スポンサーサイト
-- / -- / -- ( -- )
上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。
-- : -- : -- | スポンサー広告 | page top↑
∫ 計量テンソル
2013 / 04 / 02 ( Tue )
計量テンソルについて、まとめておきます。

定義

gmn = emen   共変
gmn = emen   反変
gmn = emen = δmn   混合

最後の混合形については、双対基底の定義から
必ず、クロネッカーのδになる。

対称性
実数ベクトルのみを考えると、
gmn = gnm
gmn = gnm
gmn = gnm

内積
計量テンソルが定義されると、
次のように、ベクトル同士の内積が計算できるようになる。

AB = Am em・ Bn en = Am gmn Bn
AB = Am em・ Bn en = Am gmn Bn
AB = Am em・ Bn en = Am δmn Bn = An Bn
AB = Am em・ Bn en = Am δmn Bn = An Bn

最後の2つは重要なので、再掲。
AB = An Bn = An Bn

昇階・降階
Am em = Ak ek
の両辺に、enを掛けると、
Am gmn = An   昇階

同様に、enを掛けると、
Am gmn = An   降階

というように、計量テンソルを使うと、添え字を自由に上げ下げできる。

また、上の2つの関係を見ると、昇階と降階は逆変換なので、
gmngmn は互いに逆行列の関係になっている。

・・・と、このぐらいで、
特殊相対論の範囲は大丈夫なんじゃないかと思っています。
一般相対論になると、共変微分とか曲率テンソルとか
いろいろややこしそうなのが出てきて、大変そうだけど・・・(汗)


参考文献
岡部洋一 講義資料「座標変換」
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html
スポンサーサイト

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

19 : 00 : 00 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ デルタ関数の公式 (1)
2012 / 12 / 06 ( Thu )
怒涛の更新ですね!(笑)

先ほどの静電場の記事で使用したデルタ関数の公式をさっそく証明しておきます。

2 (1/r) = - 4π δ(r)

証明と言っても、超関数なので、数学的に厳密な証明は僕には無理なので(汗)、
物理を理解する上で納得できる程度の証明という意味で・・・

原点以外(r≠0)では、左辺が 0 になる。

原点を中心とする任意の球体内で左辺を積分すると、-4π になる。

の2つを示したいと思います。

証明

これを示すには、ラプラシアンの球座標表示を使うと便利。
r のみに依存するので、rに関する微分の項のみを用いて、

2(1/r) = -∂r [ r2r ( 1/r ) ] / r2 = 0

半径 R の球体 VR(表面:SR)で積分する。

VR2 (1/r) dr
= ∫VR div grad (1/r) dr


ガウスの定理を用いて、体積積分を表面積分に変換し、
grad (1/r) = - r / r3
を用いると、

VR div grad ( 1/r ) dr
= ∫SR grad ( 1/r )・dS
= ∫SR (- r / r3 )・dS
= - 1/R2・4πR2
= - 4π


以上で、証明終了。

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 57 : 30 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ 共変と反変 (2)
2012 / 12 / 03 ( Mon )
前回の記事で、「共変」と「反変」について、まとめてみましたが、
似たような数式だらけになってしまって、非常に見にくくなってしまったので(いつものこと・・・汗)、
もう一度、僕が理解している範囲で、エッセンスだけを抜き出してみたいと思います。
(あくまでも、僕の理解ですから、要注意・・・)

ベクトルの成分とは、基底で展開した係数のこと。

(ベクトル) = (成分1)×(基底1) + (成分2)×(基底2)+・・・

つまり、基底を決めてやれば、成分が決まる。

ここまではベクトルの一般的な話なので、よいとして・・・
ここで、基底を別の基底に変換することを考える。

例えば、基底を2倍に変換して、左辺のベクトルを保存するためには、
当然、成分を1/2にする必要があるであろう。

もっと一般的な場合でも、基底にある変換を施して、ベクトルを保存するためには、
成分にその逆変換を施す必要がある。

つまり、成分は、基底の逆の変換を受ける。
そこで、この成分をベクトルの「反変成分」と呼ぶ。



次に、もともとの基底に対して、新たに、双対基底という別の基底を導入する。

双対基底とは、このような条件を満足する基底。(・は内積を表す)

