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∫ マックスウェルの変位電流
2013 / 02 / 28 ( Thu )
古典電磁気学の続き。

前回得られた静磁場の回転(rot)の式からスタート。

×B(x) = 4πk2αj(x)   (1)

この両辺の発散(div)を取ると、左辺は0になり、

0 = 4πk2α ∇・j   (2)

これは、前回の導出過程で、
定常電流 ∇・j = 0 を仮定していたので、当然の結果である。

しかし、定常電流でない場合には、

電荷保存則
∇・j + ∂ρ/∂t = 0   (3)

を満たさなければならないので、(2)は、

0 = 4πk2α { ∇・j + ∂ρ/∂t }    (4)

というように修正される必要がある。

ここで、以前に静電場の記事で得られた最終結果

∇・E = 4πk1ρ  (5)

を思い出すと、(4)は、

0 = 4πk2α ∇・{ j + (1/4πk1)∂E/∂t }    (6)

と書きなおされるので、もとの(1)式は、

×B(x) = 4πk2αj(x) + (k2α/k1)∂E(x)/∂t   (7)

と修正される。

この新たに追加された∂E/∂tの項は、マックスウェルの変位電流と呼ばれる。

あと3回ぐらいで、単位系に依存しないマックスウェル方程式が完成しそうかな。

参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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テーマ:自然科学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 20 : 11 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 演算子の行列表現 (2)
2013 / 02 / 28 ( Thu )
前回の記事において、演算子 X として、
基底 |a> を固有ケットにもつエルミート演算子 A 自身を考えることにする。

行列要素は、
< a' | A | a'' > = a' δa'a''  (1)
となるから、
演算子AをA自身の固有ケットで表現した表現行列は、対角行列となる。

ここで、
正規直交基底の完全性の式

Σa' | a' > < a' | = 1   (2)

を用いると、任意の演算子 X は、

X = Σa'Σa'' | a' > < a' | X | a'' > < a'' |    (3)

と表せることが分かる。


演算子 X を A 自身とした場合は、(1)を代入すると、

A = Σa' a' | a' > < a' |   (4)

となる。

この形は、結構便利!!!

参考文献
J.J. Sakurai "Modern Quantum Mechanics"

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00 : 03 : 56 | 物理(量子論) | コメント(0) | page top↑
♪ 英語、ドイツ語、日本語音名
2013 / 02 / 25 ( Mon )
ピアノ仲間さんのところでよく、
英語とドイツ語と日本語の音名がすぐにドレミと結びつかない
という話を聞きます。
僕は幸い、これだけは、いっさい考えることなく、
瞬時に対応がつくんです。

このことが、そんなに役に立つことなのかどうか
正直分からないのですが、
どこで覚えたんだろうか?と、ちょっと考えてみました。

英語音名に関しては、
高校の時に、エレクトーンを独学でやってたことが大きいと思われます。
エレクトーンでは、コードを見て、足鍵盤でそのバスの音を踏むので、
たとえば、Amを見たら、瞬時に足でラを踏むわけです。
そこで、たぶん覚えこんだんでしょうね。

ドイツ語音名に関しては、
まあ、英語とアルファベットは同じですからね(笑)
問題は、アー、べー、ツェー・・・の読み方だけですが、
これが幸い、大学でドイツ語を選択してたために、
この読み方に、それほどの違和感がないんです。

どういうわけか、「理系ならドイツ語」という意味不明な慣習に基づいて、
なんとなく選択して、理系としては今現在まで、
一度も何の役にも立っていないのですが、
これがこんなところで役に立とうとは・・・笑

で、最後の日本語音名に関してですが・・・
これがどこで覚えたのか、さっぱり思い出せません!(笑)

戦時中は、この日本語音名で歌わされたという話を聞きますが、
そんな頃は生きてませんでしたしね・・・^^;
親の知識が遺伝したんでしょうか?
不思議です。

とりあえず、これが瞬時に分かるからと言って、
たいして役に立たない気もするのですが、
たまに、日本語版の楽譜の注釈で役に立つことがあります。

「○○版では、嬰ハ音の代わりに、嬰へ音を採用している」などと、
書かれてたりするんですよ。

僕としては、何もそこまで完璧に日本語に訳さなくても、
「ド#」とか「ファ#」とか書いておけばいいのに・・・
と思ったりもするのですが(笑)

ドレミだと、相対音階(移動ド)と間違える人がいるからでしょうか?
それなら、まだ、cis とか、fis とかのままにしておいた方が親切な気がするんですけどね。。。

