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∫ 数学を理解しやすくする方法 (1)
2013 / 04 / 25 ( Thu )
・・・などと大変、エラソーなタイトルをつけてしまいましたが(^^;
たいして目新しい話でも何でもありません。
なんとなく、キャッチーなタイトルにしてみたかっただけ(笑)

数学という学問は、物事をどこまで抽象化できるかという学問なわけで、
その抽象化が、数学好きにはたまらないわけなのですが、
嫌いな人にとっては、その抽象性がゆえに理解できないのではないでしょうか?

そこで、具体的イメージを描くことさえできれば、
意外にすんなり理解できるというケースも多々あるような気がします。


具体的イメージとして、一番描きやすそうなのは、
やっぱり、お金じゃないでしょうかね?(笑)

日本人のほとんどが消費税の計算ができるというのは、
ほんとはすごいことなんじゃないかと思うんです。

というわけで、一見めんどくさそうな問題が
お金に例えるだけで、瞬時に解けてしまうという例を紹介してみましょう!

これは、日能研の電車広告で見た中学入試か何かの問題なのですが、
ネット探しても見つからないので、適当にうろ覚えで、数値や表現は変えてあります。


問題

次のように、分数がある規則性をもって並んでいる数列があります。
この数列は、ある整数に限りなく近づいていきます。
その整数を答えなさい。


bunsuuretsu-question01.jpg

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00 : 35 : 34 | 数学(雑感) | コメント(8) | page top↑
∫ 電磁誘導のガリレイ不変性 (2) 余談
2013 / 04 / 19 ( Fri )
前記事の余談です。

高校物理では、定番のこの問題!

induction-lorentz-invariance02.jpg

図のように、導線の上に置かれた導体棒が一定の速さで動いている時に、
発生する誘導起電力を求めさせる問題ですね。

この問題には、解き方が2種類あります。
(注:高校ではMKSA単位系を用いるので、以下では、係数は k3=1, α=1 とします)

磁束の変化から求める方法

導体棒が動くことによって、回路の面積が増加すると考えて、
磁束の変化から求めます。

V = dΦ/dt = B dS/dt = Bvl

ローレンツ力から求める方法

導体棒に存在する電子に働くローレンツ力を電場とみなすと、

E = F/e = eBv/e = Bv

起電力は、電場に距離を乗じたものだから、

V = El = Bvl

というわけで、2つの方法で見事に同一の答が得られます!


こんなに全然違う解き方をしているのに、
なぜ、最終的に答が一致するのか?


ということが、高校時代は、不思議でたまらなかったんですよね!

今にして思えば、前記事で述べた相対性原理の要請から来る係数の関係
k3 = 1/α
のために一致するということだったわけです。

高校物理では、わりと奥深いことが、
意外にさらっとスルーされてたりするんですよね(笑)

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00 : 15 : 44 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 電磁誘導のガリレイ不変性
2013 / 04 / 16 ( Tue )
前回、単位系に依存しないマックスウェル方程式を導出しましたが、
これから、係数の依存関係を求めていきます。

一つ目は、電磁誘導のガリレイ不変性から。

厳密には、マックスウェル方程式は相対論的なローレンツ不変性が成立しますが、
Jacksonにならって、ここでは、v/c << 1 の範囲で、
近似的に非相対論的なガリレイ不変性で考えて、係数の依存関係を求めます。

考えたいのは、このような話。

induction-lorentz-invariance.jpg

電磁誘導を考えた時、磁石の方を動かしても、回路の方を動かしても、
同じだけの誘導起電力が発生します。

高校物理では、回路の内部を貫く磁束はどちらも同様に変化するから
同じ現象という扱いで、さらっと説明されていると思いますが、
これは実は、

「回路が静止した座標系(左図)と磁石が静止した座標系(右図)の
どちらの系から見ても、電磁気学の法則は不変である」


という相対性原理を前提としている話。

というわけで、相対性原理(ガリレイ不変性)を前提すると、
係数にどのような依存関係が出てくるかを見ていきます。

induction-gallilean-invariance.jpg


図のように、回路 C が実験室系に対して、速度 v で動いている
状況を考える。

実験室系から見た場合も、回路とともに動く座標系から見た場合も、
以下の法則が成立する。

C E・ds = - k3 (d/dt)∫S B・dS   (1)

実験室系で見た場合、
磁束の変化は、実際に各点の磁場が変化していること
(∂B/∂tによる効果)に起因するので、

C E・ds = - k3S (∂B/∂t)・dS   (2)

