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♪ コード弾き分散パターン (2) 三連符
2012 / 05 / 30 ( Wed )
友達に弾き語りの楽譜をお借りしたら、
懐かしい昭和の曲がたくさん入っていて(笑)、
その中にあったプリンセス・プリンセスの「M」を練習中!
といっても、弾き語りするわけではなく、コード弾きの練習です。

この曲は、4/4拍子なのですが、
一拍の中が三連符のリズムになっているので、
前回の馬鹿の一つ覚えのコード弾きパターンでは、しっくりきません。

そこで、三連符に対応した分散パターンを考えました。

例えば、Cコードだと、

ド  ソ  ド(上)| ミ(上) ド(上) ソ

という風にして、一拍を三連符に分けています。

ここで、問題が・・・

前回の分散パターンだと、運指が

ド  ソ  ド(上) ソ  ミ(上) ソ  ド(上) ソ
5  2  1    3  1    3  1    3

という風にできて、指くぐりが必要ないのですが、
今回の三連符パターンだと、

ド  ソ  ド(上)| ミ(上) ド(上) ソ
5  2  1     2    1    2

となり、ド→ミのところで、指くぐりが出てしまうんです!
そのあと、同じ2の指で戻して、
ソを打鍵するところがどうも安定しなくて、困っています。

鍵盤ガン見すれば、安定するとは思いますが、
コード弾きは基本的に暗譜する気がないので、
できれば、あまり、鍵盤を見ずに弾きたいところ。

tsukupia☆で、junさんに相談してみたところ、
あるいは、指くぐりせずに、ポジション移動しながら、

ド  ソ  ド(上)| ミ(上) ド(上) ソ
5  3  2     1    2    3

と弾くのもアリかもとのことでしたが、
そちらも結構、難しそうですね^^;

今はさすがに、今週末の発表会のノクターンの練習で手いっぱいで、
まだ試してないのですが、こちらの方法も試して、
いろいろ試行錯誤してみたいと思います。

楽譜にしないと、さっぱり伝わらないかな・・・汗
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22 : 47 : 35 | コード弾きへの道 | コメント(2) | page top↑
♪ 近親調の2つの定義
2012 / 05 / 29 ( Tue )
以前に「和声の原理と実習」という和声本を読んでいて、
以来、ずっと気になっていた一文があります。

近親調は、「調号が同じか、一つ違いの調」という定義の他に、

「原調の各音度上の和音をそれぞれ I と見るような調」

と定義することもできると書かれています(原文通りではありません)

この2つの定義が一致することを確かめるのは簡単で、

たとえば、C majorで考えることにすると、
第一の定義による C major の近親調は、下図のようになります。

F  ←  C  →  G
↑     ↑     ↑
↓     ↓     ↓
Dm ←  Am → Em 

一方で、C major の各音度上にある和音を並べると、
C Dm  Em F G Am Bm-5

Bm-5は、減三和音だから、主和音になりえないので、除外すると、
近親調の図とぴったり一致します。

他の長調についても、相対関係は同じなので、すべての長調に対して同様に一致する。

短調については、まず、A minor で考えると、
近親調の図は、上の図の、C と Am の役割を入れ変えただけで全く同じであり、
A minor の音度上にある和音も、
Am Bm-5 C Dm  Em F G
と、C major の時の順番を並べ替えて、
Amから順に始めただけで全く同じなので、一致する。

他の短調についても、相対関係は同じなので、すべての短調に対して同様に一致する。

よって、すべての調に対して、一致する!(証明終了)

ということで、
2つの定義が完全に一致することは確認できました。

ただ、なぜ、こんなにうまくいくんだろう?というのが疑問です。
必然的なことなのでしょうか???

それは、また後ほど考えることにして、
この第2の定義は、なかなかおもしろいなあと思うんです。

第1の定義だと、
元の調に対して、平行調以外の近親調には1個だけ固有音階音にない音が存在して、
その音を契機にして、近親調に転調を行うという側面が出てきますよね。

第2の定義だと、
そもそも、元々の調に近親調の主和音が隠されていて、
だからこそ、自然な転調ができると考えられるような気がします。

ちゃんと音楽理論を学んだわけではないので、
完全な素人考えですけど、
奥が深いなあと思ったので、記事にしてみました。

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00 : 59 : 34 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
∫ 基底の完全性
2012 / 05 / 29 ( Tue )
前回の結果から、
エルミート演算子の固有ケットが完全正規直交系をなすので、
任意の状態ケットをこの固有ケットを基底として展開することができる。

| α > = Σa' ca' | a' >

左から < a" | を掛けると、固有ケットの正規直交性から

ca' = < a' | α >

これを元の展開式に代入すると、

| α > = Σa' | a' > < a' | α >

と書ける。

この式を

| α > = Σa' | a' > < a' | α >

というように見てやると、

Σa' | a' > < a' |恒等演算子に見えてくる。

つまり、

Σa' | a' > < a' | = 1

この式は、基底の完全性を表す式である。

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00 : 52 : 53 | 物理(量子論) | コメント(0) | page top↑
∫ 固有ケットによる完全正規直交系
2012 / 05 / 29 ( Tue )
JJサクライの量子力学の続きです。

