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背理法の罠
2014 / 01 / 17 ( Fri )
久しぶりに、数学の話ですが、ほとんど数式を使わない簡単な話なので、
こちらに書きます。

ご存知の方も多いと思いますが、
「背理法」という証明法があります。

「Pであるならば、Qである」という命題を証明するのに、
わざと、「Qでない」と仮定して、矛盾を導き出して、
「よって、Qである」と結論付ける方法ですね。

抽象的だと分かりにくいと思うので、具体的で卑近な例をあげると、

「Aさんにアリバイがあるならば、Aさんは犯人ではない。」

という命題。背理法で証明できます。
証明は以下の通り。

「Aさんは、犯人である」と仮定する。

犯人ならば、犯行時刻に犯行現場にいたはずである。

しかし、Aさんは同時刻に、他の場所で目撃されている(アリバイ)

このことは、犯行現場にいたことと矛盾

よって、Aさんは犯人ではない(証明終了)


というわけですね!


ここからはちょっと数学の話。

この背理法、とても自然な手続きに思えるのですが、うっかりすると、
とんでもない結論を証明してしまう危険性がある
と気づきました。

たとえば、

a は実数とする。
a2 = -1 ならば a = 0 である。


という命題が背理法で証明できてしまいます。
やってみましょう!

a ≠ 0  (a=0ではない)と仮定する。

a は実数で、a≠0 だから、a2 > 0

このことは、a2 = -1 < 0  と矛盾する。

よって、 a = 0 である。

(証明終了)

いや、恐ろしいですね!
証明のどこが間違ってるのでしょう???

実は、証明はどこもおかしくないんです。

もともとの命題が論理学上、正しいんです!

この命題は、
実数で2乗したら -1 になるようなものが存在すれば、それは0である。

ということを言ってるにすぎないんです。

ご存知の通り、2乗してマイナスになるのは虚数ですから、
実数にこのような数は存在しません。

命題において、もともとの仮定がありえない仮定になっている場合は、
帰結が妥当であるか否かにかかわらず、論理学上は真となります。


なんだかキツネにつままれた感は否めませんけどね・・・

ということは、

太陽が西から昇るならば、
僕は指一本で幻想即興曲を弾けます。


という命題も正しいんですね(笑)

誰かをミスリードしたい場合には、背理法がおすすめです^^
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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

13 : 02 : 29 | 数学(高校+α) | コメント(4) | page top↑
∫ 99次方程式~解答編 (2)
2013 / 03 / 18 ( Mon )
昨年の99次方程式の問題の解答編がまだ終わってませんでした
問題をもう一度、掲載します。

問題

次の99次方程式を解け!(笑)

x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1 = 0

複素数の範囲で解をすべて見つけてください。



初めてご覧になって、挑戦してみたくなった方は、
以下の「続きを読む」をクリックしないでくださいね(笑)
続きを読む

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19 : 57 : 57 | 数学(高校+α) | コメント(0) | page top↑
∫ 99次方程式~解答編 (1)
2012 / 09 / 20 ( Thu )
先日の99次方程式の問題の解答編。

大学レベルの数学を使って、さらっと書いて終わりにしようと思ってたのですが、
一応、分かりやすく!というリクエストがあったので、丁寧に書いてみます(笑)

問題

次の99次方程式を解け!(笑)

x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1 = 0

複素数の範囲で解をすべて見つけてください。



まず、左辺の部分が等比数列の和に見えてくるでしょうか?

つまり、1をx倍すると、xになり、さらにx倍すると、x2になり・・・
というように、初項1、公比xの等比数列になっていますよね。

ということで、高校で習った等比数列の和の公式が使えるってわけです。
・・・と、公式を使っちゃってもいいのですが、
それでは、覚えてない人はガッカリでやる気を失うと思うので、
公式を使わずにやりたいと思います。

左辺の部分をSとします。
S = x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1

この両辺にxをかけると、
xS = x100 + x99 + x98 + ・・・ + x3 + x2 + x

そして、下の式から上の式を引いてやると、
間にある同じ項がすべて消えてくれて、
(x - 1) S = x100 - 1
となります。

ここで、xが1でなければ、両辺をx-1で割ることができるので、
まずは、xが1でないことを確かめておきます。

問題の式に戻って、x=1を代入してみると、
左辺は、1+1+1+・・・+1+1=100 となり、
右辺は0ですから、方程式が成立しません。

つまり、xは1ではない(x=1が解ではない)ことが分かります。
このことは、あとでも使うので、覚えておいてください。

というわけで、x≠1が確認できたので、x-1で割ってやると、
Sの式が求まります。
S = (x100 - 1) / (x - 1)
これぞ、等比数列の和の公式ですね!

