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今年も横浜へ
2010 / 04 / 28 ( Wed )
今年も昨年と同様、仕事で横浜の展示会へ行く機会があり、
その後、piyoneと夕方~夜のデートを楽しんできました!

僕が仕事の間、piyoneは元町をぶらぶらとショッピング。
仕事が終わって、待ち合わせの赤レンガへ向かう途中、
「頭が痛くて、赤レンガで休憩中!」というメールが!

駆けつけたところ、想像していたよりひどそう。
低血糖状態かもしれないということだったので、
カフェスペースに移動して、甘いドリンクを調達。
それでも、全然よくならないということで、
ついに、スタッフ用の仮眠室にお世話になりました。

前回は、夕食前というのに、スイーツ・ビュッフェを注文していた
という経緯があり、今回は釘をさしていたのがあだになって、
何も食べずにがんばりすぎたみたいなんです(笑)
気の毒なことをしました。。。

しばらく休憩して、すっかりよくなったようで、
その後は、今までのことがまるで嘘のように食欲が回復!(笑
ガレットを美味しそうに食べてました!

赤レンガ倉庫の前では、春のイベントが行われていて、
こんな感じに花でいっぱい。
yokohama1004-01.jpg

yokohama1004-02.jpg

以前から一度行ってみたかったのが、大桟橋の上。
写真の向こうに見える埠頭です。
テレビドラマでも時々、使われますよね。
yokohama1004-03.jpg

大桟橋へ向かう途中、象の鼻パークを通ります。
この公園は、昨年のY150のときに出来ました。
yokohama1004-04.jpg

そして、大桟橋の上に到着。
yokohama1004-05.jpg

いや~、すばらしい眺めです!
みなとみらいの有名どころがすべて一望できますね!
yokohama1004-06.jpg

もちろん、ベイブリッジも見えます。
写真はありませんが、山下公園や氷川丸も見えますよ。
yokohama1004-07.jpg

そして、夕方だったので、夕景から夜景へと、
景色の色合いが時々刻々と変わっていく様が見事!
ここは夕方頃に来るのが本当におすすめ!
yokohama1004-08.jpg

yokohama1004-09.jpg

あまりにきれいな景色だったので、思わず、ハイテンションになってしまって、
少々疲れてしまいました(笑

夕食は、ワールドポータースの5階にあるインドネシア料理店「SuraBaya」へ。
インドネシア料理は初めてだったのですが、アジアンな雰囲気が素敵なお店。
ナシゴレンや揚げ春巻きやカレーなど、ほんとにおいしかったです。
とりあえず、人気No.1~No.3まで全部食べました(笑
「サテ」という串焼きは、次回食べてみたいです。
店内の装飾品は、遅々として進まない寝室のアジアン化計画にも
大いに参考になりそう。。。

帰りに「汽車道」を歩いていたら、見知らぬビルを発見!
こんな建物あったっけ?
「TOCみなとみらい」と書かれています。
yokohama1004-10.jpg

後で調べてみたら、Colette Mare(コレット・マーレ)(注:リンク先、音が出ます)
というショッピングモールがいつの間にか、出来てたみたいですね。
次回は、足を運んでみたいです。
それにしても、横浜はいったい何個、ショッピングモールがあるんでしょう。
行くところがたくさんありすぎて、うらやましい限り!!!
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テーマ:ちょっとおでかけ - ジャンル:旅行

00 : 02 : 48 | おでかけ | コメント(6) | page top↑
♪ シューベルト即興曲 op.90-4 (4)
2010 / 04 / 26 ( Mon )
ほぼ一年ぶりぐらいに「録音」なるものをしてみました。

あまりのひどさに唖然!
これをスタート地点にという記録的意義で昨晩アップしたのですが、
今日聴き直したら、これは明らかに公害以外の何物でもないということで、
あわてて削除しました(汗
昨日は血迷ったとしか思えませんね。。。酔っ払ってたんでしょうか。