一方、回路とともに動く系で見た場合、
磁束の変化は、回路Cが動くことによる位置の変化による磁場の変化
も考慮しなければならない。

回路内部の磁場のトータルな変化は、
もともとの各点の磁場の変化に加えて、回路が動くことによる変化が加わる。

dB/dt = ∂B/∂t + (v・∇)B   (3)

ベクトル解析の公式
×(a×b) = a(∇・b) - b(∇・a) + (b・∇)a - (a・∇)b   (4)
を用いて、
×(B×v) = (v)B - v(B)   (5)
となるから、(v は一定)

dB/dt = ∂B/∂t + ×(B×v)   (6)

ここで、マックスウェル方程式から ∇・B = 0 を用いた。

これを最初の式(1)に代入して、ストークスの定理を用いて整理すると、

C (E' - k3 v×B)・ds = - k3S (∂B/∂t)・dS   (7)

ただし、E' は、回路とともに動く系から見た誘導電場で、
実験室系から見た誘導電場 E と区別するために、' をつけた。

(2)と(7)を比較すると、

E = E' - k3 v×B

すなわち、

E' = E + k3 v×B   (8)

つまり、実験室系から見た場合には、
誘導電場に加えて、k3 v×B という追加項が付加されることが分かる。

これは、実際に回路が存在した場合に、
電荷が動くことによるローレンツ力と解釈することができるので、

以前の記事に登場したローレンツ力の式
E = F/q = (1/α) v × B    (9)

と比較すると、

k3 = 1/α   (10)

という関係式が得られる。

これで、係数の依存関係が一つ求められました。


参考文献
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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23 : 47 : 11 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(2) | page top↑
♪ 彼方の光~結婚式連弾
2013 / 04 / 08 ( Mon )
昨年の暮れに、ピアノサークル「Tiede」の主催者kumoriさんとメンバーのkazukoさんの
結婚式&披露宴にサークルメンバーと一緒に、出席させていただきました。

ピアノサークルが縁で知り合ったお二人が
見事に結ばれるなんて、こんなうれしいことはないですね!

披露宴も、グランドピアノが用意されていて、
ピアノや音楽いっぱいのほんとに素敵な披露宴でした。

詳細は、aliceさんのブログに8話連載でボリュームたっぷりに
書かれているので、そちらをご覧ください。
末広がりの8にきちんと合わせているあたりも、
aliceさんの細やかな気遣いを感じさせますね(笑)

ところで、今回、実はサークルの練習会も兼ねているという
kumoriさんの粋なはからいで(笑)、
サークルメンバーみんなでピアノを弾くことになっていたんです。
ちゃんと、サークルメンバーの席には、
練習会プログラムまで用意されてたんですよ!

僕は、piyoneと連弾で「彼方の光」を弾かせていただきました。
ご存知の通り、連弾経験は非常に乏しいので、不安ではありましたが、
夫婦連弾なので、練習時間はたっぷり確保できるというのは幸いでしたね。

「彼方の光」は、連弾譜を探してみましたが、見つからず、
大胆にも、自分で編曲することにしました。
かなりショボイ編曲にはなってしまいましたが、
仮に凝った編曲ができたとしても、難しすぎて弾けないですから、
ちょうどいいといえば、ちょうどよかったかも^^;

本番は、リラックスして臨む予定が、
前に演奏する皆さんが、ほとんどミスなしで素敵な演奏を披露されるので、
不覚にもかなり緊張してしまいました。

当初、ちゃんとpiyoneをエスコートして、椅子に座らせてから、
自分が座るという段取りにしてたにもかかわらず、
焦って、先に座ってしまうし・・・汗

弾く前に、緊張を解くために、一度、夫婦で握手してから・・・
と言ってたにもかかわらず、すっかり忘れてたし・・・滝汗

手は震えてないつもりでしたが、piyoneによると、
あまりに震えていて、横でハラハラしてしまったそうです。

演奏後は、楽譜をしまうのに焦ってしまい、
蓋の隙間に落としてしまうというハプニングも・・・

当のpiyoneはというと・・・
すごくリラックスして気持ちよく弾けたそうです(笑)
本番に強いんでしょうかね。。。

まあ、それはさておき、
大きなミスはなく、最後まで弾ききることができました。

こちらが本番の演奏。
プリモがpiyone、セコンドがdyneです。

彼方の光(村松崇継 作曲/カナリー・ショボイ 編曲) 本番演奏



こちらは、直前練習の音源。
本番より、リラックスして弾けてるので、こちらもアップしておきます。

彼方の光(村松崇継 作曲/カナリー・ショボイ 編曲)



今回、夫婦連弾を初めてやってみましたが、
意外にも(笑)、なかなか楽しかったです。
また、他の曲でもやってみたいと思っています。
連弾編曲も楽しかったので、また挑戦してみたいですね。

最後に、素敵な結婚式にご招待下さったkumoriさん&kazukoさん、ありがとうございました。
末永くお幸せに!^^

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00 : 26 : 14 | 交流 | コメント(8) | page top↑
♪ 上野遠足企画~横山幸雄公開レッスン(後編)
2013 / 04 / 07 ( Sun )
tsukupia☆上野遠足企画~横山幸雄先生公開レッスンの続き。

前回は、地下鉄銀座線の車両基地の話に脱線してしまって、
終わってしまってましたね(笑)

いよいよ、いざ、上野学園へ!