エルミート演算子は、次の2つの重要な性質を持つ。

固有値は実数である。

異なる固有値に対する固有ケットは互いに直交する。

証明

エルミート演算子 A の任意の2つの固有値を a' 、a" 
固有ケットを |a'>、|a"> とすると、エルミート性から、

< a" | A | a' > = < a' | A | a">*

|a'> 、|a">は固有ケットだから、

a' < a" | a' > = a"* < a' | a" >*

すなわち、

(a' - a"*) < a" | a' > = 0

固有値が等しい時 ( a' = a" ) を考えると、

a' = a'*

となり、固有値は実数である(性質1)

固有値が異なる時 ( a' ≠ a" ) を考えると、

< a' | a" > = 0

となり、異なる固有値に対する固有ケットは互いに直交する(性質2)

以上で、証明終了。

固有ケットのノルムは任意だから、規格化してやると、
エルミート演算子の固有ケットは、完全正規直交系をなすことになる。

< a' | a" > = δa'a"

ここで、完全性については、物理的要請のようです。

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00 : 52 : 51 | 物理(量子論) | コメント(0) | page top↑
♪ tsukupia☆全曲ノート
2012 / 05 / 25 ( Fri )
tsukupia☆創設以来、いろいろなシステムを導入、試行錯誤してきましたが、
ほぼどれも定着せずに、自然消滅した中で、
tsukupia☆独自のシステムとして、完全に定着したものが一つあります!

それは、「全曲ノート」!

tsukupia-note01.jpg
(注:↑aliceさんの箇所は、僕の代筆です)

初回練習会以来、発表タイムだけでなく、練習タイムを含めて、
皆さんに弾いていただいた全曲目がここに記録されています。
演奏後に必ず、このノートに曲目を書いていただくことにしています。
当初は、その都度お願いしていましたが、
もう最近では完全に定着して、皆さん自らサクサクと記入して下さってますね(笑)

このノートを導入した理由は・・・

1.知らない曲でも、いい曲だなあと思ったときに、すぐに曲名が確認できる。

2.練習会の後、mixiのコミュ内で曲目リストをアップするので、
  参加できなかった人でも、演奏曲目を知ることで、雰囲気が味わえる。
  (意外とみんな、見てくれているようです)

3.いずれ、統計を取って、人気作曲家ランキングなどで楽しめる。


いかがですか?

このシステムは、今も導入してよかったなあと思っています。
3番の統計処理は、少々面倒なので、重い腰を上げるのが大変ですが、
いつかはやってみたいですね!

ところで、先日の練習会で、メンバーのaliceさんから、こんなものをいただきました。

burgmullernote01.jpg

これ、ブルグの楽譜ではなくて、ノートなんですよ!
今のノートを使い切ったら、2冊目に使わせていただきます。

わざわざ、このために、五線譜ノートではなく、普通のノートを選んでいただいたようで、
aliceさん、ありがとうございました!^^

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00 : 24 : 54 | tsukupia☆ | コメント(10) | page top↑
♪ 一番とニ番の弾き分け
2012 / 05 / 25 ( Fri )
最近、よくコード弾きで練習している「秋桜」の楽譜。

cosmoslyric01.jpg

一番の歌詞に加えて、二番の歌詞が鉛筆で書き込まれています。

先日、tsukupia☆で、はな。さんに
「ひょっとして、歌うんですか!?」
とつっこまれたところなのですが(笑)、
実は、別の理由で書き込んでいるんです。

この曲に限らないことですが、歌詞付きのポピュラーだと、
一番と二番で歌詞の文字数の都合上、
音符の割り方が違うということがよくありますよね!

こういう時、皆さん、どのようにされているんでしょう?

一番と二番を同じように弾くとつまらない気がするので、
僕は、心の中で歌詞を歌うようにして、
音符割りを歌詞に合わせるようにしています。


楽譜には一番の音符割りしか書かれてないので、
簡単なようで、意外と頭が混乱するんですよ。。。

特に、「秋桜」の場合、サビの最後のところ。

一番は、
わらいばなしに ときがかえるよ しんぱい いらないと わらった

二番は、
もう~すこし~ あなたの~   こどもで いさせて~ ください

とかなり文字数が違ってて(個人的には、そこがいいところなのですが・・・)
二番を弾く時、かなり混乱してしまいます。

あまり楽譜を見ないで、ノリノリに歌詞を心の中で歌いながら、
弾くのが一番、いいんでしょうね。

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00 : 15 : 23 | ピアノ雑感 | コメント(2) | page top↑
♪ 音の設計仕様
2012 / 05 / 23 ( Wed )
先生にダメだしされる場合のパターンは、3種類に分類できそうです。

設計仕様は正しいけど、性能が仕様を満たしていない

自分では、「ここはフォルテ!」のつもりで弾いているけど、
全然、フォルテになっていないとかいうパターン。
どういう音にしたいかという楽譜からの読み取りは合っています。

設計仕様が間違っている

そもそも、楽譜からの読み取りが間違っているケース。
内声で抑えないといけない音を思いっきり出そうとしているとか。

そもそも、設計仕様が定義されていない

その場その場で適当な音で弾いているけど、そもそも、
その音に対して、どういう風に弾こうという指針すらない(汗)



で、今回、ノクターンで指摘されている箇所は、
考えてみたら、この3番が多いのではないかということに気づきました!