聴いてしまわれた方はスミマセンでした。。。
カウンターが自分を含めて、「1」だったので、たぶんセーフだと思いますが^^;;

しかし・・・
今まで練習会などで何度も披露してしまっているという驚愕の事実!
これだけは削除することはできません(爆

それにしても、たまに録音してみるというのはいいものですね。
これから、なるべく頻繁に録音して聴きながら練習することにしたいです。

この曲は思い入れがあるので、基本に戻って、
一から「ゆっくり練習」をしっかりやって、
いつかはきちんと弾けるようにしたいと思います!
と言いつつ、もう一曲、シューベルトの即興曲を始めてしまいましたが。。。

追記:
そういえば、久しぶりにピアノルームをのぞいたら、
いつのまにか何曲かリンク切れしてましたので、修正しておきました。
こんな下手な演奏がリンク切れしていても、何の実害もないんですけどね^^;

テーマ:ピアノ - ジャンル:音楽

23 : 58 : 57 | ピアノ練習記(シューベルト) | コメント(2) | page top↑
加湿器の運転
2010 / 04 / 21 ( Wed )
寒くなったり暑くなったり、異常気象が続きますね。
全館空調も入れたり切ったりの毎日ですが、
加湿器が片づけられないのが困りものです。

暖房を入れている日はそこそこ乾燥するので、
加湿器は手放せませんが、暖かい日は加湿は不要。

問題は加湿器の中に入っているこのフィルター。
kashitsukifilter01.jpg

放置しておくと、雑菌が繁殖してしまうので、
使わないときは乾燥させておく必要があるんです。
何日間か止めるときは、その都度、
水を抜いて、一時間ほど暖めて乾燥させる乾燥モードで
フィルターを完全に乾燥させています。

もうこのまま片づけられるかなと思ったら、
また寒くなって、加湿器を再運転するという状況の繰り返し。
さすがに、もう大丈夫でしょうか?

テーマ:家作り日記 - ジャンル:ライフ

00 : 00 : 16 | 気密・断熱・冷暖房・加湿 | コメント(4) | page top↑
桜と雪
2010 / 04 / 20 ( Tue )
先日、季節外れの雪が降りましたね。

桜と雪が同時観測できるなんて、きわめて珍しいと思うので、
朝起きて、寝ぼけ眼で撮影しました!
(写りがよくなくて、スミマセン)
sakurasnow01.jpg

庭も真っ白に。
既に咲いている花たちも、さぞかし、びっくりしたことでしょう。
sakurasnow02.jpg

異常気象ですね。
雪で倒れてしまっていた水仙も、次の日にはしっかりと立ち直ってました。
植物の生命力はすごいですね!
23 : 36 : 08 | 日常 | コメント(2) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (10) 周波数比と美しい響きについての考察 (7)
2010 / 04 / 19 ( Mon )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


長々と連載してきました「周波数比と美しい響きについての考察」ですが、
そろそろ、「うなり」の計算にも飽きてきましたので、最後にします(笑

最後に、平均律の場合の倍音のうなりを計算してみました。

純正律では、周波数比がなるべく簡単な整数比になるように調律されますが、
平均律では、半音階の周波数比が等間隔になるように調律されます。

オクターブの周波数比が1:2というのは変えられないので、
(変えたら、同じ音ではなくなってしまいます)
半音12個分でちょうど2倍の周波数比になるように決められます。

半音の間の周波数比を1:x とすると、
xを12回掛け合わせると2になるということから、
heikinritsueq01.jpg
つまり、
heikinritsueq02.jpg
これを満たすような数x は、
heikinritsueq03.jpg
と書いて、「2の12乗根」と呼ばれます。

2の12乗根は無理数なので、どんな複雑な整数を持ってきても、
整数比であらわすことができません。
というわけで、今までの議論でのp:q のp とq が無限に大きい場合に相当し、
倍音が無限に続くとすれば、無数のうなりで埋め尽くされることになります。