入口のところで、ちょうど建物に入っていく横山先生らしき方を発見!
一緒に行ったお仲間は気づいてなかったみたいでしたが、
「ほらほら、横山先生だよ!」というミーハー発言もさすがにできず・・・^^;

まずは、受付で登録をしてから、会場へ。
公開レッスンの会場は、こんな感じ。

uenoopencampus01.jpg

会場の外からは、例の銀座線車庫が上から眺められる絶好の場所!
(・・・って、もうその話はいいですよね)

ginzasen01.jpg

余裕をもって、早めに着いたので、一番乗りでしたが、
しばらく学食コーナーで休憩してから、
公開レッスンが始まる頃には、ほぼ満席。

曲目は・・・
ラフマニノフ 「楽興の時 第1,3,4番(抜粋)」
シューマン 「ピアノソナタ第3番」

せっかくなので、今回は、無料楽譜を印刷して持って行きました!
普段、コンサートでは楽譜を見ながら聴くということはないので、
楽譜を見ながら聴くというのは、なかなか楽しいですね。

公開レッスン初体験。
ハイレベルな話が多いので、細部がすぐに役に立つというわけではありませんでしたが、
こういうことを考えて、音楽を作っていくんだなあというのは、
とても有意義で、楽しい経験になりました。
まず初めに、曲のイメージを生徒に詳細にたずねていらっしゃったのが印象的でした。

また、機会があったら、このオープンキャンパス、
是非行ってみたいところです!

さて、その後は、上野を散策した後、一杯!
と行く予定だったのですが、
あいにく、台風が直撃する予想になっていたので、
「つばめグリル」で軽く食事を取って、早めに解散。

uenoopencampus02.jpg

ピアノにグルメに楽しく、有意義な一日でした^^

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16 : 49 : 43 | tsukupia☆ | コメント(0) | page top↑
♪ tsukupia☆初発表会
2013 / 04 / 03 ( Wed )
まもなく、ピアノサークル「tsukupia☆」を立ち上げて、まる3年!
素敵なメンバーさんたちに恵まれたおかげで、
アットホームな雰囲気で楽しく続けられています。

このあたりで、サークル主催の発表会をやりませんか?
という提案がメンバーさんからあり・・・

ついに、今年の7月に記念すべき第一回発表会を開催する運びとなりました!

TXつくば駅からアクセスの便利なホールをうまくおさえられたので、
(あの一番有名な大きいホールじゃないですよ・・・汗)
ご興味のある方は、是非、聴きに来ていただけたらなあと思っています^^

詳細は、もう少し近づいたら、お知らせさせていただきますね!

とりあえず、メンバーさんにお手伝いいただいて、
準備を進めていきたいと思います。

 日時   2013/7/28 (日) 午後
 場所   アルスホール(TXつくば駅から徒歩5分程度)
http://www.city.tsukuba.ibaraki.jp/2117/008619.html

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18 : 57 : 52 | tsukupia☆ | コメント(6) | page top↑
∫ 単位系に依存しないマックスウェル方程式 (1)
2013 / 04 / 03 ( Wed )
古典電磁気学を復習していた当初の目的であった
単位系に依存しないマックスウェル方程式
がようやく導出できました!

単位系に依存しないというのは言いすぎかもしれませんが、
有名な単位系には、ほぼ対応してると思います。

これまでに導出してきた方程式を並べて、完成!