これを元の方程式に戻してみると、
(x100 - 1) / (x - 1) = 0
となります。

これが満たされるのは、分子=0の時、すなわち、
x100 - 1 = 0
つまり、
x100 = 1
となるときです。

つまり、xは100乗して1になる数、すなわち、1の100乗根ということになります!

ただし、1自身も100乗して1になるので、1の100乗根の一つですが、
上で「xは1ではない」という確認をしたので、1だけは取り除かれます。

というわけで、
x = 1 1/100 (ただし、x=1を除く)

となります。

通常、n乗根は複素数の範囲でn個存在するので、1の100乗根は100個あります。
x=1を除くので、全部で99個あることになりますね。
99次方程式なので、99個すべて出そろったということになります。

これが答え!
と言ってしまってもいいと思うのですが、
これだとどんな数だかさっぱりイメージわかないと思うので、
次回記事で、もう少し分かりやすい表現に変えていきたいと思います(笑)

ここからは、大学レベルの数学を少しだけ使います。
と言っても、複素関数論の教科書の初めの数ページに書かれているような内容なので、
そんなに難しいわけではないのですが・・・

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23 : 51 : 25 | 数学(高校+α) | コメント(2) | page top↑
∫ 99次方程式
2012 / 09 / 06 ( Thu )
ちょっと面白そうな数学の問題を思いついたので、出題してみます。
(ひょっとすると、僕が知らないだけで、定番の問題なのかもしれませんが・・・)

問題

次の99次方程式を解け!(笑)

x99 + x98 + x97 + ・・・ + x2 + x + 1 = 0

複素数の範囲で解をすべて見つけてください。
代数学の基本定理から、解は最大で99個あるはずですね!

先日、mixiの方でつぶやいた時には、100次方程式にしてたのですが、
99次に変えました。
というのも、99次にすると、おもしろいことに、
実数解が一つだけ存在するんです!
その実数解は、たぶん、あてずっぽうでもすぐに見つけられますよね。
複素数の範囲だと、他にもたくさん解があります。

純粋に高校の範囲だと、残念ながら、たぶん最後の解までは行きつけなくて、
少しだけ大学レベルの数学を使います。
(ひょっとしたら、高校レベルで解けるエレガントな方法があるのかもしれませんが)

答えが分かったら、どんどんコメントしてくださいね!
しばらくしたら、別記事にて、解答をアップします!
・・・と言いつつ、自分で考えた解答なので、間違ってたらすみません(汗)

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19 : 25 : 05 | 数学(高校+α) | コメント(8) | page top↑
∫ iのi乗
2012 / 06 / 19 ( Tue )
追記 (2015/2/25)
ご指摘をいただき、この記事の内容は間違っていることが判明しました。
複素数では一般に指数法則が成立しないため、下記証明は成立しません。
正しくは、定義に基づいて、log を使って表し、
主値を取るという手続きを経由しなければならないようです。
詳細は、物理ブログの記事のコメント欄をご参照ください。


i の i 乗って、計算できますか?
(ここでいう i は、2乗したら -1 になる虚数単位の i のことです)

そもそも、i じたい訳のわからない数なのに、
それを i 回かけるって、意味分からない!


って感じですよね(笑)

まずは、天下のGoogle様にやっていただくことにしましょう。

Google画面で、「i^i」 と入力して、検索ボタンを押してみます。
(「^」の記号は、「○乗」の意味で、右肩の小さい数字が書けない環境で使う記号です)

すると、Google様は、ちゃんと計算して、答を出してくれるんですよ。

i^i = 0.207879576

驚くべきことに、虚数の虚数乗なのに、答えはなんと、実数!

これを自分で計算してみましょう。
実は、以前から記事にしているオイラーの公式

e ix = cos x + i sin x

を使うと、簡単にできます。

ここで、x = π/2 を代入すると、

cos (π/2) = 0
sin (π/2) = 1


なので、

e πi/2 = i

という関係が得られます。

これを用いると、

i i = [ e πi/2 ] i = e πi/2 × i = e -π/2

ここで、指数法則 [ e a ] b = e ab と、i2 = -1 を使いました。

というわけで、答は、

i i = e -π/2

となり、見事に i が消えてしまって、実数になるんですね!

これ以降は、電卓を使わないと計算しようがないんですが、
0.207879576という値になることが確認できます。
(気になる方は、Google画面で、「e^(-pi/2)」と打ち込んでみてください)

このように、オイラーの公式は、複素数の計算や理論で絶大な威力を発揮してくれます。

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00 : 26 : 09 | 数学(高校+α) | コメント(4) | page top↑
∫ 二択正誤問題の点数分布
2012 / 06 / 05 ( Tue )
以前にどこかのブログでちらっと拝見した話題で、

二択の正誤(○×)問題で0点を取るのは、100点を取るのと同じ難しさである!