それでは、今回もA音とその完全5度上のE音の間の
倍音のうなりを計算したいと思います。

完全5度の間には、半音は7個分あるので、
A音の周波数を440Hzとすると、E音の周波数は、
heikinritsueq04.jpg
となります。

計算結果はこちら。
今回も可聴限界を考えて、倍音をN=16(4オクターブ)に制限したので、
無数のうなりは現れませんが、うなりが生じていることが分かりますね。
fbeatcomparison02.jpg

一方、純正律の場合は、以前にも掲載した通り、うなりは現れません。
(0Hzはうなりではありません)
fbeatcomparison01.jpg

今まで長々と連載してきましたが、この2枚のグラフを見比べるだけで十分ですね!

ただ、Wikipediaなどを読む限り、「周波数比と音の美しさの関係」については、
実際のところ、完全には解明されていないようです。
うなりがあっても、それが逆に音に味を与えるという要素もありますしね。

というわけで、うなりの話はこれぐらいにして、ようやく、次回から本題の
「純正律から平均律が近似できる理由」の考察に挑みたいと思います。

テーマ:ピアノ - ジャンル:音楽

23 : 43 : 20 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
円周率=3
2010 / 04 / 15 ( Thu )
円周率は厳密に3である!
(3.141592・・・なんかじゃなくて)
という見事な証明がアンサイクロペディアに載ってたので、
こちらで紹介させていただきます。

せっかくですので、数学の苦手な方にも分かるように、
なるべく分かりやすく説明してみたいと思います!
中学レベルの数学で理解できますので、気楽に読んでみてください。

まず、円周率は未知数なので、πとしましょう。

そして、πに3を足して、2で割った数をαとします。
つまり、
pi3proof01.jpg
πは未知数なので、αも当然、この時点では未知数です。

等式の両辺に同じ数をかけても、等式は成立しますから、
両辺に2をかけます。
pi3proof02.jpg
さらに、両辺にπ-3をかけましょう。
pi3proof03.jpg
括弧を外すと、
pi3proof04.jpg
となりますね。

ここで、右辺の変形がちょっと難しいでしょうか。。。
(π+3)(π-3)
=π(π-3)+3(π-3)
=π2-3π+3π-9
=π2-9
というように、ひとつひとつ丁寧にやっていけばOKですね。

もちろん、
(a+b)(a-b)=a2 - b2
という公式を知っていれば、すぐに計算できます。

そして、移項して、πの入っている項を右辺に、入っていない項を左辺に移動します。
左辺から右辺、右辺から左辺に持っていくときは、
符号を反転するんでしたね。
(例えば、右辺の-9は左辺に移す時、+9になります)
pi3proof05.jpg
等式の両辺に同じ数を足しても、等式は成り立ちますね。
そこで、両辺にα2を足します。
pi3proof06.jpg
ここからが一番難しいところでしょうか。
両辺ともに因数分解によって、このように変形できます。
pi3proof07.jpg
(a-b)2 = a2 -2ab+b2
という公式を覚えていれば、簡単なのですが、
公式を知らなくても、下の式から地道に計算すれば、
上の式と等しいことが分かります。

たとえば、右辺をやりましょう。
(α-π)2
=(α-π)(α-π)
=α(α-π)-π(α-π)
=α2-απ-πα+π2
=α2-πα-πα+π2
=α2-2πα+π2
という風に、上の式の右辺と一致します。
左辺についても、同様に一致することがわかります。

そして、2乗して等しいということは、中身が等しいということですから、
pi3proof08.jpg
となりますね。

最後に、両辺からαを引き算すると、αが消えて、
-3 = -π

πと3をそれぞれ逆の辺に移項すると、
見事に・・・
pi3proof09.jpg
という結果になります!