∇・E = 4πk1ρ    (1)
∇×B - (k2α/k1)∂E/∂t = 4πk2αj     (2)
∇・B = 0   (3) 
∇×E + k3B/∂t = 0    (4)

と言っても、Jacksonの巻末Appendixに掲載されている式
そのものなんですけどね。
自分で理解しながら、導出したという意義が僕には大きいってことで(笑)

式の順番は、導出した順と多少違うところがあるかもしれませんが、
この順番が、相対論に行った時に分かりやすい気がします。
というのは、(1)と(2)、(3)と(4)がペアになって、それぞれ一つの式に統合されるから。

上の式で完成と書きましたが、実は、
ここで登場した4つの係数 k1、k2、k3、αは独立ではありません。
この後、係数の依存関係を求めていき、
独立係数2つにしたバージョンを作りたいなあと思っています。


参考文献
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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18 : 57 : 02 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
♪ メンデルスゾーン無言歌集
2013 / 04 / 02 ( Tue )
ピアノ仲間の金魚さんがメンデルスゾーンの無言歌集から、
いろいろ弾いていらっしゃったのがきっかけで、
以前弾いていた Op.30-6「ベニスの舟歌」を最近、復活させて、弾いています。

無言歌集の他の曲にも興味がわいて、一応、CDは持っていたので、
聴いてみたところ、
聴く曲聴く曲、すべてが心に響いて・・・

こんなに名曲ぞろいだったとは!!!

と驚いています。
以前、聴いた時はあんまりぴんとこなかったんですよね・・・
ちょっとは、大人になったってことでしょうか?(笑)

大人になったと言えば、
ショパンのノクターンでも最近は、
16、17、18番あたりのシブ曲のよさが分かるようになって、
大人になったかなとにんまりしていたところです(笑)

おっと、脱線してしまいました。

ベニスの舟歌の他の2曲、Op.19-6、Op.62-5、どちらもいいですね!
特に、Op.62-5 の方は(一番有名らしいですけど)、
完全に好みのサスペンスの崖系で、
初めの方聴くだけで涙がこぼれそうな感じ。

他にも、Op.62-3(葬送行進曲)とか、Op.30-1(瞑想)とか、
Op.30-3(慰め)とか、Op.53-5(民謡)とか、Op.67-1(瞑想)とか、
いいなあと思う曲がたくさんありました。
もっと聴きこめば、他にもたくさん出てきそうな予感。

難易度もよくわかりませんが、
とりあえず、楽譜欲しいなあと思っているところです。
せっかくなら、原典版にしたいと思って、悩み中です。

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19 : 44 : 43 | クラシック | コメント(3) | page top↑
∫ 計量テンソル
2013 / 04 / 02 ( Tue )
計量テンソルについて、まとめておきます。

定義

gmn = emen   共変
gmn = emen   反変
gmn = emen = δmn   混合

最後の混合形については、双対基底の定義から
必ず、クロネッカーのδになる。

対称性
実数ベクトルのみを考えると、
gmn = gnm
gmn = gnm
gmn = gnm

内積
計量テンソルが定義されると、
次のように、ベクトル同士の内積が計算できるようになる。

AB = Am em・ Bn en = Am gmn Bn
AB = Am em・ Bn en = Am gmn Bn
AB = Am em・ Bn en = Am δmn Bn = An Bn
AB = Am em・ Bn en = Am δmn Bn = An Bn

最後の2つは重要なので、再掲。
AB = An Bn = An Bn

昇階・降階
Am em = Ak ek
の両辺に、enを掛けると、
Am gmn = An   昇階

同様に、enを掛けると、
Am gmn = An   降階

というように、計量テンソルを使うと、添え字を自由に上げ下げできる。

また、上の2つの関係を見ると、昇階と降階は逆変換なので、
gmngmn は互いに逆行列の関係になっている。

・・・と、このぐらいで、
特殊相対論の範囲は大丈夫なんじゃないかと思っています。
一般相対論になると、共変微分とか曲率テンソルとか
いろいろややこしそうなのが出てきて、大変そうだけど・・・(汗)


参考文献
岡部洋一 講義資料「座標変換」
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html

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19 : 00 : 00 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ 電磁誘導
2013 / 04 / 01 ( Mon )
古典電磁気学の続き。
今回は、電磁誘導について。

ファラデーの法則
閉回路に働く誘導起電力 V は、閉回路を貫く磁束Φの時間変化に比例する。
V = - k3 dΦ/dt

閉回路を C として、内部の面を S とする。
誘導起電力 V を誘導電場 E で表すと、
V = ∫C E・ds

磁束Φを磁場(磁束密度)Bで表すと、
Φ = ∫S B・dS

であるから、ファラデーの法則は、
C E・ds = - k3 (d/dt)∫S B・dS

と書ける。
左辺にストークスの定理を適用して、
右辺は時間微分を積分の中に入れて、まとめると、
S [ ∇×E + k3B/∂t ]・dS = 0

任意の閉回路に対して成立するから、
∇×E + k3B/∂t = 0

これで、4つのマックスウェル方程式が出そろいました!
次回、4つの式をまとめた後、いくつかの係数の関係を求めます。


参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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00 : 46 : 21 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
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