そして、ひょっとすると、
この第3のパターンが最も重症ではないか
ということにも気づいてしまいました(汗)

もちろん、全体的な音楽の流れや、ところどころの音には、
それなりの思いやこだわりを持って、練習してきているつもりなのですが、
考えてみたら、鳴らす「すべての音」に対して、事前に仕様を確定していなければおかしいですよね!
(この「すべての音」というのがポイントな気がします・・・^^;)

でも、強く鳴らすのか弱く鳴らすのかさえ確定させていない音がたくさんあるんです(汗)
そういう音は適当に鳴らすので、全然その場にそぐわない強すぎる音になってたりして、
往々にして、注意されます(笑)

第1のパターンなら、仕様を満たすように頑張ればいいし、
第2のパターンなら、仕様を変更すればいいだけだし、
やっぱり、第3のパターンが一番、重症ですよね。

考えてみれば、当然のことなのですが、今頃気づいてしまいました。。。

プログラミングで変数の初期化を忘れて、
当然、0が入ってるだろうと思いこんでいると、
前のメモリの残骸でとんでもない値が入っていて、
デバッグに頭を悩ませるというのが昔、よくありましたが、
それと似てるかも(笑)

とはいえ、つい面倒なので、譜読みをいい加減にやる癖は、
すぐには直りそうもないですが。。。

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23 : 04 : 55 | ピアノ雑感 | コメント(2) | page top↑
♪ tsukupia21☆第21回練習会~虹コンリハーサル
2012 / 05 / 23 ( Wed )
先週末に、tsukupia☆の練習会 tsukupia21☆がありました。

tsukupia07以降の報告記事が滞ってますが、もう追いつくのはあきらめました(笑)
また、気が向けば、バックナンバー(08~20)の報告も記事にしたいと思います。
気が向く可能性は、限りなくゼロに近いですが(汗)

さて、tsukupia21☆。
最近は、発表タイムをやると、参加ハードルが高くなるみたいで、
「練習会に参加するための練習ができてません」とかいう理由で(笑)
参加者が減ってしまうため、しばらくやめていたのですが、
今回は、再来週の「虹色コンサート」に向けてのリハーサルということで、
発表タイムをやりました!

~ プログラム(敬称略、演奏順) ~
dyne  ノクターン19番 op.72-1(ショパン)
alice   間奏曲 op.118-2(ブラームス)
jun    舟歌(ショパン)
イズミ&miumiu  ピアノ協奏曲第2番第1楽章 連弾(ラフマニノフ)
はな。  司会進行

はな。さんは、発表タイムにエントリーされなかったので、司会進行をお願いしました。
(もちろん、練習タイムには、弾いていただきましたよ)

今回は、tsukupia☆では初めて(たぶん)の連弾もありました。
(バイオリンとのアンサンブルは、過去にあったのですが・・・)
いずみさんとmiumiuさんによるラフマニノフ、息がぴったりで、素晴らしかったです。
他の方々も皆さん、なんだかんだ言っても、
しっかりと仕上げの段階に入ってるんですよね!

僕はというと、全然、完成とは程遠い演奏が、緊張でさらにボロボロだったのに、
その割には、発表タイム以外は、ポピュラーばかり弾いて遊んでしまった・・・汗

前回のクリスマス発表会では一人だけ、
本番スリッパで恥ずかしい思いをしたので、
今回は「脱スリッパ」を目指して、
どこからどう見てもスリッパには見えない靴を用意しました!(笑)

それに対して、今回、junさんは、
わざわざ本番用の「マイスリッパ」を準備されたようです@_@
きっと、一人だけ浮きますよ・・・スリッパ・・・(プフッ・・・笑)

そして、練習会の後は、前から一度行ってみたかった
ピアノのある喫茶店「とむとむ」へ行ってきました。

tomtom01.jpg

中はこんな感じ・・・素敵なお店でした!

tomtom02.jpg

tomtom05.jpg

ピアノを弾きたい人は申し込めば、弾かせてもらえるようですが、
上級者ぞろいなのに、みんな遠慮されて、誰も弾いてくれませんでした(泣)
僕はもちろん、初めから聴き専門のつもりです!

それから、実は、この「曲げわっぱ」みたいな建築にも以前から興味があったので、
間近で見れて、満足しました(笑)

もともと、コーヒー専門店で、コーヒーへのこだわりがすごいみたいです。
こんなのに入って、出てきました(何ていう名前か知らない・・・汗)

tomtom03.jpg

そして、こちらは、ハヤシビーフ。美味しかった!

tomtom04.jpg

世の中には、力をほとんど使わずに弾ける方法があるとか、
面白い練習法とか、暗譜の仕方とか、
いろいろピアノ話で盛り上がり、あっという間に時間が過ぎました。。。

というわけで、
tsukupia☆は、細々とですが、ちゃんと続いています!
というご報告でした(笑)

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22 : 54 : 42 | tsukupia☆ | コメント(4) | page top↑
東京歴史散歩 ⑥芝・増上寺
2012 / 05 / 17 ( Thu )
一昨年末(注:昨年ではない)の東京歴史散歩記も、ついに最終回を迎えました!(笑)

いよいよ最終目的地、芝の増上寺です!
もともと徳川家の菩提寺を見てみたいということで、
上野の寛永寺と迷って、今回は芝を選んだのでした。。。

バックナンバーにご興味がおありの方は、「歴史」カテゴリーでどうぞ。
そういえば、第一回の「将門首塚」は、
今放映中のドラマ「都市伝説の女」(長澤まさみさん)の第一回で取り上げられてましたね。
都市伝説への興味から見てみたものの、
あまり面白くなかったので、そのあとは見てませんが・・・(汗)