(基底1)・(双対基底1) =(基底2)・(双対基底2)=・・・= 1

(基底1)・(双対基底2)=(基底2)・(双対基底1)=・・・= 0

たとえば、(双対基底1)は、
(基底1)以外のすべての基底(基底2)、(基底3)・・・と直交する方向を持ち、
(基底1)との内積が1になるような大きさを持つ。


同様にして、(双対基底2)、(双対基底3)、・・・を順次作ることができる。



このような双対基底を作っておいて、
基底を別の基底に変換したら、双対基底はどのように変換されるかを考える。

(基底1)・(双対基底1) =(基底2)・(双対基底2)=・・・= 1

の内積の値が保たれなければならないから、
基底が2倍されたら、双対基底は1/2になるというように、

双対基底は、基底とは逆の変換を受けることが分かる。



ここで、今度は、双対基底に対して、ベクトルを展開してみる。

(ベクトル)= (成分1)×(双対基底1)+(成分2)×(双対基底2)+・・・

そして、基底の変換によって、この成分はどのような変換を受けるかを考えてみる。

前述の議論から、

成分は、双対基底の変換と逆の変換を受け・・・

その双対基底はというと、基底の変換と逆の変換を受けるので、

結局、この成分は、「逆の逆」ということで、
基底の変換と同じ変換を受けることになる。

そこで、この成分を「共変成分」と呼ぶ。



ここまでをまとめると・・・

基底に対して展開した成分   ・・・ 基底と逆の変換を受ける → 反変成分
双対基底に対して展開した成分 ・・・ 基底と同じ変換を受ける → 共変成分


なぜ、このところ、「共変」と「反変」のことばかり書いているのかというと・・・

実は、内山先生の「相対性理論」にあるこの記述、

或る物理量Aを反変ベクトルにより表すか、共変ベクトルを用いて表すかは、
そのときの都合で、どうでもよい。

(第II章 8節 テンソルの等式、和、差、積と縮約)

がよく理解できなかったからなのです。

ランダウ・リフシッツの「場の古典論」にも似たような記述があり、
結局、共変で表しても、反変で表しても、
どっちでもお好きなように・・・ってことのようなのです。

お好きなようにと言われても、
変換が真逆なんだから、本当にどっちでもいいんかいな?
と思って、まったく腑に落ちなかったわけなのですが、
ようやく、意味が分かりました。

基底で展開した成分で考えるのか、
それに双対な基底で展開した成分で考えるのか

の違いってことですね!
どっちで考えても、もとのベクトルは同じ。

そして、双対基底も基底の一つなのだから、
こちらを主たる基底と考えてしまえば、
もともとの基底は、それに双対な基底になります。

「双対」というのは、「相方」みたいな関係で、
相方は、自分にとっての相方だけど、
自分は、実は、相方にとっての相方ってことです(笑)

というわけで、双対基底の方を主たる基底にとってしまえば、
共変成分と呼んでいたものが反変成分になり、
反変成分と呼んでいたものが共変成分になる。


ってことで、どっちでもよいということになります!

というのが僕の理解したところ。

共変成分から反変成分、反変成分から共変成分へ変換するのは、
「計量テンソル」というものを導入すると、自在にできるようです。

次回は、計量テンソルについて。


参考文献
岡部洋一 講義資料「座標変換」
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

19 : 42 : 22 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ 共変と反変
2012 / 09 / 22 ( Sat )
以前、「特殊相対論における共変と反変」の記事を書いた時に、
共変と反変について、少し勉強しましたが、
理解したことを冷めないうちにまとめておきます。。。

内容は主に、放送大学長の岡部洋一先生のページの「座標変換」の講義資料を参考にしています。
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html

座標変換を考える。
xm → xμ

以前の記事でも書いたように、
旧座標系を英文字、新座標系をギリシャ文字で表すことにする。

位置ベクトルの全微分 dx を新旧座標系の基底で表すと、
dx = dxm em = dxμ eμ   (1)

注1:基底は正規直交基底である必要はない。
注2:なぜ、微分を考えるかというと、
   一般相対論のような曲線座標では局所でしか考えられないから。

成分の変換則は、微分則から、
dxμ = ∂m xμ dxm
dxm = ∂μ xm dxμ  (2)