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19 : 54 : 49 | ピアノ雑感 | コメント(10) | page top↑
♪ れんしうかい(3) ミニレッスン
2013 / 02 / 21 ( Thu )
あちこちのブロ友さんのところで、
最近行われた「れんしうかい」の記事がアップされているので、
このブームに乗じて、昨年9月に行われた前回れんしうかいの記事の続きを(笑)

なかなかアップできずに大変、遅くなってしまい、申し訳ありません!(汗)
The O'shows(オショーズ)の皆様によるミニレッスン報告です。

曲は、長年自主練を続けていて、完全に煮詰まりつつあった
シューベルトの即興曲 Op.90-4 をお願いしました。

Sleeping邸の特別防音室にて、
shigさん、夜毎屋さん、うづら校長先生からなるお師匠様たちにご指導いただきます。
「まずは、弾いてみて~」ということで、通しで一度弾いてみよう!

・・・としたのですが、ものすごく緊張してしまい、
まずは、「すごく緊張しています」と素直に自己申告(笑)

「緊張することないよ~気楽に~」と皆さん、緊張をほぐして下さって、
ほんとに終始和やかな雰囲気でレッスンが進みました^^

それでも、どうしても緊張のせいで冒頭から分からなくなって困っていたら、
夜毎屋さんが「楽譜を見ながら、ゆっくりと譜読みをするつもりで弾いてみて」
とおっしゃって、その通りしてみたら、不思議なことに、
一瞬で緊張がほぐれ、後はいつものように最後まで弾くことができました。

まず、shigさんから指摘されたのは、
ペダルの解放が不十分で、音が濁ってしまっているとのこと。

弾いている時から気にはなっていましたが、すごく濁ってたんですよね。
焦らず、ゆっくり踏んで、ゆっくりと離すという一連の作業を教えていただきました。
レッスン中には改善できませんでしたが、
おっしゃっていることはよくわかりました。

曲の組み立て方、曲想のつけ方としては、
特に問題はなかったようで安心しました。

困っているところがあれば・・・ということでしたので、

冒頭からの速い分散和音のところ。
どうしても指が回らないので、どのように練習すればよいかお聞きしました。

schubert90-4-minilesson-01.jpg


まずは、指使いをチェックして、僕は「2421」の方で弾いているのですが、
それでいいんじゃないかということでした。
基本的には、同じ音形は同じ指使いで弾く方が望ましいとのこと。

それから、「ドミド ドラ ラミド」の同音が抜けてしまうという相談をしましたら、
1の指の使い方がうまくいっていないことが原因と分かりました。

その後、家で練習してみても、確かに1が動いていないんですね。
1を意識すると、抜けにくくなりました。
もちろん、テクニック的に追いついていないので、
それだけでちゃんと弾けるようになったわけではありませんが、
どこが動いていないか意識するだけでも、ずいぶん違います。

練習方法としては、
まず和音として弾いて、その指使いのまま、分散させることを考える。

同音で問題になっている箇所は、
「ドミドラ ラ」、「ラドラミ ミ」、・・・
と言う風に止めて、問題になっている箇所だけを取り出して練習するのが効果的。

と、いろいろ有意義なアドバイスをいただきました!

そして、次に気になっていたことは、ウナコルダ
かなり適当に我流で踏んでいたのですが、果たしてそれでよいのかどうか?

基本的には問題ないそうですが、好みによっても違うみたいです。
shigさんは、最後の手段的に考えているそうで、どうしてもという時に踏むそうです。

基本的には、音を弱くするというより、音色を変えたい時に踏む
と考えるのがよいそうで、たとえば、うづらさんは、

schubert90-4-minilesson-05.jpg

ここの上がっていくところのモワモワとした感じを出すのに使っていらっしゃるそうです。

あとは、中間部の弾き方。

schubert90-4-minilesson-02.jpg

schubert90-4-minilesson-03.jpg

内声のビートがきつすぎるとのこと。
ついつい、盛り上がってしまい、ガンガン弾いてしまうのですが、
手首を上下させずに弾くようにするとよいようです。

右手4,5の指で弾くメロディラインはきちんと響かせて、1,2,3で弾く内声は抑える。
左手はバスは強く響かせて、後は弱く。
shigさんが実演して下さいました。
まあ、難しくてすぐにはできないんですけどね・・・汗

それから、decresc. と dim. の違い

シューベルトは明確に使い分けていたそうで、
decresc.は、テンポを落とさないけど、dim.はテンポも落とす

schubert90-4-minilesson-04.jpg

というわけで、ここはテンポを落としてたのですが、
テンポは保ったままにするようにとのことでした。

・・・と、こんな感じで短時間にもかかわらず、
非常に濃厚な内容の有意義なレッスンをしていただきました!