おっと、話がそれましたね。
愛宕神社から、プリンスホテルを抜けて、芝の増上寺へ。

shibazoujouji01.jpg

さすが、天下の徳川家の菩提寺、威厳がありますね!
ここは、年越しの初詣の映像がよくテレビで放映されてますよね。

たまたま、中で法要をやっていたので、
中に入って、席に座って、しばらくその場の雰囲気に浸ってました。
子供の頃から、仏像の前にいると、
そのまま、一日中でもその場で過ごせそうなぐらいに癒されるんですよ(笑)

高校の時には、自己紹介で「趣味は仏像です」と言って、
クラスの爆笑を買ったことも(笑)
おかげで、目立ってしまい、委員をやらされる羽目になりましたが(爆)

この日も、このままずっと、たたずんでてもよかったのですが、
そのあとに、重要な予定があったので・・・

こちらは、台徳院霊廟の惣門。

shibazoujouji02.jpg

「ブラタモリ」によると、この門の向こうには、徳川秀忠の壮大な霊廟があったようです。
(東京大空襲で焼けたようです)

跡地は公園みたいになっていて、散策していたのですが、
その時にはその番組をまだ見てませんでした。
番組見てたら、もっと詳細に探索してみたのになあ・・・

現存する徳川家の墓所も、公開の日に合わせて行ってみたいですね。

ちょうど日が暮れてきて、東京タワーがとてもきれいです!

shibazoujouji03.jpg

東京タワーは、やっぱり最高ですね!
(このクラシカルな色合い、スカイツリーより断然、好きです)
この写真見てると、内山田洋とクール・ファイブの「東京砂漠~♪」という
メロディーが浮かんできそうですが・・・笑

そして、芝公園を少し散策してから、よい時間になったので、
次の重要な予定へと向かいました。
ピアノサークルの忘年会(飲み会)だったのですが・・・(笑)

というわけで、今回でこのシリーズは完結!
そして、すぐにパート2が始まります。

パート2は、上野公園から寛永寺へ向かいます。
これも、昨年の2月頃の話なんですけどね。。。

テーマ:国内、史跡・名勝巡り - ジャンル:旅行

23 : 02 : 49 | 歴史 | コメント(0) | page top↑
♪ コード弾き分散パターン
2012 / 05 / 16 ( Wed )
まったくの我流ですが・・・
現状すべて、「バカの一つ覚え」で、この分散パターンでやっちゃってます。

例えば、Cコードの場合、

ド  ソ  ド(上) ソ  ミ(上) ソ  ド(上) ソ

上と書いてあるのは、高い方のド、ミという意味。
楽譜に書くと分かりやすいんでしょうけど・・・汗

そこそこ音域も広いので、いい感じに聞こえるんですよね。

曲の出だしの部分とかは、

ド  ソ  ド(上)ーーー という感じにしたり、
(尾崎豊の I Love You とかバッチリ合います^^)

ド  ソ  ド(上) ソ だけを2度繰り返したり、

少し変化はつけているものの、やっぱりバリエーションなさすぎ(><:)

セブンスなどは一切、まだ導入できてません(汗)
(べた押しなら、押せるのですが、分散はまだ無理)

セブンスは省略して主和音で代用しても、そんなに違和感ないですね。
できれば、ちゃんとやりたいとは思っているのですが・・・

でも、「sus4」 は、できればしっかり入れたいところ。
サビに入る直前に入れる定番の「sus4」は、
ポピュラーの醍醐味だと思っているので、欠かしたくないんですよね。。。
(例えば、a mollだと、E7 sus4 → E7 でサビ Am へ突入みたいなやつ)

上の分散パターンで入れるとしたら、C sus4 だと、

ド  ソ  ド(上) ソ  ファ(上) ソ  ド(上) ソ

にするんだと思うのですが、なんかイマイチな感じがしてしまうんです。
別の分散パターンを使用した方がよいかもしれません。

もっと、いろいろなパターンを身につけたいところですね。

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00 : 29 : 52 | コード弾きへの道 | コメント(0) | page top↑
∫ 老後に数学
2012 / 05 / 16 ( Wed )
物理への興味の持ち方は、人によっていろいろだと思うのですが、
僕の場合は、
ロケットは、どうやって飛ぶの?
パソコンの中は、どうやって動いているの?

みたいな具体的な興味というよりは、むしろ、

物質って、何?
光って、何?
宇宙って、何?
時間って何?

ダークマターって???
ダークエネルギーって、何それ?????

自然界はどんな秩序で成り立ってるの?

といった自然の神秘に対する根源的な問いへの興味が大きいのです!

というわけで、当然、数への神秘にも、すごく魅了されているわけです。
より根源的で抽象的な論理や概念を追求する数学にも多大なる興味があるわけで、

いつかは、数論、群論、環論、多様体などなど。。。
しっかりと学んでみたいものです。
中学時代から気になっている「ガロア理論」。
(「角の三等分線は絶対に作図できない」というのがどうも昔から気になっていて・・・)
最近、興味を持った「ゼータ関数」と素数の話。

いろいろと、興味は尽きないわけなのですが、
やはり、今は物理の方により興味があるので、
数学は、物理の勉強に必要な最小限をなんとか習得していくというスタイルです。
必要最小限とはいっても、これがかなり必要なので、
実は全然、最小限という感じではないんですけど・・・汗

そういうわけで、物理がある程度満足(理解ではない)できた後に、

老後にでも、数学をやるしかないか!