つまり、未知の円周率は、厳密に3であるということが証明できました!
π=3.0000・・・ってことが分かったので、これから計算するのが楽になりますね。
23 : 24 : 56 | 数学(高校+α) | コメント(6) | page top↑
お花見
2010 / 04 / 12 ( Mon )
最近、いろいろなブログでお花見の記事を拝見しますが、
僕たちも遅ればせながら、お花見をしてきました!

住んでいる街区の中に、こんなすばらしい公園があるんですよ!(徒歩一分^^)
ohanami01.jpg

今まで、あんまり利用したことがなかったのですが、
せっかく近いので、行ってみることに。
ohanami02.jpg

桜も満開です!
ohanami03.jpg

とても、くつろげます!
こんなに近いところに公園があるんだから、もっと利用すればよかったなあ。。。
花粉症シーズンが終わったら、週末ごとに通ってもいいかも。
自然の空気を吸いながら、読書もいいですね!

こちらは少し歩いたところにある空き地の桜。
見事でした!
ohanami04.jpg

そして、こちらは、家の前の森にある桜。
家の中からも楽しめるんですよ。
morinosakura01.jpg

というわけで、今週末は、桜を満喫できました!
00 : 11 : 45 | 日常 | コメント(2) | page top↑
♪ 音空間の認識
2010 / 04 / 11 ( Sun )
前回の記事で書いた「音空間の認識」について。
もう少し掘り下げてみようかなと思います。

前回の記事では、
地図でたとえて言えば、
上の「鍵盤感覚」はここから何キロ先に行くとかいう相対的距離感で、
この「絶対位置の認識」は自分が今、どこの住所にいるかという絶対的感覚。


と書いたのですが、思っていることをもう少し正確に表現すると、
「鍵盤感覚」の方は、物理上の位置。
「音空間の認識」の方は、論理上の位置。

鍵盤感覚は、実際に鍵盤上で何センチぐらい離れているかという
物理的な距離感であるのに対して、
音空間の認識の方は、音階上で何度離れているかとか、
調の主音に対して第何音になっているかという論理上の認識。

おそらく、上級者の方はこの2つが感覚的に結びついていて、
この音とこの音は何度離れていて、この調の属音になっているといったような
それぞれの音の論理上の位置がぱっと頭の中で展開できて、
さらに、鍵盤の物理的な距離感が密接に結びついているため、
スムーズに演奏できるのではないかと思います。
あくまでも、素人の想像ですけど・・・^^;

鍵盤感覚の方は、ひたすらツェルニーなどでの練習あるのみだと思うのですが、
音空間の認識は、和声理論の勉強が大いに意味があるのかなと思っています。

テーマ:ピアノ - ジャンル:音楽

23 : 49 : 56 | 視奏への道 | コメント(0) | page top↑
語尾のer
2010 / 04 / 10 ( Sat )
借金(債務)のある人たちのことを「サイマー」とか、
経済評論家の勝間和代さんの信奉者のことを「カツマー」とかは
わかるのですが・・・

有名人の墓をめぐる人たちのことを
「墓マイラー」と称するのだけは、何度聞いても笑えます!

でも、考えてみたら、
英語では「動詞+er」か「名詞+ist」が原則だから、他のは全部間違いで、
「墓マイラー」だけが正しいと言えるのではないでしょうか?
「墓まいる」は動詞ですから。
19 : 22 : 21 | 日常 | コメント(6) | page top↑
♪ 視奏への道
2010 / 04 / 10 ( Sat )
このカテゴリー、いつか始めようと思って、ずっと以前から作っていました。

「視奏への道」と言っても、「初見視奏」のことではありません!
そんな高望みはしてないですよ。
何度も練習した曲を楽譜を見ながら、演奏することです。

主にピアノ再開組の方は、ごく普通になさっていることですが、
大人から始めた人には、これが結構難しいんです!
中には、出来る方もいらっしゃいますが・・・

以前は、バイエルでもツェルニーでもなんでもかんでも、
完全にまる覚えして弾いてました。
でも、さすがにずっとこれを続けるのもつらいので、
最近は、中途半端に覚えた状態で楽譜を見ながら
思い出して弾いているという感じです。
これでは、暗譜も視奏も中途半端なので、間違いも多いんですよね。