ここで、
m xμ ≡ ∂xμ / ∂xm
と定義する。

(2)を(1)に代入すると、
eμ = ∂μ xm em
em = ∂m xμ eμ   (3)

という基底の変換則が導かれる。

基底の変換則を基準に見ると、
dx の成分の変換則は基底の変換則と反対になっているので、
反変であるという。

一般のベクトル A についても、基底で分解すると、
A = Am em = Aμ eμ   (4)
となり、(1)と同様だから、Amは、反変成分となる。
Aμ = ∂m xμ Am
Am = ∂μ xm Aμ  (5)



では、共変とは何ぞやと言うと・・・
双対基底 em なるものを考える。

定義は、
emen = δnm  (6)
を満たすような em のこと。

双対基底の変換則はどうなるかというと・・・
変換後も、
eμeν = δνμ  (7)
が成立してなければならず、もとの基底の変換則(3)を用いると、
eμ = ∂m xμ em
em = ∂μ xm eμ   (8)
と、もとの基底の変換則と反対になっていることが分かる。

一般のベクトル A を双対基底で分解すると、
A = Am em = Aμ eμ   (9)

成分 Am の変換則は、
Aμ = ∂μ xm Am
Am = ∂m xμ Aμ  (10)

となり、元の基底の変換則(3)と同じになる。
そこで、これを共変であると呼ぶ。

ここまでをまとめると・・・

ある基底で表した成分は、基底の変換則と反対の変換則になる→反変成分

双対基底で表した成分は、基底の変換則と同じ変換則になる→共変成分


基底も「共変基底」、「反変基底」と呼ぶと分かりやすいと思うのですが、
教科書でそう呼んでいる例があまりないみたいです。
(ネットの記事ではよく使われているようなので、間違いではないと思うのですが・・・)

あともう一つ、便利な式(定義式(6)から直接導かれる)
Aem = Am
Aem = Am


それから、もともとの基底が正規直交基底の場合。
双対基底は、もとの基底と一致する!

というわけで、自分用にということで、
無駄をなるべく省いて、簡潔にまとめたかったのですが、
それでも、かなり長くなってしまいましたね。ふ~っ(汗)

計量テンソルについても、まとめておきたいのですが、次回。


参考文献
岡部洋一 講義資料「座標変換」
http://www.moge.org/okabe/temp/Riemann/index.html

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

01 : 33 : 07 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ 一階偏微分方程式
2012 / 05 / 15 ( Tue )
仕事で、簡単な一階偏微分方程式を解かなくてはいけなくて、
特性曲線を使って解く方法を復習しています。

簡単な例。

ut + c ux = 0

を満たす u(x,t) を求める。

(x, t) 平面上に x = x(t) で表される特性曲線Γなるものを考えて、
その曲線Γ上での u の変化を考える。

曲線Γ上に限ると、t を dt だけ変化させると、
x の変化 dx も自動的に次のように決まる。

dx = (dx/dt) dt

その時の u の変化 du は、

du = ux dx + ut dt
 = { ux (dx/dt) + ut } dt


ここで、特性曲線Γを dx/dt = c を満たすように決めると、
元の偏微分方程式より、{・・・} = 0 になって、

du = 0

つまり、u は、特性曲線Γ上では、定数となる。

特性曲線の式は、dx/dt = c から、

x - ct = ξ(const.)

と表されるので、u(x,t) の一般解は、

u (x,t) = f (ξ) = f ( x - ct )

となる。
ここで、f (ξ)は、任意の関数。

もし、係数 c が c(u) のようにuに依存した関数になっていた場合、
すなわち、

ut + c (u) ux = 0

といったような場合でも、まったく同じ論理が使えて、
結局、特性曲線上では u が一定になるので、
c(u)も定数になって、
特性曲線は、

x - c (u) t = ξ(const.)

