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∫ 電磁誘導のガリレイ不変性 (2) 余談
2013 / 04 / 19 ( Fri )
前記事の余談です。

高校物理では、定番のこの問題!

induction-lorentz-invariance02.jpg

図のように、導線の上に置かれた導体棒が一定の速さで動いている時に、
発生する誘導起電力を求めさせる問題ですね。

この問題には、解き方が2種類あります。
(注:高校ではMKSA単位系を用いるので、以下では、係数は k3=1, α=1 とします)

磁束の変化から求める方法

導体棒が動くことによって、回路の面積が増加すると考えて、
磁束の変化から求めます。

V = dΦ/dt = B dS/dt = Bvl

ローレンツ力から求める方法

導体棒に存在する電子に働くローレンツ力を電場とみなすと、

E = F/e = eBv/e = Bv

起電力は、電場に距離を乗じたものだから、

V = El = Bvl

というわけで、2つの方法で見事に同一の答が得られます!


こんなに全然違う解き方をしているのに、
なぜ、最終的に答が一致するのか?


ということが、高校時代は、不思議でたまらなかったんですよね!

今にして思えば、前記事で述べた相対性原理の要請から来る係数の関係
k3 = 1/α
のために一致するということだったわけです。

高校物理では、わりと奥深いことが、
意外にさらっとスルーされてたりするんですよね(笑)
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00 : 15 : 44 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 電磁誘導のガリレイ不変性
2013 / 04 / 16 ( Tue )
前回、単位系に依存しないマックスウェル方程式を導出しましたが、
これから、係数の依存関係を求めていきます。

一つ目は、電磁誘導のガリレイ不変性から。

厳密には、マックスウェル方程式は相対論的なローレンツ不変性が成立しますが、
Jacksonにならって、ここでは、v/c << 1 の範囲で、
近似的に非相対論的なガリレイ不変性で考えて、係数の依存関係を求めます。

考えたいのは、このような話。

induction-lorentz-invariance.jpg

電磁誘導を考えた時、磁石の方を動かしても、回路の方を動かしても、
同じだけの誘導起電力が発生します。

高校物理では、回路の内部を貫く磁束はどちらも同様に変化するから
同じ現象という扱いで、さらっと説明されていると思いますが、
これは実は、

「回路が静止した座標系(左図)と磁石が静止した座標系(右図)の
どちらの系から見ても、電磁気学の法則は不変である」


という相対性原理を前提としている話。

というわけで、相対性原理(ガリレイ不変性)を前提すると、
係数にどのような依存関係が出てくるかを見ていきます。

induction-gallilean-invariance.jpg


図のように、回路 C が実験室系に対して、速度 v で動いている
状況を考える。

実験室系から見た場合も、回路とともに動く座標系から見た場合も、
以下の法則が成立する。

C E・ds = - k3 (d/dt)∫S B・dS   (1)

実験室系で見た場合、
磁束の変化は、実際に各点の磁場が変化していること
(∂B/∂tによる効果)に起因するので、

C E・ds = - k3S (∂B/∂t)・dS   (2)

一方、回路とともに動く系で見た場合、
磁束の変化は、回路Cが動くことによる位置の変化による磁場の変化
も考慮しなければならない。

回路内部の磁場のトータルな変化は、
もともとの各点の磁場の変化に加えて、回路が動くことによる変化が加わる。

dB/dt = ∂B/∂t + (v・∇)B   (3)

ベクトル解析の公式
×(a×b) = a(∇・b) - b(∇・a) + (b・∇)a - (a・∇)b   (4)
を用いて、
×(B×v) = (v)B - v(B)   (5)
となるから、(v は一定)

dB/dt = ∂B/∂t + ×(B×v)   (6)

ここで、マックスウェル方程式から ∇・B = 0 を用いた。

これを最初の式(1)に代入して、ストークスの定理を用いて整理すると、

C (E' - k3 v×B)・ds = - k3S (∂B/∂t)・dS   (7)

ただし、E' は、回路とともに動く系から見た誘導電場で、
実験室系から見た誘導電場 E と区別するために、' をつけた。

(2)と(7)を比較すると、

E = E' - k3 v×B

すなわち、

E' = E + k3 v×B   (8)

つまり、実験室系から見た場合には、
誘導電場に加えて、k3 v×B という追加項が付加されることが分かる。

これは、実際に回路が存在した場合に、
電荷が動くことによるローレンツ力と解釈することができるので、

以前の記事に登場したローレンツ力の式
E = F/q = (1/α) v × B    (9)

と比較すると、

k3 = 1/α   (10)

という関係式が得られる。

これで、係数の依存関係が一つ求められました。


参考文献
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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23 : 47 : 11 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(2) | page top↑
∫ 単位系に依存しないマックスウェル方程式 (1)
2013 / 04 / 03 ( Wed )
古典電磁気学を復習していた当初の目的であった
単位系に依存しないマックスウェル方程式
がようやく導出できました!

単位系に依存しないというのは言いすぎかもしれませんが、
有名な単位系には、ほぼ対応してると思います。

これまでに導出してきた方程式を並べて、完成!