というわけで、
視奏に必要なものは何かというのを今まであれこれ考えてきました。
(出来る人はこんな難しいことは考えなくても、
自然に出来ているとは思いますが・・・)

瞬時読譜力
これは一番決定的ですよね。
でも、残念ながらこれを身につけるのは、どうしたらいいか今もって分かりません。
(特に、へ音記号が破滅的^^)
たぶん、数打ち当たるしかないでしょうね。
ひたすら新しい曲を弾きまくるしかないでしょうか。

鍵盤感覚
楽譜を見なければならない分、鍵盤を見れないので、
視覚に頼らずに鍵盤を移動できないといけないですよね。

音の絶対位置の認識
これが最近、必要だと気付いたことです。
自分が何の音を弾いているかが分かってないとだめだと思うんです。
おそらく、出来る人は、「音空間」をきちんと認識していて、
自分がその空間上のどの位置にいるかと
次の音がそこからどれぐらい離れたところにあるかが
把握できているのだと思います。

地図でたとえて言えば、
上の「鍵盤感覚」はここから何キロ先に行くとかいう相対的距離感で、
この「絶対位置の認識」は自分が今、どこの住所にいるかという絶対的感覚。

どっちもないので、つらいはずだと思いますね(笑
このシリーズ、また続けていきたいと思います。

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00 : 26 : 14 | 視奏への道 | コメント(4) | page top↑
♪ 風のように (3)
2010 / 04 / 09 ( Fri )
コソ練から昇格して、初レッスン。

とりあえず、比較的スムーズには弾けるようになって、
あとは自分ではどうしていいか分からない状態でしたので、
レッスンしてもらえるとはいいものですね!
問題点がきちんと整理されます。

右手の旋律は・・・
上がっていくところは自然なクレッシェンド、
下がっていくところは自然なデクレッシェンド

つまり自然な呼吸が出来ていない。
全部、一本調子になっているようです。
超基本事項ですが、できてないようですね・・・orz

左手の分散和音の伴奏は・・・
初めのベース音をしっかり鳴らして、あとは弱く!
全部の音をバリバリ弾いてしまっているようです。

それから、指使いが先生ご推奨とは、だいぶ違ってました。
ま、「どれが正しい」ということはないそうですが・・・
今から直すのは大変だろうから、直さなくてもよいと言われましたが、
一応、今後のために知っておきたいので、教えていただきました。

この分散和音は、52121で弾いてましたが、
52132が先生ご推奨。
確かに、52121は指くぐりが複雑だし、
最後の1が強く当たっちゃうのもよくないのかな。
chordcolor_kazenoyouni01.jpg

そして、以前のこの記事で悩んでいた箇所。
kazenoyouni_01.jpg
僕は、52121212で弾いてましたが、
ここのご推奨は、NaGISAさんがコメントして下さった通りの
52132312でした!

レッスンしてもらえると、勉強になります!
それにしても、いつも知らない曲をさらっと初見で
弾いて下さるのには、驚きますね。。。

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23 : 53 : 09 | ピアノ練習記(その他) | コメント(0) | page top↑
クリスマスフォトコンテスト賞状
2010 / 04 / 06 ( Tue )
連続でミルクリークネタ。

思いがけず、銅賞に輝いてしまったクリスマスフォトコンテストですが・・・

ちゃんと、賞状が届きました!
(今頃・・・ではなく、実はだいぶ前に届いてました)

xmasphotocontest_shoujou01.jpg

ミルクリークだけに、英語の賞状が似合いそうな気もするのですが、
こてこての日本風!^^
それでも、もちろん、うれしいです。

そして、ミルクリークロゴ入りのクオカードも。
xmasphotocontest_shoujou02.jpg

図柄がかわいいので、もったいなくて、使えませんね(笑

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23 : 35 : 20 | デコレーション | コメント(2) | page top↑
営業さん戻る
2010 / 04 / 06 ( Tue )
久しぶりのミルクリークネタ。

我が家を担当して下さった営業のTさん
しばらく、別の展示場の方に赴任されていたのですが、
このたび、また、つくば展示場に帰任されたということで、
ごあいさつにご訪問下さいました!