と思ったりしているのですが、最大の問題はですね・・・

老後の固くなった頭で、数学なんか理解できるのか!?

ということ(笑)

計画段階で、何か既に間違っている気がしないでもありません(笑)

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00 : 09 : 43 | 数学(雑感) | コメント(2) | page top↑
♪ ノクターン19番 (8) 音の重みと内声
2012 / 05 / 15 ( Tue )
先日のレッスンで、虹色コンサートにノクターンで出ることを
先生にお伺いというよりは、半ば事後報告的に
無理やり、了承していただいてきました(汗)

先生、かなり驚かれている様子でしたが・・・
さすがに、まさか、この完成度で人前で弾くの?って感じだと思います(汗)
しかし、他に代替の曲がないもので・・・(^^A

僕の中では、虹色コンサートはアットホームだし、
軽く流す程度でもいいか?などと、
まったく根拠のない余裕があったりしたのですが(笑)
そもそも、人前で発表する場で、
そういう勝手な位置づけじたい、本来はありえないのかも・・・(汗)

というわけで、ノクターン集中で見ていただきました。

まずは、
音をただ押しているだけで、旋律が全然歌えていない!

右手の旋律に関しては、それなりに自分では頑張って歌ってるつもりで、
日夜、練習してきたつもりではあったのですが、
まだまだ、歌えていないようです。。。

たぶん、ガツンガツン弾いてはいけない!と思って、
柔らかく弾こうとしてしてまっていて、
全然音が抜けてしまっているのではないかと思います。

もっともっと、旋律は、はっきりと音を鳴らして、
音に重みを与えないといけないんですね!
逆に、もっと左は弱くして、コントラストをはっきりさせて、
旋律がはっきりと分かるようにしないといけないってことなんですかね。

特に、前の記事で「難所」と書いていた、tr が頻発するあたりは、
曲の中で盛り上がっていく場所なので、
もっとはっきり、くっきりと際立たせないといけないようです。
先生の表現を借りれば、「つららの先のように尖鋭な音を!」とのことです^^;

ガツガツ弾いてもいけないし、埋もれてもいけないし、
音に重みを与えるって、ほんと難しいです。

それから、
内声をもっと聴くべし!

これはもう、本人が一番承知している既知の問題です(汗)
弾いている本人がまったく内声聴こえてないんだから、
聴いている人に伝わるわけないですよね。。。

どうしても、聞こえないのです。。。
右手部分の2声だけを取り出して練習していると、
わりと聞こえてる気はするのですが、
左手伴奏が混ざると、3声になるので、
まったく聞こえなくなるんですよね、これが!

右手の2声を右手と左手の両方を使って弾く練習が効果的だそうです。

それにしても、この問題、困ったことに・・・
近日中に、なんとかなる気がしません(^^;


そして、
左手は、もっと粒をそろえて!

後ろの2つの音にアクセントが付いちゃってる時もあるそうで、
基本的にもっと、音をそろえて弾くべしとのこと。

丁寧に弾くことを意識してみたら、少しは分かってきた気はします。
なんとか、なるかな。。。


・・・と、書いてみたら、
どれも、すべての曲に共通する基本的事項ばかりですね!
やっぱり、基本ができてないなあ・・・汗

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00 : 16 : 29 | ピアノ練習記(ショパン) | コメント(6) | page top↑
∫ 一階偏微分方程式
2012 / 05 / 15 ( Tue )
仕事で、簡単な一階偏微分方程式を解かなくてはいけなくて、
特性曲線を使って解く方法を復習しています。

簡単な例。

ut + c ux = 0

を満たす u(x,t) を求める。

(x, t) 平面上に x = x(t) で表される特性曲線Γなるものを考えて、
その曲線Γ上での u の変化を考える。

曲線Γ上に限ると、t を dt だけ変化させると、
x の変化 dx も自動的に次のように決まる。

dx = (dx/dt) dt

その時の u の変化 du は、

du = ux dx + ut dt
 = { ux (dx/dt) + ut } dt


ここで、特性曲線Γを dx/dt = c を満たすように決めると、
元の偏微分方程式より、{・・・} = 0 になって、

du = 0

つまり、u は、特性曲線Γ上では、定数となる。

特性曲線の式は、dx/dt = c から、

x - ct = ξ(const.)

と表されるので、u(x,t) の一般解は、

u (x,t) = f (ξ) = f ( x - ct )

となる。
ここで、f (ξ)は、任意の関数。

もし、係数 c が c(u) のようにuに依存した関数になっていた場合、
すなわち、

ut + c (u) ux = 0

といったような場合でも、まったく同じ論理が使えて、
結局、特性曲線上では u が一定になるので、
c(u)も定数になって、
特性曲線は、

x - c (u) t = ξ(const.)