∇・E = 4πk1ρ    (1)
∇×B - (k2α/k1)∂E/∂t = 4πk2αj     (2)
∇・B = 0   (3) 
∇×E + k3B/∂t = 0    (4)

と言っても、Jacksonの巻末Appendixに掲載されている式
そのものなんですけどね。
自分で理解しながら、導出したという意義が僕には大きいってことで(笑)

式の順番は、導出した順と多少違うところがあるかもしれませんが、
この順番が、相対論に行った時に分かりやすい気がします。
というのは、(1)と(2)、(3)と(4)がペアになって、それぞれ一つの式に統合されるから。

上の式で完成と書きましたが、実は、
ここで登場した4つの係数 k1、k2、k3、αは独立ではありません。
この後、係数の依存関係を求めていき、
独立係数2つにしたバージョンを作りたいなあと思っています。


参考文献
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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18 : 57 : 02 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 電磁誘導
2013 / 04 / 01 ( Mon )
古典電磁気学の続き。
今回は、電磁誘導について。

ファラデーの法則
閉回路に働く誘導起電力 V は、閉回路を貫く磁束Φの時間変化に比例する。
V = - k3 dΦ/dt

閉回路を C として、内部の面を S とする。
誘導起電力 V を誘導電場 E で表すと、
V = ∫C E・ds

磁束Φを磁場(磁束密度)Bで表すと、
Φ = ∫S B・dS

であるから、ファラデーの法則は、
C E・ds = - k3 (d/dt)∫S B・dS

と書ける。
左辺にストークスの定理を適用して、
右辺は時間微分を積分の中に入れて、まとめると、
S [ ∇×E + k3B/∂t ]・dS = 0

任意の閉回路に対して成立するから、
∇×E + k3B/∂t = 0

これで、4つのマックスウェル方程式が出そろいました!
次回、4つの式をまとめた後、いくつかの係数の関係を求めます。


参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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00 : 46 : 21 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ マックスウェルの変位電流
2013 / 02 / 28 ( Thu )
古典電磁気学の続き。

前回得られた静磁場の回転(rot)の式からスタート。

×B(x) = 4πk2αj(x)   (1)

この両辺の発散(div)を取ると、左辺は0になり、

0 = 4πk2α ∇・j   (2)

これは、前回の導出過程で、
定常電流 ∇・j = 0 を仮定していたので、当然の結果である。

しかし、定常電流でない場合には、

電荷保存則
∇・j + ∂ρ/∂t = 0   (3)

を満たさなければならないので、(2)は、

0 = 4πk2α { ∇・j + ∂ρ/∂t }    (4)

というように修正される必要がある。

ここで、以前に静電場の記事で得られた最終結果

∇・E = 4πk1ρ  (5)

を思い出すと、(4)は、

0 = 4πk2α ∇・{ j + (1/4πk1)∂E/∂t }    (6)

と書きなおされるので、もとの(1)式は、

×B(x) = 4πk2αj(x) + (k2α/k1)∂E(x)/∂t   (7)

と修正される。

この新たに追加された∂E/∂tの項は、マックスウェルの変位電流と呼ばれる。

あと3回ぐらいで、単位系に依存しないマックスウェル方程式が完成しそうかな。

参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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00 : 20 : 11 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 静磁場 (2)
2013 / 01 / 28 ( Mon )
静磁場の続き。

磁場の回転を計算する。
×B
= ××A
= (A) - ∇2A
  (1)

これに、前回得られたベクトルポテンシャルの表式
A(x) = k2α ∫ j(x')/r dx'  (2)
を代入して、計算する。

まず、第一項については、
・(j/r) = j(1/r) = -j∇'(1/r)  (3)

最後の変形では、
(1/r) = -∇'(1/r)  (4)
を用いた。
(∇' は x' に関する微分操作)

∇・A
= k2α ∫ ・(j/r) dx'
= - k2α ∫ j∇'(1/r) dx'
  (5)

部分積分を用いて、無限遠では、j=0と仮定すると、表面積分の項は消えて、
∇・A = - k2α ∫ (∇'j) / r dx'  (6)

う~ん、なんか、ここ、式としては理解できてますが、
どうも、あんまり腑に落ちません(汗)
「無限遠で j=0」ということがそんなに本質的なことなんだろうか???
それはさておき、次へ進みます。

ここで、定常電流(時間依存しない)のみを考えることにすると、
∇'・j = 0  (7)

となるから、第一項はゼロとなる。

第二項は・・・

2A = k2α ∫ j2(1/r) dx'  (8)

以前、証明したデルタ関数の公式
2 (1/r) = - 4π δ(r)  (9)

を用いると、最終的に、磁場の回転は、

×B(x) = 4πk2αj(x)   (10)

となる。

さらに電荷保存則を満たすために、
マックスウェルの変位電流の項が付け加えられることになるが、
それについては、次回。

参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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23 : 41 : 55 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 静磁場 (1)
2013 / 01 / 24 ( Thu )
電磁気学を復習しながら、
単位系に依存しないマックスウェル方程式を導くシリーズ。