久しぶりの再会、うれしいですね!
家づくりを始めてからの長いお付き合いです。

これまで、ユーザー訪問などで、展示場の他の営業さんとも
だいぶ仲良くなりました。
今度は、Tさんが一緒に来られることもありそうです。

これからも、我が家をあたたかく見守ってくださいね!

追記:
素敵なおみやげも頂戴しました。
シルバニアファミリーのクリアファイルにキーホルダー!
ありがとうございます。
sylvanianfamilies01.jpg

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23 : 22 : 57 | 入居後 | コメント(2) | page top↑
♪ ポピュラーレッスン開始
2010 / 04 / 03 ( Sat )
これまで、レッスンは基本的にクラシックで行こうと思ってきたのですが、
最近のポピュラー熱が冷めやらず、
コソ練で弾いていても、やはりちゃんとレッスンを受けたいな
と、日増しに思うようになってきました。

とはいっても、技術の基本はクラシックだと思うので、
クラシック曲のレッスンは捨てがたいんです。
そこで、クラシックとポピュラーの2曲並行レッスン
お願いすることにしました!
もちろん、ツェルニーもプレインベンションもやめません。

ちょっと負担は大きくなりますが、同時に練習に取り組むというだけで、
限られたレッスン時間なので、
週ごとにどちらか一方を見ていただくことになりそうです。

記念すべきポピュラー一曲目は・・・
(といっても、今までも「朔と亜紀」「永遠にともに」を見ていただいているのですが)

S.E.N.S.の「風のように」で行こうと思います。
そうです。初のコソ練からの昇格になります!

この曲は、ある程度、スムーズに弾けるようにはなってきているので、
あとは弾き方を教えていただくのが楽しみです。
先生曰く、ポピュラーは何でもアリなんだそうですが・・・(笑
とはいっても、上手く弾くためには、ご指導が必要ですね。

ポピュラーは、他にも弾きたい曲が山ほど。
主に、ドラマ・サウンズが多いんですが・・・
どんな曲弾きたいかは、しばらく内緒にしておきます^^

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00 : 39 : 21 | ポピュラー | コメント(4) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (9) 周波数比と美しい響きについての考察 (6)
2010 / 04 / 03 ( Sat )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


やり残した整数論の証明を行っておきます。
本題にはほとんど関係ありませんので、数学嫌いな方はスルーしてくださいね。
このネタも少し疲れてきたので、さらっとすませます(笑

このままだとちょっと証明しにくいので、少し式を変形。
うなりの式は、
harmonicbeateq04.jpg(1)
でしたが、絶対値が面倒なので、±をつけて、絶対値を除去。
harmonicbeateq12.jpg(2)
かっこを外すと、
harmonicbeateq13.jpg(3)
そして、m、nの前に±がついているので、
m、nの範囲を正の整数から負を含めたすべての整数に拡張して、
harmonicbeateq14.jpg(4)
と表せます。
ここで、
harmonicbeateq15.jpg(5)
で表される整数NがN=0、±1、2、3、・・・のようにすべての整数を取りうる
ということを証明します。
このことが証明できれば、うなりの最低周波数がN=1の時のf0となることが言えます。

式を変形したことで、2つの弊害が考えられます。
①負の整数が現れる
m、nの符号を反転させることによって、絶対値が同じ正の整数が必ず存在します。
正負両方に同じ整数が組になって現れるだけなので、問題はありません。