という直線になり、一般解は、

u(x,t) = f ( x - c (u)t )

と表せる。
ただし、陰関数表示になっているので、
陽的な表示が欲しい場合は、ここから、u について解かなければならない。

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 08 : 39 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ 汎関数微分
2012 / 04 / 02 ( Mon )
以前やると言っていた場の量子化の方ですが、
決して、あきらめたわけではありません(汗)

シッフ先生の教科書で、「汎関数微分」なるものが
どうしても理解できず、ずっと悶々としていました。。。

ピンと来ないまま、先へ進むのも嫌ですしね~。
それで、いろいろなサイトを巡っていたのです。

いつも勉強させていただいている
「EMANの物理学」さんの記事
「物理のぺーじ」さんの記事を読んで、
悶々としていたものが氷解しました!

分かってしまえば、非常に単純な話で、さほど難しいことは言ってないようです。
といっても、自分なりの理解なので、本当に理解できてるかどうか怪しいのですが・・・
とりあえず、この理解をもとにシッフを読み直してみたら、
よく理解できました。
シッフ先生は、わりと「理解している人目線」で書かれてますからね(笑)

とりあえず、自分なりの理解をもとに、整理しておきます。


まずは、汎関数とは何か?

ある関数 f(x) が何らかの形で入っている関数 F(x) をある区間で定積分したようなもの

I[f] = ∫F( f(x),・・・)(x) dx

を考える。
定積分というのがポイントで、I[f] には、変数 x は含まれていない
つまり、この値は、x の値によってではなく、
関数 f(x) の形が変わることによって、変化する。
このようなものを「汎関数」という。

たぶん、汎関数の定義は積分に限らず、
もっと広い意味での定義ができるんでしょうけど、
ここでは、積分のもののみが分かればいいので、
積分によるものに限ることにします。


そこで、汎関数微分とは、
関数 f(x) の形がほんの少しだけ変化したとき、
汎関数 I[f] の値がどれだけ変化するかという変化率

みたいなもの。

通常の微分とイメージは同じであるが、
普通の微分と違うのは、変化するのが一つの数ではなく、
関数なので、各点xで別の値をとるものが集まった集合であるという点。

つまり、各点xでの微小区間における微分を考えて、
それらを区間全体で積分してやってはじめて、最終的な微分量が分かる。

そこで、ある点 xi における微小区間Δx において、
f(x)をδf(x)だけ変化させた時の汎関数の変化量を δIiとする。

無限に微小な区間を想定すれば、δf(x)は、関数ではなく、
x = xiにおける数値δf(xi)で代表させてしまっても問題ないので、
変化率を Ai として、

δIi = Ai δf(xi) Δx

と書ける。
ここで、Δx が入ってるのは、微小区間として後で積分をすることを考えているから。

トータルの変化 δI は、これを区間全体で足し合わせたものだから、

δI = Σi δIi = Σi Ai δf(xi) Δx

微小区間を無限小にすると、積分になって、

δI = ∫ A(x) δf(x) dx

変化率Aは、各区間で値が変わるので、当然、x の関数 A(x) になる。
この A(x) がIのfに対する汎関数微分であり、[δI/δf ](x) と書く。

つまり、
δI = ∫ [δI/δf ](x) δf(x) dx

どうしても、両辺の次元が dx の分だけ違ってて、気持ち悪いのですが、
こういう定義なんだからしかたないと思うことにしました(笑)

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

00 : 28 : 49 | 数学(解析・関数論) | コメント(2) | page top↑
∫ テンソルの縮約
2012 / 03 / 08 ( Thu )
テンソルについて、もう一つ押さえておきたいのが、縮約について。

上付きの添え字と下付きの添え字が同じになる成分の和を取ると、
その2つの添え字を消したテンソルと同じになる!


たとえば、Aμνλρというような4階の混合テンソルがあったとして、

μとλが同じになる成分の和を取ると・・・

Aμνμρ=Aνρ

というように、2階の混合テンソルとして扱える。
(μについて、和を取ることに注意!)

これは、すごく便利!