前回は、「静電場」について書きましたが、
今回は、静磁場について。

静電場は、電荷と電荷の間に働く力を生み出すものであるが、
静磁場は、電流と電流の間に働く力を生み出す。

「場」の考え方では・・・

電流(密度) jj' の間に働く力を
(i) 場所 x' にある電流 j' が電流 j の場所 x に、磁場 B を作り、
(ii) 電流 j は、磁場 B から力 F を受ける。
と二段階に分けて考える。

(ii)は、アンペール力の式
F = (1/α) j × B  (1)
で表され、磁場の大きさの定義を与える。

MKSAでは、ここに比例定数がないので、違和感がありますが、
磁場の大きさ(単位)の決め方は自由なので、
ここに比例定数があってもいいんですね。

同様に、電場の定義においても、比例定数を入れて、
F = (1/β) q E  (2)
とすることもできそうですが、
こちらにも比例定数の自由度を持たせた単位系は、歴史的に存在しないのか、
こちらは、比例定数を暗黙のうちに、1としています。

話をアンペール力の式に戻して、
電荷 q が速度 v で運動している場合には、j = qv となるので、
ローレンツ力の式にも同様の比例定数がつきます。
F = (1/α) q v × B   (3)

(i)の方は、ビオ・サバールの法則で与えられる。
B(x) = k2α ∫ j(x') × r / r3 dx'  (4)
r = x - x'

比例定数の置き方がちょっと変に見えますが、
電流どうしに働く力を考えるた時、(4)を(1)に代入すると、
係数αが消えて、係数 k2のみになるようにしています。
(Jacksonの本の表記に倣っています)

ここで、
×( j/r ) = (1/r)×j = j×r / r3  (5)
は、xに関する微分で、x'には作用しないことに注意!)

を用いると、(4)は、

B(x) = ×A(x)  (6)

A(x) = k2α ∫ j(x')/r dx'  (7)

というように、磁場はベクトルポテンシャルを用いて表すことができる。

恒等式 ∇・∇×A = 0より、

∇・B(x) = 0  (8)

この式は、マックスウェル方程式の一つであり、
単磁荷(モノポール)が存在しないことを示す。

長くなってしまったので、静磁場は2回に分けることにして、続きは次回。

参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

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19 : 28 : 22 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 静電場
2012 / 12 / 05 ( Wed )
さっそく、電磁気学の復習をさらっと・・・

物質中はいろいろと難しいので、後回しにして、
すべて真空中で考えます。
仕事では物質中の方が重要なのですが(汗)、
とりあえず、相対論や場の量子論では真空中でよさそうなので・・・

今回は、静電場の話。

クーロンの法則
点電荷 q (位置x) が 点電荷 q'(位置x') から受ける静電気力は、
各電荷に比例して、距離 r の2乗に反比例する。
(向きまで考えて、単位ベクトル r/r を追加している)
F = k1 q q' r / r3   (r = x - x')

これを電磁気学では、遠隔作用ではなく、「場」を介した近接作用の立場で理解する。
つまり、電荷 q' が xの位置に電場 E を作り、電荷 q は電場 E から力を受けると考える。

F(x) = q E(x)
E = k1 q' r / r3


電荷が連続的な密度分布ρ(x')の場合に拡張して、
E(x) = k1 ∫dx' ρ(x') r / r3

以上が静電場の基本式。

(1/r) = - r / r3
を用いると、

E(x) = - φ(x)
φ(x) = k1 ∫dx' ρ(x') / r

と変形できる。

この計算において、∇の演算は観測点 x に対する微分操作であり、
x' に対しては作用しないので、ρ(x')などは定数として扱えることに注意。

恒等式 ∇×∇ φ = 0 より、
∇×E(x) = 0

ただし、あくまでも、静電場の場合。
後述する誘導電場が入ると、この限りではない。
後に、電磁誘導の効果を入れたものが、マックスウェル方程式の第3式になる。

ストークスの定理から、任意の閉曲線C(内部の面をSとする)に対して、
C E・ds = ∫S (∇×E)・dS = 0

となるから、任意の2点間で電場がなす仕事は経路に依存しない。
つまり、電場は、保存力場であり、
位置エネルギー的な意味でのポテンシャルが定義できる。
φは静電場 E を与える静電ポテンシャル

そして、こんな論理展開は普通ないとは思うのですが、
答を知っているので、最速で行くために、
いきなり、電場の発散を計算します。

∇・E(x) = - ∇・∇φ(x) = -∇2φ(x)
= - k1 ∫dx' ρ(x') ∇2(1/ r)


ラプラシアンの部分は、デルタ関数を用いて、以下のように書き直せる。
(証明はこちらの記事
2(1/ r) = - 4πδ(r)

これを用いて、
∇・E(x) = 4πk1ρ(x)

これがマックスウェル方程式の第1式。

以上で、静電場は終了。
次は、静磁場を復習します。


参考文献
砂川重信 岩波物理テキストシリーズ「電磁気学」
J.D.Jackson Classical Electrodynamics

追記(2013/1/21)
今後の記事との統一性のために、
div, grad, rot をすべて、を用いた表記に変更しました。

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18 : 53 : 57 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 電磁気学を復習中
2012 / 12 / 03 ( Mon )
現在、古典電磁気学を復習中!