という直線になり、一般解は、

u(x,t) = f ( x - c (u)t )

と表せる。
ただし、陰関数表示になっているので、
陽的な表示が欲しい場合は、ここから、u について解かなければならない。

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00 : 08 : 39 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ オイラーの公式 (4)
2012 / 05 / 11 ( Fri )
オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法を
いろいろ探しています。

今回は、正攻法で攻めてみようかなと思って、自分で考えた方法を紹介します。
ひょっとしたら、数学的に間違ってる個所もあるかもしれませんし、
逆に、ひょっとしたら、有名な方法なのかもしれません。
勉強不足なので、間違えていても、ご了承ください。

まずは、eixの正体が分からないと考えて、
eixを実部と虚部に分けて、
それぞれを実数関数 f (x)、g(x)で表す。

eix = f (x) + i g(x)

微分すると、
{eix}' = f' (x) + i g'(x)

一方で、指数関数として微分すると、
{eix}' = i eix = i { f (x) + i g(x) }
だから、
{eix}' = - g(x) + i f (x)

実部と虚部を比較して、

f '(x) = - g(x)
g'(x) = f (x)


という連立一階の微分方程式が出てきます。

この解は、いかにも

f (x) = cos x
g (x) = sin x


っぽいですよね!
これを証明できればいいわけです。

たぶん、微分方程式の解の一意性の定理から、
一個解が見つかっているならば、その解しかありえない!
と言って、煙に巻いてしまうこともできるのかもしれませんが(笑)、
一応、解は分からないという前提で話を進めます。

こういうのは正攻法では、たぶん、

関数を v = [ f, g ] とベクトル化して、
係数行列 A = | 0 -1 | を導入して、
         | 1 0 |

dv/dt = A v

と表し、Aの固有値と固有ベクトルを求めて、
ξ(x) = a f(x) + b g(x)
η(x) = c f(x) + d g(x)

といった2つの線形結合からなる関数の独立した微分方程式に分離する
というようなことをやるんだと思うのですが、

それをやると、おそらく、
f(x) = eix + e-ix
g(x) = eix - e-ix

といったような答になりそうな気がして、
結局、オイラーの公式を使わなければ、
cos x, sin xに行きつけなくなりそうな気がします。

そこで、別の方法を取ります。

以前に、この記事で紹介した山本義隆先生の「物理入門」で
オイラーの公式を用いずに、単振動の運動方程式を
見事に解いていた方法を使わせていただきます。

まずは、連立微分方程式の第1式に f(x)、第2式に g(x) を掛けて、足すと、

f (x) f '(x) + g (x) g '(x) = 0

これを x で積分すると、置換積分を使って、たとえば、

∫f (x) f '(x) dx = ∫y dy = y2/2 + C = {f (x)}2/ 2 + C

などとできて、結局、

{f (x)}2 + {g (x)}2 = C  (Cは定数)

という関係式が得られる。

この式から、(f(x), g(x)) は、
原点を中心とする半径 A = √C 上の円周上の点となるから、
θというパラメータを用いて、

f (x) = A cos θ(x)
g (x) = A sin θ(x)


と表せる(θはxに依存する関数)
(cos と sin を逆にすることができる任意性は、
θをπ/2-θとする自由度に含まれている)

これで、だいぶ近づいてきました!
(あとは、θ(x)の形を求めればOK!)

f(x)、g(x)を微分すると、合成関数の微分を使って、

f '(x) = - A θ'(x) sin θ(x) = - θ'(x) g (x)
g '(x) = A θ'(x) cos θ(x) = θ'(x) f (x)


元の連立微分方程式を満たすためには、

θ'(x) = 1

でなければならない。積分して、

θ(x) = x + x0 (x0は定数)

f (x) = A cos (x + x0)
g (x) = A sin (x + x0)


あとは、 x=0 の時の条件で、定数を決める。

e0 = 1 だから、 f(0) = 1、 g(0) = 0

g(0) = 0 で、A≠0 だから、x0 = nπ (nは整数)

f(0) = 1 より、次のいずれかである。

(i) x0 = 2nπ、A = 1

(ii) x0 = (2n+1)π、A = -1


いずれの場合も、

f (x) = cos x
g (x) = sin x


となるので、めでたく、証明ができました!

テーラー展開を使わない証明方法は、こんなところです。
やっぱり、テーラー展開を使った証明が一番わかりやすいんですけどね(笑)

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 36 : 06 | 数学(高校+α) | コメント(0) | page top↑
∫ オイラーの公式 (3)
2012 / 05 / 11 ( Fri )
オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法をいろいろ探しています。

前回は、Wikipedidaに載っていた素晴らしい方法を紹介しました。

今回は、こちらの本に載っていた証明。

448601863Xオイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ
吉田 武
東海大学出版会 2010-01

by G-Tools


この本は、オイラーの公式を理解することを究極の目的にして、
初学者でも理解できるように、三角関数、指数関数、微分積分など
基礎事項を一からすべて説明してくれるという面白い本です。

僕は少し、本屋でパラパラと見ただけですが、
基本的には、テーラー展開できちんと証明するのを目的としているようです。
ただ、この本の中に、別の証明という形で
コラムのように掲載されていた証明があったので、
そちらに少しアレンジを加えて、紹介します。

まず、
f (x) = cos x + i sin x
と置き、最終的には、
f (x) = eix
となることを証明する。

まずは、f(x)を微分すると、
f '(x) = - sin x + i cos x
   = i ( i sin x + cos x )
   = i f (x)