テンソルの変換則で確かめてみます。

もともとの4階テンソルの変換則は・・・
A’μνλρ = aμi aνj aλk aρl Aijkl

ブログで、あの偏微分記号を書くのは、分かりにくくてしかたがないので、
内山先生の教科書でローレンツ変換の係数に使っている記法を使いました。

aμi ≡ ∂xμ'/∂xi
aμi ≡ ∂xi/∂xμ'

(これらはテンソルではない)

λ=μにして和を取ると、

A’μνμρ = aμi aνj aμk aρl Aijkl

ここで、μのついているこの2つの係数だけを抜き出してみると、
aμi aμk = δki

となっていることが、偏微分表示に戻して計算してみるとすぐにわかる。
(偏微分書くのが面倒だから書かないけど・・・)

すると、
A’μνμρ = δki aνj aρl Aijkl

となり、
A’μνμρ = aνj aρl Aijil

となる。
この式は、下のような2階のテンソルの変換則と同等とみなせる。
A’νρ = aνj aρl Ajl

というわけで、縮約できることが示せました。

テンソルの積は、こんな感じで、やはりテンソルになることはすぐにわかるので、
Cμνλ ≡ Aμν Bλ

縮約を使って、ベクトルのスカラー積を定義できる。
C ≡ Aμ Aμ

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

23 : 45 : 01 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ クロネッカーのデルタ
2012 / 03 / 08 ( Thu )
クロネッカーのデルタ

δμν = 1 (μ=ν) 
δμν = 0 (μ≠ν)


は、反変と共変の混合テンソルである。

なぜならば、ためしに、
S系におけるδik を1階共変・1階反変の混合テンソルの変換則で変換してみる。

つまり、
(∂xμ'/∂xi)(∂xk/∂xν')δik
を計算してみる。

(∂xμ'/∂xi)(∂xk/∂xν')δik
=(∂xμ'/∂xi)(∂xi/∂xν')
=(∂xμ'/∂xν')

となり、これは、明らかに、δ'μνであるから、
共変反変混合テンソルの変換則を満たす。

この性質は、ローレンツ変換に限らず、一般的な座標変換に対して、成り立つ。

それにしても、偏微分の式をブログで書くと、ほんとに見にくいですね。。。

参考文献:
内山龍雄「相対性理論」

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

23 : 45 : 00 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ テンソル
2012 / 03 / 08 ( Thu )
相対論と言えば、テンソルですね!

やはり、初めはなかなかつかめず、難しかったです。
ようやく、少しずつつかめてきた気がしています。

ということで、まずはテンソルについて、自分なりに整理しておこうと思います。

とにかく、添え字がごちゃごちゃしてきて、混乱してしまうので、
かなり我流ですが・・・

座標系Sから座標系S’に変換することを考えるときに、

S系における添え字は、英文字(i, j, k, ...)
S’系における添え字は、ギリシャ文字(μ, ν, λ,...)

と決めてやることにしたところ、少し分かりやすくなった気がします。

このルールのもとに、テンソルの定義を書いてみます。

ある量Tを
S系(xi)からみたときの成分を ij...kl...
S’系(xμ')からみたときの成分を T’μν...λρ...
と書いたとき、

T’μν...λρ... 
= (∂xμ'/∂xi)(∂xν'/∂xj)・・・
   (∂xk/∂xλ')(∂xl/∂xρ')・・・Tij...kl...


という変換則で変換されるとき、Tをテンソルと呼ぶ。

上付きの添え字が反変成分、下付きの添え字が共変成分。

変換係数となっている微分の形が・・・
反変は、「新座標系/旧座標系」
共変は、「旧座標系/新座標系」

添え字が一つしかない場合がベクトルで、
Aμ反変ベクトル
Aμ共変ベクトル

と言っても、イメージがいまひとつわかない!

そこで、一般相対論に出てくるリーマン幾何学のような
非線形な変換はまだ理解できないので、置いておいて・・・

ここでは、特殊相対論のローレンツ変換を念頭において、
線形な座標変換に限ることにする。

そうすると、偏微分の形をした変換係数は、場所によらない定数になるので、
座標変換じたい

xμ' = (∂xμ'/∂xi) xi

と表せることになる。

こう書くと、反変ベクトルの変換則は、そもそも定義から
Aμ' = (∂xμ'/∂xi) Ai
のように書けるので、
座標成分自体が反変ベクトルになっていることが分かる。

つまり、座標成分そのものと同じように変換されるものが「反変」
と考えればいいってことになりそうですね。

これで、「反変」のイメージはわいたけど、「共変」のイメージがわかない!