事の経緯はというと・・・
JJサクライで場の量子論の初めのところを勉強していたら、
サクライ先生は、ヘヴィサイド・ローレンツ単位系を採用しているのですが、
僕は、マックスウェル方程式をMKSA単位系で暗記しているのです。

今回に限ったことではなくて、
電磁気学の単位系問題には、いつも悩まされるんですよね(><:

単位系が変わると、実際の単位が変わるだけならいいのですが、
電磁気学の場合、式の形自体が全然変わってくるので、
頭が混乱することこの上ないんですよ(涙)

今まで、CGS系などに遭遇しても、どこ吹く風で、
見て見ぬふりを通してきましたが(汗)、
やはり一度、単位系問題をしっかり克服しておきたいところ!

というわけで、電磁気を軽く復習しつつ、
すべての単位系に対応したマックスウェル方程式を導出してみようと思います。
(そういうものが存在するんです)

いろいろな文献を参考にしましたが、単位系については、
アメリカの標準的教科書であるジャクソンの「古典電磁気学」のAppendixが分かりやすそう!

この本、練習問題が極悪非道ということで、
アメリカの学生からはたいそう嫌われている教科書らしいのですが、
ちらっとつまみ読みした限りでは、なかなかの名著っぽい雰囲気ですね。
一度、しっかりと読んでみたいものです。

今回は、手早く進めたいので、以前に読んだ砂川先生の「電磁気学」で復習中です。
あらためて読んでみると、以前には理解できなかった面白い内容がたくさん詰まってますね。
電磁気学は奥が深いです・・・
まだまだ、表層しか理解できてないなあと感じますね。

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23 : 39 : 04 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 特殊相対論における共変と反変
2012 / 08 / 16 ( Thu )
量子力学の勉強もまだ途中ですが、同時並行で
J.J.サクライ先生の「Advanced Quantum Mechanics」(上級量子力学)を使って、
場の量子論の勉強を始めてしまいました。

まだ、ほんとに初めの方を読んでいるのですが、
相対論の説明のところで、こんな記述が書かれていました。

Note that we make no distinction between a covariant and contravariant vector,
nor do we define the metric tensor gμν.

These complications are absolutely unnecessary in the special theory of relativity.

(It is regrettable that many textbook writers do not emphasize this elementary point.)

つまり・・・
「特殊」相対論においては、
共変と反変の区別をする必要もないし、
計量テンソルも導入しなくてよい!


ということなんだそうです。。。

え!?そうなの!?と、驚きましたが、
数式を見ると、確かにそうなってるっぽいんです。

サクライ先生も最後に括弧書きで書かれているように、
確かに、このことに言及している記述はネット上探しても見つけられませんでした。

どうも、時間成分に虚時間表記 x4 = ict を採用していることも関係ありそう。

ただ、「共変と反変」のイメージが以前に書いたこの記事程度の表層的な理解しかなく、
もう少し「共変と反変」の概念をしっかり理解したいと思い、ネットで探してみたら、

放送大学長の岡部洋一先生のページ
http://www.moge.org/okabe/
「座標変換」の講義資料
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html

がとても分かりやすくて、だいぶ理解が深まりました。

詳細はまたいずれ、まとめてみたいのですが、
これ以降は、自分なりに考えた概略を述べます。
(間違ってるかもしれませんので、要注意)

基底には、「共変基底」「反変基底」があり、
共変基底で表した成分が「反変成分」
反変基底で表した成分が「共変成分」
(逆になる)

時間成分を虚時間表記にすると、
4次元距離は、

ds2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 - (c dt)2 = Σ(dxμ)2

計量テンソル

gμν = eμeν

で表すと、

ds2 = gμνdxμdxν

だから、
計量テンソルは、単位行列(クロネッカーのδ)に等しい

つまり、基底は正規直交基底となり、
共変基底と反変基底は完全に一致する!

そのため、共変成分と反変成分も一致するので、区別する必要がなくなる!

このことは、虚時間を用いると、

ローレンツ変換が4次元ユークリッド空間における虚数角回転と等しくなる

ことを考えても明らかですね。

というのは、ユークリッド空間では、基底が正規直交基底になっているから。
(これって、正しい?ちょっと自信ありません・・・)

追記(2012/8/17)
↑は、表現がおかしいですね。。。
ユークリッド空間でも、正規直交基底でない基底はいくらでも取れますから。
回転変換では、基底の長さと直交性は保存されるはずなので、
正規直交基底に取っておけば、変換後も常に正規直交性は保たれる。

というべきでしょうか。


また、詳細はいつかまとめてみたいと思います。

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19 : 21 : 08 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ マックスウェル方程式
2012 / 07 / 26 ( Thu )
砂川先生の「電磁気学」に載っていたマックスウェル方程式の読み方の解説を
簡単にまとめてみます。

まずは、電磁気学の基礎方程式であるマックスウェル方程式を書きだしてみましょう。

div D = ρ
div B = 0
rot H - ∂D/∂t = i
rot E + ∂B/∂t = 0


第1式は、静電場のガウスの法則。
第2式は、静磁場のガウスの法則で、単磁荷が存在しないことを表します。
第3式は、アンペールの法則に、マックスウェルの変位電流の項を追加したもの。
第4式は、ファラデーの誘導法則。

さて、この4つの方程式をどのように読むかという話です。

電荷密度ρと電流密度 i は、あらかじめ与えられた条件とすると、
その条件のもとで、電磁場がどのような分布になるかということを
この方程式は示していると考えられますね。

というわけで、未知数は電磁場を表す D, E, H, B の4つ。
すべてベクトル量で3成分あるから、未知数の数は合計12個。

一方、方程式の数を考えると、divがスカラーで、rotがベクトルなので、
方程式の数は合計8個。

これでは、方程式の数が少なすぎて、未知数が決まりませんね!