となり、
f '(x) = i f (x)
という微分方程式ができる。

これは、高校で習う(今は習うかどうかは知りませんが・・・)
唯一のパターンである変数分離形の微分方程式

sin x と cos x は同時に0となることはないので、f(x) ≠ 0 だから、
両辺を f(x) で割って、
f '(x) / f (x) = i

両辺を x で積分すると、
∫[ f '(x) / f (x) ] dx = ∫ i dx

log f (x) = ix + C  (Cは任意定数)

f (x) = C eix

となり、初期条件

f (0) = cos 0 + i sin 0 = 1

から、C = 1 となって、

f (x) = eix

と導いています。
(うろ覚えなので、細部は違うかもしれませんが・・・)

すごくあっさり証明できてしまうのですが、
この方法では複素の対数関数logを使ってるのが分かりにくいかなと思います。
もちろん、複素の対数関数をしっかり定義すれば正しいとは思うのですが、

実数の対数関数の場合は、負数の対数が許されないので、
実関数の微分方程式では、普通、絶対値を取って、

log |f (x)| = ix + C

というように解くのが普通な気がします。
では、これが複素数になると、絶対値つけなくていいの?
となって、混乱が生じてしまいます。

そこで、これよりは少し煩雑になりますが、
あえて、対数を使わずに証明するよう、自己アレンジしてみました!

f '(x) = i f (x)

までは同じ。

ここから、x = -iz という変数変換を行います。
これは、 ix = z となるように狙っています。
もちろん、z は複素数になります。
変数変換は、高校数学の範囲でも、置換積分などで慣れていると思うので、
そんなに違和感はないでしょう。

変換後の関数を

f (x) = f (-iz) = g (z)

とかくことにします。

合成関数の微分公式を使って、

g '(z) = d{f (-iz)}/dz = f '(x) d{-iz}/dz = -if '(x)

f '(x) = if (x) だったので、

g '(z) = f (x) = g (z)

つまり、g(z)は、

g'(z) = g(z) 

というように、微分しても形が変わらない関数になります。

指数関数 ez

{ ez }' = ez

というように微分して形が変わらない関数なので、

g(z) = ez 

と言いたいところですが、ez以外にありえないということを
証明しなければ、他の関数も存在する可能性が出てしまいます。

そこで、このような関数 g(z) は、 C ez 以外にないということを示します。
(実際には、Cという任意定数がつきます)

ここからの証明は、こちらの本を参考にしています。
(ちなみに、この本は非常に骨太な名著で、いつか精読したいなあと思っています)

4130620053解析入門 (1)
杉浦 光夫
東京大学出版会 1980-01

by G-Tools


h(z) = g(z) / ez

という関数 h(z)を考える。

h'(z) = { g'(z) ez - g(z) (ez)' } / e2z
   = { g'(z) - g(z) } ez / e2z
   = 0


よって、h(z) = C (定数)

g(z) = C ez

というわけで、意外にも簡単に証明できて、

f (x) = C eix

となります。

あとは、先ほどと同様、f(0) = 1 から C=1 となり、

f (x) = eix

となって、めでたく、オイラーの公式が証明できたことになります!

次回は、もっと単純に思いつく正攻法で攻められないかなと思って、
自分で考えた方法を紹介します。
我流なので、数学的に穴があるかもしれませんが・・・汗

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 18 : 35 | 数学(高校+α) | コメント(0) | page top↑
♪ ノクターン19番 (7) 難所
2012 / 05 / 10 ( Thu )
苦労している難所の練習状況報告です。

難所その1

nocturne19-difficult02.gif
(クリックすると大きくなります)

初めの「ラシラソラシ」で、ソ#(黒鍵)を1で弾くためには、
スタートをかなり奥側にもっていかなければならないのですが、
そうすると、その後の指くぐりで白鍵のシを1で弾く時に、
黒鍵が邪魔して、非常にやりにくいんです。
他の運指も検討してみたのですが、どうしてもこれが一番よさそう。

そこで、まったくの我流ですが、ソ#を弾いた後、
次のラ#を手前にかきこむようにして、
一度目のラ#より手前側で打鍵するようにして、
シを打鍵するときには、親指がかなり手前側に来ているようにしてみたら、
かなり成功率が上がるようになりました。

でも、こんな弾き方は、ほんとはダメなんだろうか?
手前にかきこむような弾き方はよくないと昔聞いた気がしますが、
ケースバイケースで状況に応じてならいい気もするし、
他に合理的な弾き方ありますかね?

実は、今はそのあとのミでの指くぐりの方がうまくいかないことが多いです。
(意外とやりづらい・・・^^;)


難所その2

nocturne19-difficult03.gif
(クリックすると大きくなります)

ここは、以前にも記事にしたところですが、やっぱり難しいですね。
特に、初めの頃は、
「ドド#レレ#|ミミ#ファソ|ソ#ララ#|シー」
   4      4         3               
と分割していたのですが、
最後は、「ソソ#ララ#」の4音を強調した方が説得力があると先生に言われ、
「ドド#レ|レ#ミミ#ファ|ソソ#ララ#|シー」
   3      4         4
と分割パターンを変更したので、それも大変でした。
本来は、分割せずに均等に入れるのが理想なんでしょうけど、
僕には逆立ちしても無理なので、
分割して拍にしっかりはめ込んでます。

右手だけならいいのですが、左手が2オクターブさがっていくパターンで、
1個目のファ#から2個目のオクターブ下のファ#へ、
5→1で飛ばなければならないので、
(楽譜には4と書きこんでますが、5を使ってます)
そこは、どうしても鍵盤ガン見が必須!