共変は、微分演算がそうなるようです。

座標変換前後で変わらないスカラー量ξがあったとして、
iξ = ∂ξ/∂xi
と書くことにすると、

μ = ∂ξ / ∂xμ' 
= (∂xi / ∂xμ')(∂ξ / ∂xi
= (∂xi / ∂xμ')∂iξ


共変ベクトルの変換則は、
Aμ' = (∂xi/∂xμ') Ai
だから、確かに、微分の成分∂μは共変ベクトルになっていることが分かる。

というわけで、共変も反変も少しはイメージがつかめるようになりました。

参考文献:
内山龍雄「相対性理論」

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

23 : 18 : 53 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ リーマンのゼータ関数 (4)
2011 / 05 / 31 ( Tue )
もう書くの飽きてきたのですが、
一応、ζ(4)の証明が当初の目的だったので、
最後まで責任持って書いておきます(笑)

ζ(4) = 1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + ・・・ = π4/90

を証明します。

前回記事での sin x の2通りの級数展開

sin x = x - x3/3! + x5/5! - ・・・   (1)

sin x = x {1 - x22} {1 - x2/(2π)2}・・・{1 - x2/(nπ)2}・・・  (2)

において、今度は、5次の係数を比較します。

(1)の係数は、簡単で 1/5! = 1/120

問題は、(2)の係数で、今回はちょっと複雑。
x5になるようにするには、x2の部分を2つ取る組み合わせを
考えなければなりません。

そうすると、係数は、

ΣΣm>n 1/m2n2π4

となります。 これらが等しいのだから、

ΣΣm>n 1/m2n2 = π4/120  (3)

ということがまずわかります。

ここで、すべてのm,nについて和を取ったもの
ΣmΣn 1/m2n2

を考えると、

ΣmΣn = ΣΣm=n + ΣΣm > n + ΣΣm < n  (4)

と分けることができて、

ΣΣm=n 1/m2n2 = Σn 1/n4 = ζ(4)

ΣΣm < n 1/m2n2 = ΣΣm > n 1/m2n2 = π4/120

だから、(4)式は、

ΣmΣn1/m2n2 = ζ(4) + 2×π4/120   (5)

となります。

一方、この式の左辺は、

ΣmΣn 1/m2n2 = (Σm 1/m2) (Σn 1/n2) = ζ(2)2 = π4/36  (6)

と計算できます。
ζ(2)の値は、前回記事で証明済の値を用いました。

最後に、(5)と(6)から、

ζ(4) = π4/36 - π4/60 = π4/90

となり、めでたく証明終了!
これで、ゼータ関数の記事は終わりです。

参考にしたサイト
http://homepage3.nifty.com/aya_js/math/math01.htm

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

19 : 13 : 27 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ リーマンのゼータ関数 (3)
2011 / 05 / 26 ( Thu )
ζ(4) = 1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + ・・・ = π4/90

のオイラーの証明ですが、その前に、

ζ(2) = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ・・・ = π2/6

の証明の方が簡単なので、こちらから先に。

これは、バーゼル問題と言われて、
時の数学者が必死で取り組んでいたそうです。

まずは、sin x のテーラー展開を考えます。
sin x = x - x3/3! + x5/5! - ・・・   (1)

実は、もうひとつ、sin x の展開方法があるそうで、
これが無限積展開というもの。

たとえば、x=1,2,3 に零点を持つ3次式 f(x) が、

f(x) = a(x-1)(x-2)(x-3) = b(1 - x)(1 - x/2)(1 - x/3)

という風に書けるように(a,bは定数)、

sin x も x = ±nπ(n = 0,1,2,・・・) に零点を持つので、

sin x = x (1 - x/π) (1 + x/π) (1 - x/2π) (1 + x/2π)・・
                   ・・(1 - x/nπ) (1 + x/nπ)・・・


と書けるんだそうで、2つずつ、まとめると、

sin x = x {1 - x22} {1 - x2/(2π)2}・・・{1 - x2/(nπ)2}  (2)

(1)、(2)の2通りの展開を見比べて、係数を比較すると、証明したい式が現れるという仕掛け。

たとえば、x3の係数を比較すると、

(1)の係数は、-1/3! = -1/6

(2)の係数はというと、初めのxにどれか一つのx2の因子を掛けると、x3になるから、

- 1/π2 - 1/(2π)2 -・・・- 1/(nπ)2 - ・・・
= - 1/π2 { 1 + 1/22 + 1/32 + ・・・ + 1/n2 + ・・・}

これらを等しいと置くと、
1 + 1/22 + 1/32 + ・・・ + 1/n2 + ・・・ = π2/6

となり、ζ(2)の方は証明完了!