ところが、実は、DとE、BとHの間には媒質で決まる
D = εE、  B = μH
なる関係がありました。
媒質によっては、必ずしもこんな簡単な関係にはなりませんが、
いずれにしても、DとE、BとHの間には何らかの依存関係はあります。

そこで、その条件を使ってやると、未知数は E と B だけになり、
未知数の数は6個 に減ってしまいます。

すると、今度は、方程式の数の方が多くなり、
解がないのではないかという心配が出てきますね!


ところが、その心配はない!というのが今回の話のメインです。

まず、第3式は、両辺の div を取って、div rot = 0
電荷保存則  div i + ∂ρ/∂t = 0 を用いると、

∂/∂t ( div D - ρ ) = 0

と変形できます。

ここで、砂川先生の表現をそのまま引用すると、

宇宙開闢(かいびゃく)の始めの時刻 t=0 において、神様が初期条件として」(笑)

div D - ρ = 0  ( at t = 0 )

という初期値を選んだのです。

そうすると、上の微分方程式から時間微分はゼロだから、
未来永劫にわたって、この値はそのまま不変に保たれて、
マックスウェル方程式の第1式

div D = ρ

は、自動的に満足することになります!

同じように、今度は、第4式の div を取ると、

∂/∂t ( div B ) = 0

という式が導かれ、同じように神様が

div B = 0  ( at t = 0 )

という初期値を与えてやれば、未来永劫にわたって、
マックスウェル方程式の第2式

div B = 0

自動的に成立することになります!

というわけで、マックスウェル方程式は・・・

div の2つの式は、初期条件を要求しているだけで、
rot の2つの式が、電磁場のその後の時間発展を規定している


というように読むことができるようです。

時間発展を記述している rot の式は、合計6個、
未知数も E と B の各成分で、6個なので、
きちんと必要十分な条件になっているというわけです。

参考文献:砂川重信「電磁気学」(岩波物理テキストシリーズ)

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23 : 02 : 10 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 砂川重信「電磁気学」
2012 / 07 / 25 ( Wed )
ちょっと電磁気学のことを復習したくて、
昔勉強したこの砂川先生の「電磁気学」のテキストを読み返していたら、

電磁気学 (物理テキストシリーズ 4)
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マックスウェル方程式の説明の章が(わずか数ページですが)、
すごく分かりやすくて、今までもやもやしていたことがスッキリして、感動しました!
初めて、マックスウェル方程式の読み方が分かったという気がします。

この本は、大学受験に合格して上京する時に、
兄からもらって、新幹線の中で胸をときめかせながら読んでいた
記憶が今も鮮明に残っています。

嫌な受験勉強からようやく解放されて、
やっと専門的な物理の本が読める!
という嬉しさでいっぱいだったなあ。
(ほんとに物理が好きだったんですね)

この本は、数学の知識を含めて、導入のところから非常に丁寧に書いてあり、
まだ大学初年度の数学もほとんど知らない状態でも十分読んでいけます。
電磁気学の入門にはぴったりの名著です!

といっても、以前に紹介した駿台の山本先生の「物理入門」レベルが
理解できている必要はあると思いますが・・・

砂川先生は、「理論電磁気学」という本格的な教科書が有名で、
それもいつか、読んでみたいと思っています。

せっかくなので、このマックスウェル方程式の説明のところを
次回の記事で簡潔にまとめておこうと思います。

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00 : 43 : 55 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 特殊ローレンツ変換 (2)
2012 / 03 / 14 ( Wed )
今日は、円周率の日でもあり、アインシュタインの誕生日でもあります!
というわけで、やはり、今日は(あと残りわずかですが・・・)、
相対論の記事をアップしたいですね(笑)
※ピアノ記事のコメントレスが終わっていないのに、更新申し訳ありません。

前回の記事で、
「ものの長さが縮む」とか「時計がゆっくり進む」などの
不可思議現象が説明できると書きましたので、
それについても書いておこうと思います。

ものの長さが縮む

地面に対して、速度vで動いている物体を考える。

物体の運動方向をx軸にとって、
地面の座標系をS、物体とともに動く座標系をS'とする。

両端A,Bのx座標を
S系から見た場合、a, b (a > b)
S'系から見た場合、a'、b' (a' > b') とすると、

物体が静止している時の長さは、S'から見た長さで、
L0 = a' - b'