そうすると、右手は見ないで弾くことになり、難しいんです。
半音階って、あんまり慣れてないので、見ないで弾くのが意外に難しくて・・・


その他、難所と言うほどでもないのかもしれませんが・・・

nocturne19-difficult04.gif
(クリックすると大きくなります)

トリルの位置の後処理。
「シドシドシド~~~~~シド ラシド・・・」
と適当にやっていたら、ちゃんと、
「シドシドシド~~~~~シドラシド・・・」
とやるようにとか。

そのあとが、上の「その2」の譜面につながるのですが、
「ラシドレドレドレド~~~~」
とうまくきれいにつなげるのが、結構難しいとか。

地味に難しいのがここのtr。

nocturne19-difficult05.gif
(クリックすると大きくなります)

ファの1を押さえていなければやりやすいんでしょうけど、
1を押さえながらで、243の動きがちょっとやりにくい。
ペダル踏んでるから、離してもいいのかもしれませんが、
なんとなく押さえながらやろうとしていて、ミスってます。

久しぶりに、まじめに、各論的な記事を書いたかも(笑)

テーマ:ピアノ - ジャンル:音楽

00 : 03 : 47 | ピアノ練習記(ショパン) | コメント(4) | page top↑
近況~GWを終えて
2012 / 05 / 09 ( Wed )
書きたいことはたくさんあるのですが、
最近なかなかブログを書く時間が捻出できません(>_<:)

GWにこそ、ゆっくり更新するぞ!
と勢い込んでましたが、
バドやバーベキューなど、いろいろ楽しい予定がありすぎて、
まったく書けなかった・・・
要は、遊び過ぎってことですね・・・汗

残った時間は、ピアノ練習にあててましたが、
これまた、簡単なコード弾きを覚えてから、
弾きたい浮気曲がたくさん膨れ上がってしまって、
地道な練習があんまりできてません。。。

来月の虹色コンサートでは、アンドレギャニオンあたりを弾こうと思ってましたが、
もう今からだと、ノクターン19番を弾くしかなさそうですね。
仕上げるのは無理っぽいですが、途中経過発表ということで・・・^^;;

この発表会、なにげに前回は誰も派手なミスはしてなかったので、
困ったもんです。。。
派手にミスをして、風穴をあけますか(笑)

一応、ノクターンは何度も通し弾きでは、弾きこんでいて、
弾けなかった部分も少しずつましにはなってきてるとは思いたいのですが、
ほんとは、もっと和音をそろえるとか、片手ずつ練習するとか
地道な部分練習が必要ですよね。
分かってはいるんだけど・・・^^;

最近は、地道な練習がどうしても気分が乗りません。
特にスケールの練習がひどいですね。
♭4つのAs dur、f moll のところから遅々として、進んでません(汗)

ブロ友さんのブログを見に行くたびに、
あまりにも真摯な姿勢でクラシックに取り組む姿を目の当たりにして、
恥ずかしさというか気後れのようなものを感じてしまっているのですが、
こういうのは、たぶん波があって、
遊んでたい時もあるかなと自己正当化しています(汗)


ところで、GW最終日の竜巻は、びっくりしましたね。
つくば市北条というところは、家から車で30分ぐらいのところで、
古代遺跡があったり、バドで時々使う体育館があったりで、
よく遊びに行っていたところでした。

以前にも、こちらの記事で紹介した場所です。
素敵なところでしょう?
つい最近も、バドの帰りにみんなで古民家カフェで食事をしたばかりでしたので、
どうなっているかな?と心配です。
一日も早く、復旧が進むことを願っています。

また、明日も天気が荒れるみたいですが、
こんなことが起こらないことを祈っています。
23 : 47 : 07 | 日常 | コメント(4) | page top↑
♪ コード弾き散らかし
2012 / 05 / 01 ( Tue )
簡単なコード分散化のコツがつかめてきたので、
とにかく、楽しくて楽しくて・・・

今日は、初見を含めて、いろいろな曲を
分散コードのコード弾きで弾き散らかしてました。

楽譜を読むのが右手だけですむと、
読譜が遅い僕でさえも、初見がかなり楽になります。
もちろん、頻繁に間違えたり、つっかえたりはしますが・・・

昔、エレクトーン独学時代に弾きまくっていた
中学校の時の歌集も見つかって、
学校で歌ったような懐かしい曲もたくさん(笑)

今日、弾いた曲。

秋桜 (さだまさし)
未来へ (Kiroro)
You Raise Me Up
乾杯 (長渕 剛)
川の流れのように (美空ひばり)
昴 (谷村新司)
鳥の詩
遠くへ行きたい
小さな木の実
春なのに (柏原芳恵)
今日の日はさようなら


他にも、いろいろ弾きたかったけど、時間切れ(笑)
明日、明後日出勤して、休みに入ったら、また弾くぞ!

ちなみに、ノクターンもちゃんと練習してますから(笑)

テーマ:ピアノ - ジャンル:音楽

00 : 29 : 07 | コード弾きへの道 | コメント(0) | page top↑
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