言われてみると単純ですが、いきなり sin が登場なんて、
凡人には到底思いつきませんね!

それに、こういう無限積展開が可能ということは、
厳密には証明していかなければならないので、実際はもっと大変です。

ζ(4)の方は、x5の係数を比較すると、出てくるのですが、
これは、少し複雑になりますので、次回に(余力があれば・・・)

いろいろなサイトを参考にさせていただきましたが、
特にこのサイトが分かりやすくて、参考になりました。
このサイトでは、ζ(2n)の一般形まで証明していて、頭が下がります。
http://homepage3.nifty.com/aya_js/math/math01.htm

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

13 : 15 : 01 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ リーマンのゼータ関数 (2)
2011 / 05 / 19 ( Thu )
件の積分

I = ∫0 x3 / ( ex - 1 ) dx = π4 / 15

の証明ですが、いろいろネットで探しているうちに、
数学的厳密性にこだわなければ、わりと簡単に理解できるものだったので、
何回かに分けて証明しておきます。

まず、1 / (ex - 1) の分母分子に e-x を乗じると、
x > 0 では、|e-x| < 1 だから、

1 / (ex - 1)

= e-x / ( 1 - e-x )

= e-x + e-2x + e-3x + ・・・

= Σn=1 e-nx

という無限等比級数に変形できるので、

I = ∫0 x3 / ( ex - 1 ) dx

= ∫0 [ Σn=1 x3 e-nx ] dx

= Σn=1 ∫0 x3 e-nx dx

となります。

ここで、Σと∫の順序を入れ替えて、項別積分するためには、
ほんとは、一様収束性を確認しなければなりませんが、
数学的厳密性にはこだわらないってことで、省略^^;

次に、∫0 x3 e-nx dx の計算をしたいのですが、
一般的に、

In,k = ∫0 xk e-nx dx

の値を求めておくことにします。
部分積分をひたすら使う方法です。

In,k = ∫0 xk e-nx dx

= ∫0 xk (d/dx)[ e-nx / (-n) ] dx

= -1/n ∫0 xk (d/dx)[ e-nx ] dx

= -1/n [ xk e-nx ]0 + 1/n ∫0 (d/dx) [xk] e-nx dx

= k/n ∫0 xk-1 e-nx dx

= k/n In,k-1

・・・ = k!/nk In,0

ここで、

In,0 = ∫0 e-nx dx = 1/n

であるから、

In,k = k! / nk+1

求めたい積分にこの式を用いると、

I = Σn=1 In,3 = Σn=1 3! / n4

= 6 Σn=1 1/n4

= 6ζ(4)

となり、リーマンのゼータ関数が登場するわけです!

このゼータ関数の特殊値ζ(4)は、

ζ(4) = π4 / 90

となることをオイラーが証明していて、それを用いると、

I = π4 / 15

となり、証明終了!

次回は、このオイラーの証明について、見ていきます。

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

18 : 24 : 11 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
∫ リーマンのゼータ関数
2011 / 05 / 18 ( Wed )
今、気になっているのがリーマンのゼータ関数!

興味を持った経緯は、またあらためて書きますが、
この積分の証明が知りたくなったのがきっかけ。

0 x3 / ( ex - 1 ) dx = π4 / 15

さしづめ、複素積分にして、留数定理か何かを使うんだろうと思ったら、
そう簡単でもなさそう。。。
いろいろネットで探してみたら、
リーマンのゼータ関数を使うということが分かりました。

また、めんどくさいことになったなと思いつつ(笑)、
さらに調べていたら、
これがなんともミステリアスな関数!