求めたい動いている時の長さは、Sから見た長さで、
Sから見た同時刻 t の時の両端の座標 a, bの差である。
L = a - b

これら2種類の座標は、
前記事で求めたローレンツ変換の式から次のような関係にある。

a' = γ(a - vt)
b' = γ(b - vt)


よって、
L0 = γL
つまり、
L = L0/γ = L0 √(1-β2) < L0

となり、長さが縮んで見えることが分かる。

速度が光速に近づくと(β→1)、長さは、0に近づく!
(なんか、不思議~)


時計がゆっくり進む

地面に対して、x軸方向に速度vで動いている時計vを考える。

地面の座標系をS、
動いている時計とともに動く座標系をS'とする。
(時計は、S'系から見ると静止している)

時計はS'系の原点にあり、
SとS'は、t = t' = 0で原点が一致していたとすると(前記事の仮定と同じ)
Sから見た時計のx座標は、x = vt

S’から見た時計の時刻(S'の原点O'における t')は、

t' = γ[ t - (v/c2)(vt) ] = t √(1-β2) < t

となる。
つまり、時計はゆっくり進む ということが分かる。

速度が光速に近づくと(β→1)、時間がほとんど流れなくなる!
(やっぱり、なんか、不思議~)

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23 : 36 : 46 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 特殊ローレンツ変換
2012 / 03 / 11 ( Sun )
テンソルは、この辺にして、相対論に入ります。

初めは、簡単な場合のローレンツ変換。
内山先生の教科書では、「特殊ローレンツ変換」と呼ばれている、
x軸方向に速度vで動いている慣性系への変換の場合。

頑張れば、中学生でもできるぐらいの計算
「ものの長さが縮む」とか「時計がゆっくり進む」などの
不可思議現象が説明できるんだから、すごいですよね!


S’系は、S系に対して、x軸+方向に速度vで動いているとする。
たとえば、S系が地上の人から見た座標系で、
S’系は、電車の中の人から見た座標系。

時刻 t = t' = 0 の瞬間には、
両座標系の座標軸が完全に一致していたとして(原点も一致)
その瞬間に一致していた座標原点から光が発せられたとする。

その光がS系からみて、時刻 t に点P(x,y,x)に到達するとする。
S’系からみた場合には、時刻 t' に点P’(x',y',z')に到達するとする。

光速度不変の原理より、どちらの系からみても、光の速度はcだから、

s2 ≡ x2 + y2 + z2 - (ct)2 = 0
s'2 ≡ x'2 + y'2 + z'2 - (ct')2 = 0  (1)

が成り立つ。

この左辺のs2の値は、必ずしも、0でなくても、両系で等しくなっているはずだと考えて、

x2 + y2 + z2 - (ct)2 = x'2 + y'2 + z'2 - (ct')2  (2)

ここで、S系からS’系への座標変換を考える。
相対性原理から、S系で等速直線運動をしている物体は、
S’系からみても等速直線運動しているはずであるから、一次変換となる。

空間の等方性を考えると、y座標とz座標は値が変わらず、
xとtの一次変換となる。

x’= ax + bt
t' = fx + gt
y' = y
z' = z
       (3)

ここのところの議論は、内山先生の教科書では、
丁寧に書かれていて、おもしろいのですが、省略します。
まあ、x軸方向に動いているのだから、yとzは変わらないというのは自然ですよね。

(3)の式をすべて、(2)に代入して、任意の (x,y,z,t) について恒等的に成立
しなければならないという要請を置くと、

a2 - c2 f2 = 1
b2 = c2 ( g2 - 1 )
ab = c2 f g
     (4)

という連立方程式ができる。

さらに、S’系の座標原点O’はS系からみると、速度vでx方向に動いているから、
(2)式で、x'=0, y'=0, z'=0 の時、 x = vt となっていなければならないことから、

-b/a = v    (5)

(4)と(5)の4つの連立方程式から、4つの未知数 a, b, f, g が求まる。
(cは光速で、未知数ではないことに注意)

これは(4)の最後の式を2乗して、すべて、未知数をa2、b2という
2乗の単位で計算していくと、意外と簡単に解けて、
β≡v/cとして、

a = 1 / √(1-β2)
b = - v / √(1-β2)
f = - (v/c2) / √(1-β2)
g = 1 / √(1-β2)

となる。

つまり、座標変換の式は、
x' = ( x - vt ) / √(1-β2)
t' = [ t - (v/c2)x ] / √(1-β2)

と書ける。
符号が逆になったものも数学的には解になるが、
v→0のとき、x'→x、t'→tという条件により、排除される。

γ ≡ 1 / √(1-β2) として、
4元座標の表記 
x =(x0, x1, x2, x3) = ( ct, x, y, z )
を用いると、ベクトルと行列の表記で x' = A x で、

    | γ   -γβ  0  0 |
A = |-γβ   γ   0  0 |
    | 0      0   1  0 |
    | 0      0   0  1 |

と表すことができて、対称性のよい形になる。

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16 : 03 : 45 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 相対性理論のテキスト
2012 / 03 / 08 ( Thu )
こちらのテキストで勉強しています。
20年前、大学時代に購入したもの。