②和の周波数が含まれる
うなりは差の周波数ですが、変形によって和の周波数も含まれてしまいます。
和の周波数は必ず、元の音の周波数よりも大きい周波数になりますが、
興味のあるのは低い周波数領域なので、問題ありません。

というわけで、式の変形は問題ないことが分かりましたので、
証明に移ります。

互いに素な2つの整数p、q に対して、
harmonicbeateq15.jpg(5)
で表される整数Nは、すべての整数をとりうる
ことを証明します。

そのために、まず、
2つの整数p、q に対して、
harmonicbeateq15.jpg(5)
で表される整数Nは、p、q の最大公約数のすべての倍数を取りうる
ことを証明します。
これが証明されれば、互いに素な場合は、最大公約数が1ですから、
1のすべての倍数、つまり、すべての整数を取りうることが証明されたことになります。

p、q の最大公約数をk として、次の2段階で証明します。
①まず、整数Nは必ず、kの倍数になっていることを証明。
②次に、kの倍数すべてを取りうること(穴がないこと)を証明。

①の証明
p、q の最大公約数をkとすると、ある整数p'、q' に対して、
harmonicbeateq16.jpg(6)
と表せる。
harmonicbeateq17.jpg(7)
となり、mp'+nq' は整数であるから、Nは必ず、kの倍数である。

②の証明
整数Nの集合のうち、最小の正の整数をN0(>0)とする。
0はNの形で書き表される数の一つであるから、
ある整数m0 、n0 に対して、
harmonicbeateq18.jpg(8)
と書き表せる。

これから、Nの集合のすべての整数がN0の倍数になっていることを示す。
NをN0で割ったときの商をQ、余りをRとすると、
harmonicbeateq19.jpg(9)
余りR が割る数N0 よりも大きくなることはないので、
harmonicbeateq20.jpg(10)
の大小関係がある。
(8)式を(9)式に代入。
harmonicbeateq21.jpg(11)
変形すると、
harmonicbeateq22.jpg(12)
となり、m-m0Q、n-n0Q も整数であるから、
Rも(5)式の形で表される整数Nの一つであることが分かる。

しかし、(10)の大小関係があるので、Rが正の数(R>0)であるとすると、
0がNのうち、最小の正の整数であるという仮定に反する。
ゆえに、R=0(余りが0)でなければならない。

つまり、すべてのNはN0で割り切れることになり、
すべてのNはN0の倍数であることが示された。
言い換えれば、0は、すべてのNの公約数である。

ここで、整数p、q は、
harmonicbeateq23.jpg(13)
と書けるから、p、q 自体もNの形であらわせる整数のうちに含まれる。
よって、0はp、q の公約数でもある。(結論A)

一方、上の①の証明の結論より、すべてのNは、p、q の最大公約数kの倍数であるから、
当然、Nのうちの一つである0は、p、q の最大公約数kの倍数である。(結論B)
結論Aと結論Bより、
0は、p、q の最大公約数kそのものでなければならない。
ゆえに、
harmonicbeateq24.jpg(14)
となる。

これより、(8)は、
harmonicbeateq25.jpg(15)
となり、すべての整数sに対して、
harmonicbeateq26.jpg(16)
が成立することから、
すべてのkの倍数もNの形であらわされる整数に含まれる。

これで、めでたく、
Nは、すべてのkの倍数を取りうることが証明できました。

p、q が互いに素ならば、k=1なので、
harmonicbeateq27.jpg(17)
というように、Nはすべての整数を取りえます。

和の形では、必ず、Nはp、q以上になるため、
p、q よりも小さい範囲では、必ず差となって現れるはずなので、
harmonicbeateq28.jpg(18)
が言えます。

そこで、うなりの周波数は、
harmonicbeateq29.jpg(19)
となり、最低周波数はf0であることが証明されました。

以上で、証明終了!
今回は、疲れて見直す気力がありません。
間違ってたら、どなたか教えてくださいね!

参考にしたサイト:
和歌山大学森杉先生の講義資料

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