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ありえない入試問題 解答編 (1)
2009 / 07 / 20 ( Mon )
まずは、問1の解答編。

問1:世俗的過ぎる問題
Aさんは実年齢34歳ですが、人前では若く見られるように、
適度にサバを読んでいます。
サバ分と嘘年齢を掛け算すると、168になるそうです。
さて、Aさんは何歳サバを読んでいるでしょうか?

解答
サバをα、嘘年齢をβとすると、
α +β = 34 ・・・①
また、サバと嘘年齢の積の条件から、
αβ = 168 ・・・②

ここで、二次方程式の解と係数の関係を用いると、
α、βは、二次方程式 x2 - (α+β) x +α β = 0
の解であるから、①、②を満たすα、βは、
x2 - 34 x + 168 = 0 ・・・③
の2つの解である。

左辺を以下のように平方完成して、
x2 - 34 x + 168 = 0
x2 - (2×17) x = -168
x2 - (2×17) x + 172 = -168 + 172
( x - 17 )2 = 121

両辺の平方根を取る。
x - 17 = ±11
x = 17 ± 11
∴ x = 28 または x = 6

ゆえに、以下の2つの場合のいずれかとなる。
(i) α = 28、β = 6
(ii) α = 6、β = 28


(i)の場合、28歳のサバを読んで、嘘年齢が6歳ということになるので、
いくらなんでも、サバの読みすぎ!!!
ということになり、「適度にサバを読んでいる」という題意に反するため、不適。

したがって、解は(ii)の場合となり、Aさんは、6歳、サバを読んでいる。

解と係数の関係を使いたくない方へ
②より、α≠ 0
β= 168 / α・・・④

これを①に代入すると、
α + 168 / α = 34
両辺にαを掛けて、
α2 + 168 = 34α
∴α2 - 34α + 168 = 0
となり、③と同じになる。

①、②の条件式は、α、β入れ替えても成り立つので、
βについても同じ式が成立するので、
α、βは
x2 - 34 x + 168 = 0 ・・・③
の2つの解である。
以下は同様。
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