相対性理論 (物理テキストシリーズ 8)
相対性理論 (物理テキストシリーズ 8)内山 龍雄

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ページ数は少ないのに、かなり骨太な教科書のようです。

大学の時に、この序章を読んで、
相対論とはどういうものかという導入が
ほんとに分かりやすく書かれていて、目からうろこでした。

第2章からは本格的に数学がびしばし出てくるので、
もちろん難しいんですが。。。

前書きのこのくだりは、有名かもしれませんね(笑)

本書を読破したなら、相対性理論を理解したという
自信をもってさしつかえない。
本書は力学(変分原理を含む)と電磁気学の基礎的知識さえあれば、
必ず理解できる。
もし本書を読んでも、これが理解できないようなら、
もはや相対性理論を学ぶことはあきらめるべきであろう。



この文章を大学時代に目にしたとき、
おいおい、なんてこと言うんだよ!!!
と激昂したものでしたが、今にして思えば、
それだけ分かりやすく書いたつもりという著者の自負でしょうね(笑)

そう思って、必ず理解できると期待して読んだ方がいいですね。
内山先生って、すごい方みたいですし。。。

後半の一般相対論はめちゃムズなので、ちょっと自信がないですが、
前半の特殊相対論は、なんとか最後までいきつきたいところです。

それから、いつかは読みたいのがこの本。

場の古典論 原書第6版―電気力学、特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)
場の古典論 原書第6版―電気力学、特殊および一般相対性理論 (ランダウ=リフシッツ理論物理学教程)エリ・ランダウ イェ・エム・リフシッツ 恒藤 敏彦

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おなじみ、理論物理の金字塔、ランダウ・リフシッツのシリーズ!
中でも特に、この「場の古典論」は出色の出来栄えと評判です。

ランダウの本は、難しいですが、哲学があって好きなので、
いつかは読んでみたいと思いますが、
いきなり、初めに読むのはさすがにきついし、
感動もなくなってしまいそうなので、
内山先生の本の後に読もうと思っています。

それにしても、日本の出版業界というところは・・・
この世界的名著のシリーズのいくつかが絶版になっているという
なんとも嘆かわしい状況なので、
とりあえず、この「場の古典論」はもうすでに買ってあるんです。
準備だけは万端ですね(笑)

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00 : 27 : 24 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ 相対性理論への憧れ
2012 / 03 / 03 ( Sat )
今日は、軽い話です!
物理の道へ進んだきっかけの話。
僕が物理の道へ進もうと思ったのは、「相対性理論」への興味からでした。

相対性理論の存在を知ったのは、
中学生の時に読んだ学研の変なSF漫画でした(笑)
宇宙船が光の速度に達すると、時間が止まって、
光速を超えると、過去にさかのぼる・・・

(↑光速を超えるのは、相対論的には嘘ですけど・・・笑)
といったようなことが書かれていて、
とてもびっくりしたんです。

えーーー、そんなことあるんだー!!!
いったい、なぜそんなことが起きるんだろう???


ロケットが月に行こうと、火星まで行こうと、全然驚きません。
飛行機が空を飛ぶんだから、
もう少し頑張れば、宇宙にだって行けますよね。

でも、時間の流れ方が変わるって、
いったいどういうこと???


その理由が知りたくて知りたくて、たまらなくなりました。

そこで、さっそく、読み物系の相対論の本(主にブルーバックス)を
何冊か読みあさってみたのですが、
どうしても、理解できなかったのが
「光の速さは、誰から見ても同じ」という相対論の基本原理。

仮に、光の速さで走れるような「超高速おじさん」がいたとして、
その超高速おじさんに対しても、
光はやっぱり、地球を7周半する猛烈な速さで追いかけてきます。

逆に、超高速おじさんが光の速さで走りながら、ライトを照らしたとしても、
そのライトからの光は、2倍の速さで向かって来ると思いきや、
実際にはいつもと変わらない同じ速さで光はやってきます。

どうして、こんなことになるのか理由がさっぱり理解できなくて、
その時は、理解をあきらめてしまいました。。。

ようやく、納得できたのは、大学に入って、
相対論の専門書を読んでから。
原理なんだから、理由なんてありません!(笑)

当時、いくら精密な測定をしても、光の速さの違いを検出することができず、
それを既存の理論では、どうしてもうまく説明できなかった。
そこで、「光の速さは変わらない」というのを原理として、
理論を構築したらどうかといったのがアインシュタインの「相対性理論」。

どうしてそうなっているかではなく、
この世界がそうなっていると考えると、
すべての実験結果が矛盾なく説明できるだけなんですよね。
読み物系の本にもそういう風に書いてくれてたら、
もう少し理解できてたかも。。。

というわけで、最近、また、相対性理論の勉強を始めています。
僕の物理への原点でもあるので、やっぱりワクワクしますね!