The O'showsの皆様、ありがとうございました!

場所と美味しいピザを提供して下さったSleepingさんをはじめ、
The Dessiesの皆様も、ありがとうございました!

既にして、旬を完全に過ぎてしまっているので、
次の機会があれば、なるべく早くアップできるよう心掛けたいと思います^^;

ちなみに、この曲、最近あまり弾いてないのですが、
また、しっかりと練習したいですね。
思い入れがある曲なので、あんまり弾いてなくても、
不思議と、暗譜がすぐに戻るんですが、
放置しすぎて戻らなくなったら、
あまりにも悲しいので、たまには弾いておきたいと思います。

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19 : 10 : 26 | おんそうず | コメント(6) | page top↑
♪ ベトソナ20番第1楽章
2013 / 02 / 09 ( Sat )
前記事では、たくさんのコメントをありがとうございました。
お返事が大変遅くなっていて、申し訳ありません!

お返事は必ずさせていただきますが、
もう今しかアップできないと思うので、
その前に現状版をアップしておきます。

発表会2日前に「ビフォー版」というのもひどい話ですが、
もうこれでいっぱいいっぱいなので、しかたありません(泣)

例のトリルは、いまだ弾けないけど、今回はあきらめました(笑)

他にも左手のスケールがまだ怪しいのやら・・・
左右がそろってない箇所(左右が聴けてないから)があったり、
いろいろ弾けてないところが多く、
その前に、音楽が全然進んでいってないのですが、
まあ、とりあえず、これで発表会に臨みます。

初め、細かい部分の各論記事を書こうと思ってましたが、
もういまさら、どこも修正できないので、やめました(汗)
最後のレッスンでは、どれだけ転んでも、
先生は一切、各論はおっしゃいませんでした・・・笑

で、今回は、皆さんがよく使っているVOONを試してみたのですが、
貼り付け方が分からず、なぜかプレイヤーみたいな絵が出てこないんですよ!
これで聴けるのかどうか分からないけど、どなたか教えてください!(汗)

ソナタ20番第1楽章(ベートーヴェン) ビフォー版

[VOON] Beethoven Piano Sonata No.20 1st move

今回分かったことは、ベートーヴェン難しい!!!ってこと。

ベートーヴェンをベートーヴェンらしく弾くなんて、
100年ぐらい練習しないと無理っぽいですね!
まあ、ショパンをショパンらしく弾くのも
100年ぐらい練習しないと無理なんだろうけど、
どうせ100年やるなら、ショパンの方がいいなと思ったりもします(笑)

あ、でも、きっと、どっちかだけじゃなくて、レベルが上がると、
両方同時にうまく弾けるようになっていくものなんでしょうね・・・

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23 : 42 : 34 | ピアノ練習記(ベートーヴェン) | コメント(16) | page top↑
♪ 音楽が流れない
2013 / 02 / 07 ( Thu )
来週の発表会に向けて、現在、ベトソナのラストスパート中ですが、
毎日の練習を録音して聴いていて、痛切に感じること。

音楽が流れていない!

実は、今のベトソナに限らず、
これまで、ショパンでも、あるいはポップスでも感じていたこと。

楽譜から音楽を読み取れてないとか、
そういう難しい次元の話ではなくて・・・

たとえば、J-POPとかだったら、
カラオケでは普通に気持ち良く歌えてると思うんですよ!
(自分の歌を録音して聴いたことないから、実は歌えてないのかもしれないけど・・・汗)

その同じ曲を鍵盤で弾こうとすると、音楽になってないんですよね。
脳内で流れる音楽が鍵盤に結びついていないという感じです。

歌うのと違って、「弾く」と言う大変な作業が入ってしまうため、
その都合でタイミングがどんどん変わってしまっているんだと思います。

たとえば、一つの主題が終わって、次の主題に移行するようなときなどに、
いったん休憩してしまってるかのような妙な間があったり・・・
フレーズを丁寧に閉じようと意識すると、
テンポまで落ちてしまったり・・・