数学者が一度ハマったら、一生抜け出せなさそうな関数ですね(笑)

端的に言うと、

1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ・・・

1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + ・・・

といった数列を延々と足していくと、いったい、どんな数になるの?という話。

指数を一般のsにしたものをリーマンのゼータ関数と言うらしい。
つまり、

ζ(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ・・・ = Σn=1 1/ns

簡単そうに見えて、この級数の答を得るのは、大変難しかったようで、
上のs=2やs=4の時のような特殊な値については、
数学者オイラーが大変な苦労の末、答を見つけ出したようです。

さらに解析接続によって、定義域を複素平面上に拡張すると、
負の整数sに対して、

ζ(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ・・・= -1/12

とか、

ζ(-2) = 1 + 22 + 32 + 42 + ・・・ = 0

とか、恐ろしいことになってくるようです。

さらに、このゼータ関数には、素数の分布に関する大きな知見が含まれていて、
150年以上たってもいまだ証明されていない難題である
「リーマン予想」も、このゼータ関数の零点に関する話。

まあ、そんな深みに入るつもりは毛頭なくて、
ただ、初めの積分の証明がわかればいいんですけど、
なんとも摩訶不思議な世界ですね。

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

22 : 57 : 53 | 数学(解析・関数論) | コメント(2) | page top↑
∫ 特殊関数
2011 / 03 / 25 ( Fri )
とりあえずのメイン目標は、量子力学(非相対論的な)を習得すること。
勉強したことのある人はわかると思いますが、
量子力学をやると、続々と、特殊関数が登場します。

シュレディンガー方程式の解が
調和振動子なら、エルミート多項式。
2次元井戸型ポテンシャルなら、ベッセル関数。
3次元井戸型ポテンシャルなら、球ベッセル関数。
球対称ポテンシャルなら、球面調和関数。
さらに、水素原子(クーロン)なら、ラゲール陪関数。

といったように、次から次から変な多項式や関数が登場して、
挫折の原因になるんですよね!(笑)

大学の教養課程では、数学は解析と線形代数の二本柱を中心に、
純粋な数学の色彩を帯びているので、
特殊関数のような各論はちゃんとやった記憶がありません(汗)

「微分方程式に解が一意的に存在する」という証明を
半年ぐらいやってたような記憶はありますが、
微分方程式の解き方はあまりちゃんと教わってなかったりして。。。
(それはそれで、面白いのは面白いんですけど・・・)

そこで、一度はきっちりと特殊関数の基本をマスターしたいな
と、常々思っておりまして、昨年は、特殊関数を中心に勉強してました。

使用テキストは、職場の先輩が持っていて、一目惚れして、即買いしたこの本!

物理のための応用数学
物理のための応用数学小野寺 嘉孝

裳華房 1988-03
売り上げランキング : 273443


Amazonで詳しく見る
by G-Tools


メジャーな特殊関数について、こんなに一つ一つ丁寧に
解説してある本はなかなかないんじゃないかなと思います。
すべて一貫して、母関数で定義して、級数表示やロドリグ公式、漸化式、微分方程式の
証明が省略されずに、きちんと載っています。
物理への応用例も載っているし、著者が抽象論よりも具体的なイメージを
重視する姿勢なので、わかりやすいです。

数学的に深い部分、特に複素関数論を必要とするところは、省略気味で、
もう少し深く知りたいなあと思う部分もありましたが、
とりあえず、特殊関数をある程度使えるようになりたいという人にはお勧めです!

他にも、フーリエ解析や変分法、デルタ関数、グリーン関数なども載ってますが、
さわり程度だと思うので、個人的には、特殊関数メインでの使用がいいのかなと思います。

この本のおかげで、エルミート、ルジャンドル、ラゲールあたりは
なんとなく理解できるようになったつもりですが、
特殊関数は、奥が深いですね!
これぐらいやっただけでは、使えるようになった気がしません。

特に、ガンマ関数、ベッセル関数あたりはほんとに難しいですね!
ひとえに、複素関数論の素養がないためなので、
複素関数論も一度、しっかりと勉強しなおす必要ありますね(汗)
12 : 35 : 29 | 数学(解析・関数論) | コメント(0) | page top↑
| ホーム |
上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。