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22 : 12 : 38 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(0) | page top↑
∫ ゲージ (2)
2012 / 02 / 07 ( Tue )
ゲージの意味が理解できたわけではないのですが、
たぶん、量子論を勉強していくうちに、
分かってくるんじゃないかなと、希望的観測を持っています(汗)

そんなわけで、とりあえず、今は分かってませんが、
現在、分かっている知識と勝手な想像をつけて、まとめておいて、
少しずつ理解を深めていこうと思います。
(理解して書いてるわけではないので、内容はご注意ください)

まずは、真空中のMaxwell方程式からスタート。

∇・E = ρ/ε0   (1)
∇・B = 0   (2)
∇×E = -∂B/∂t   (3)
∇×B = μ0 [ j + ε0(∂E/∂t ) ]   (4)

(2)と(3)を満足するように、(E、B)をポテンシャル(A、φ)で表現する。

E = -φ - ∂A/∂t   (5)
B = ∇×A   (6)

この時点で、(2)と(3)は自動的に成立するから、
あとは、(1)と(4)にこれらを代入して、
(1)と(4)の2つの式を(A,φ)による表現にしたものが場の方程式となる。

∇×∇×v = ∇(∇・v)- △v

というベクトル解析の公式を利用して、整理すると、

- △φ - (∂/∂t) (∇・A) = ρ/ε0  (7)
A + ∇[ ∇・A + (1/c2)(∂φ/∂t) ] = μ0 j   (8)

この2つの式が、ポテンシャルで表現した場の方程式。

でも、ちょっと複雑。
そこで、ポテンシャル(A、φ)は、ゲージ変換しても同じEとBを与えるから、
適当にゲージ変換して、もっと見やすくすることを考える。

どうせ、知りたいのはEとBなんだから、
どんなゲージを使っても、最終的に答えは同じだよね!

という理解でいいのかな?
少なくとも、古典論の範囲では、それでいいような気がします。

まずは、クーロンゲージ
∇・A = 0  
となるように、ゲージを選ぶと、

- △φ = ρ/ε0  (9)
A + (1/c2)(∂/∂t)(∇φ) = μ0 j   (10)

となる。

ここからは、僕の勝手な想像を多く含んでいるので、要注意!

(9)を見ると、クーロンの法則(ポアソン方程式)そのものになっている。
この式は、
- △φ(r,t) = ρ(r,t)/ε0
であることに注意すると、
電荷分布の時間変化が瞬時に遠隔地のポテンシャルに伝わる
ということになる。

相対論的におかしいように見えるけど、そうではなくて、
実際に現象に現れるのはEとBだから、
ポテンシャルが瞬時に変化しても構わない。
もうひとつの(10)式の方から計算されるAの変化も考慮すると、
遠隔地の電場と磁場が瞬時に変化するというわけではない

・・・という理解で、いいのかな?

次は、ローレンツゲージ
こちらは、ローレンツ条件
∇・A + (1/c2)(∂φ/∂t) = 0
が満たされるように、ゲージを選ぶと、

□φ = ρ/ε0  (11)
A = μ0 j   (12)

という見事なまでにすっきりした表現になる。

この2つの式は、波動方程式の形になっているので、
ポテンシャル(A、φ)は、電荷と電流の源から光速で伝わっていく波動状の解となる。

とりあえず、分かっている気がするのは、ここまで。
だから、何なのかというのがよく分かりません。

なんでもいいから、式がとにかく分かりやすくなるゲージを使えってことなのでしょうか?(笑)

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19 : 04 : 25 | 物理(相対論・電磁気学) | コメント(2) | page top↑
∫ ゲージ
2012 / 02 / 03 ( Fri )
前に予告した通り、ルードンの「光の量子論」で電磁場の量子化を勉強中。

量子化する前に、電磁ポテンシャルでの表現を準備するところ。
式変形は特に問題なく追えているのですが、
ゲージの意味がいまいち分かりません!

昔、電磁気学を勉強した時から「ゲージ変換」はやりましたが、
その時もいまいち分かってなかったなあ。。。

クーロンゲージとローレンツゲージ。
今やっている電磁場の量子化では、クーロンゲージを使うみたいなのですが、
なぜ、クーロンゲージを使うのかが分かりません。

いろいろネットの資料なども探し回って、分かったのが
クーロンゲージの方が簡単で物理描像も分かりやすい
とのことでした。

ローレンツゲージはローレンツ共変なので、
相対論(ローレンツ変換)にも対応できるのですが、
かなり高度な知識を要するということらしい。

まあ、そこまではよしとして、
結局、クーロンゲージに変換したうえで、
ヘルムホルツの定理を使って、場を縦成分と横成分に分解して、
ごちゃごちゃやって、最終的に、ベクトルポテンシャルの場の方程式を

□A=0
(□は、ダランベルシアン)

という波動方程式(?)の形にもっていくみたいなんですよ。

でも、ローレンツゲージだったら、もとから、□A=0という形ですよね。
ならば、そっちを使った方がいいんじゃないの?
と素人考えで思ってしまうのは、ゲージというものが理解できてないからですよね(汗)

まあ、量子化の話は難しいので、置いておいて、
そもそも、古典場では、ゲージの違いってどういう意味があるんだろう?

クーロンゲージは、静電ポテンシャルφが瞬時に遠方に伝わる形になっていて、
ローレンツゲージは、静電ポテンシャルφもベクトルポテンシャルAも
遠方には光速で伝わる遅延ポテンシャルの形になっている
ということだと理解しているんですが、
それが量子化において、どうなるのか?

さっぱり、分かりません(笑)

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