******|
******--------------------
by: 渡 弘道 * 2009/07/23 04:08 * URL [ 編集] | page top↑
----

なるほど!!
検問までのルートのみを考えれば良いのですね。
その先はどのルートを通っても結果は同じですものねえ。。。
勉強になりました♪
by: ティアレ☆ * 2009/07/23 20:37 * URL [ 編集] | page top↑
--渡さんへ--

これぐらいの道の本数だと、単純に確率を
カウントしていくだけでも、計算できますね。
僕は何でも数式でやらないと気が済まないもので・・・
ある意味、数式オタクですね(笑
それにしても、この図を書かれるのは、
大変じゃなかったですか?
by: dyne→渡さん * 2009/07/24 00:06 * URL [ 編集] | page top↑
--ティアレさんへ--

そうなんですよ。
「仲間のところまで最短経路で行く」というのが問題の条件に
なっているので、検問所に到達しなければ、
すべて逃げ切れたことになるんですよね。
現実には、途中で死ぬとかいう確率もないわけじゃないですが(笑

ところで、ティアレさんは、問1は正解でしたね!
おめでとうございます^^
by: dyne→ティアレさん * 2009/07/24 00:23 * URL [ 編集] | page top↑
----

>それにしても、この図を書かれるのは、
>大変じゃなかったですか?

答えを出すのに3分,この図を作るのに30分かかりました。
汚い図でご免なさい,次はもっと綺麗な図にしたいと思ってます。

by: 渡 弘道 * 2009/07/24 01:03 * URL [ 編集] | page top↑
--渡さんへ--

>答えを出すのに3分,この図を作るのに30分かかりました。

答えを出すのに、3分とは速いですね!!!
やはり、図は、30分かかりましたか。。。(笑
僕も答えを出すより、記事にする時間の方が
長かったりします。
数式の上付き、下付き添字なんかが結構面倒で・・・

>汚い図でご免なさい,次はもっと綺麗な図にしたいと思ってます。

いえいえ。
コメント欄で図を書くこと自体、至難の技ですよ。
by: dyne→渡さん * 2009/07/24 21:18 * URL [ 編集] | page top↑
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