よく指摘される拍感の欠落もこのあたりが原因しているのではないか
ということに気づきました。

おそらく、普通の人は、ある一定のテンポの上に音楽が流れていて、
たとえ、途中弾きにくいところで転んだりしようとも、
そのテンポの上できちんと立て直してるから、
そんなに違和感なく音楽として聴こえるんでしょうね。

音楽が絶対で、その下に弾くという作業がないといけないのに、
僕の場合、弾くという作業が絶対的地位を占めているという感じです(汗)
考えてみたら、常識的なことだったのかもしれませんが、
今まであんまりそれを意識して練習してこなかったのが問題。。。

いろいろなお仲間の演奏を聴いていて、子供の時に習われていた方は特に、
その部分できちんと演奏されているなあと感じるんですよ。
それはたぶん、古典派できちんと拍通りにテンポ感をもって弾いていくことを
徹底的に叩きこまれているため、常識になっているからなのかなあと。

やっぱり、古典派やるのは重要だなあと改めて認識しました。
いや、今までもツェルニーやソナチネなどの拍きっちり型の練習をしてきたはずなのですが、
そのことをあんまり意識して練習してなかったので、ダメだったんでしょうね。

今は、とにかく、途中で転ぼうとも、音楽の流れだけはきちんと通そうという意識をもって
ベトソナを練習していて、ようやく、少しはましになってきたかなあと感じてはいます。
・・・と言っても、まだちょっとましになった程度ですよ。
前は自分の録音を聴いていて、船酔いのように気分が悪くなるほどでしたから・・・^^;

ショパンなどのロマン派でも、これを意識すると、
だいぶ変わってくるんじゃないかなあ・・・と思っています。

で、肝心の録音アップなんですが、必ずどこかで派手に転んでしまうので、
いつまでたってもアップできません(汗)

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00 : 01 : 01 | ピアノ雑感 | コメント(14) | page top↑
∫ 演算子の行列表現
2013 / 02 / 05 ( Tue )
半年ぶりですが、量子力学の続き。

「線形写像の行列表現」で書いた数学的手法を応用して、
量子力学における演算子を行列で表現します。

前記事の結論だけをもう一度書くと、

基底として正規直交基底を選んでおけば、線形写像Tは、
aij = ( e'i, Tej )
で定義される行列で表現できる。

ということでした。

エルミート演算子の固有ケットは、正規直交系をなすので、
これらの固有ケットを基底に取れば、上記の結果が使えるってわけです。

たとえば、エルミート演算子Aの固有ケット |a'>, |a''>,・・・ を用いて、
別の演算子 X を行列で表現することを考えると、

e'j → |a'>
ej → |a''>
T → X
に対応させてやると、

xa'a'' = < a' | X | a'' >

という成分を持つ行列 X = [ xa'a'' ] で表現できることになる。


サクライ先生は、このことを正規直交基底の完全性の式だけを使って、
非常にシンプルに導出しています。

Σa' | a' > < a' | = 1

は、恒等演算子だから、任意の場所に挿入できるので、
< α | X | β > という式に挿入してみると・・・

< α | X | β >
= Σa'Σa'' < α | a' >< a' | X | a'' >< a'' | β >


この式を・・・

Σa'Σa'' < α | a' >< a' | X | a'' >< a'' | β >

というように見てやると、

< α | a' >は、ベクトル<α| の a' 成分。
< a'' | β >は、ベクトル|β> の a'' 成分。

と見ることができて、

< a' | X | a'' >を行列 X の a'a''成分とみなすことにすると、

式全体は、
[行ベクトル α] × [行列 X] × [列ベクトル β]
と見ることができる!

なんてエレガントな導出法なんでしょう!!!

基底の完全性の式は、ほんとに魔法のようですね!
ディラックのブラケット表示がそれだけ素晴らしいということなんでしょうけど・・・

ところで、サクライ先生の教科書「現代の量子力学」には、
一言、こんな注釈が書かれています。

The operator is different from a representation of the operator
just as the actress is different from a poster of the actress.

「演算子」と「演算子の行列表現」とは別物である。
「女優」が「女優のポスター」とは別物であるように・・・

この例えがあまりにも分かりやすくて、思わず笑ってしまいましたよ(笑)

まあ、今どきなら・・・

2Dの女の子と3Dの女の子は違うんだよ!!!

と言った方が伝わるかもしれませんね!
・・・って、何の話だ、いったい!?(爆)



参考文献
J.J. Sakurai "Modern Quantum Mechanics"

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23 : 43 : 54 | 物理(量子論) | コメント(2) | page top↑
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