というのがありました。

当然の話で、0点を取るのは、全問で確実に不正解をしなければならないわけで、
全部の正解が分かってないと、達成できないわけですよね。

確率的に正解するか間違えるかは半々だから、
50点が最も悪い成績で、20点を取った人の方が賢い
ということになります。

先日の虹コンの後のtsukupia☆メンバーでの打ち上げで、
その話題をしてみたところ、メンバーのある方から、

「0点が賢いのは分かるけど、20点が50点より賢いのは、なんか不思議!?」

というコメントをいただきました。

僕もなんとなく直感で50点が一番悪い成績だと思ったのですが、
そう言われると、ちゃんと説明できないなあ・・・と思って、
その後、少し考えてしまいました。

で、考えてみると、これって、単なる二項分布の問題なんですね!
(確率は苦手なので、ひょっとしたら考え違いをしているかもしれませんが・・・)

つまり、各問でデタラメに回答した場合、正解と不正解の確率は、それぞれ 1/2 ずつ。

N 問中、k 問正解する確率は、

P(k) = N C k ( 1/2 )k ( 1/2 )N-k

N C k は、N 個から k 個を取る組み合わせの数。

簡単のために、N = 100 とすると、ちょうど、k 問正解すると、k 点になるので、
その条件で計算してみると、点数分布はこんな感じに。

probability2choisesN100.jpg

グラフの見方ですが、
デタラメに回答した場合に、
偶然、50点になる確率が8%で、
偶然、20点になる確率が0.00000004%
という意味です。

この確率が低いほど、デタラメではなく、
ちゃんと理解して答えないと実現できない点と言うことになるので、
確率が低いほど、賢いわけです。

こうしてみると、明らかに、20点の方が成績がよいというのが一目瞭然ですね。

さらに、N=1000ぐらいにしてみたかったのですが、
このままでは、たぶん、計算桁数がオーバーフローしてしまうので、
中心極限定理で正規分布に近似して、計算しなければなりません。
その変換方法とか忘れてしまったので、やりませんが、
統計的に考えると、この50点のピークがどんどん鋭くなっていくと思われます。

なんか不思議なんですけど、問題数が多くなると、
ちゃんと理解してない人の点数は、みんな50点になっちゃうんですね(笑)

正誤ではなく、五択問題ぐらいになると、どうなるんだろう?と思って、やってみると、
今度は、正解の確率が 1/5、不正解の確率が 4/5 なので、

P(k) = N C k ( 1/5 )k ( 4/5 )N-k

probability5choisesN100.jpg

当然なのかもしれませんが、今度は、20点が一番成績が悪いことになりますね。
この場合でも、やはり、0点はそれなりに偉いんですね!(笑)

ということのようです、あるメンバーさん(笑)

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23 : 49 : 30 | 数学(高校+α) | コメント(12) | page top↑
∫ オイラーの公式 (4)
2012 / 05 / 11 ( Fri )
オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法を
いろいろ探しています。

今回は、正攻法で攻めてみようかなと思って、自分で考えた方法を紹介します。
ひょっとしたら、数学的に間違ってる個所もあるかもしれませんし、
逆に、ひょっとしたら、有名な方法なのかもしれません。
勉強不足なので、間違えていても、ご了承ください。

まずは、eixの正体が分からないと考えて、
eixを実部と虚部に分けて、
それぞれを実数関数 f (x)、g(x)で表す。

eix = f (x) + i g(x)

微分すると、
{eix}' = f' (x) + i g'(x)

一方で、指数関数として微分すると、
{eix}' = i eix = i { f (x) + i g(x) }
だから、
{eix}' = - g(x) + i f (x)

実部と虚部を比較して、

f '(x) = - g(x)
g'(x) = f (x)


という連立一階の微分方程式が出てきます。

この解は、いかにも

f (x) = cos x
g (x) = sin x


っぽいですよね!
これを証明できればいいわけです。

たぶん、微分方程式の解の一意性の定理から、
一個解が見つかっているならば、その解しかありえない!
と言って、煙に巻いてしまうこともできるのかもしれませんが(笑)、
一応、解は分からないという前提で話を進めます。

こういうのは正攻法では、たぶん、

関数を v = [ f, g ] とベクトル化して、
係数行列 A = | 0 -1 | を導入して、
         | 1 0 |

dv/dt = A v

と表し、Aの固有値と固有ベクトルを求めて、
ξ(x) = a f(x) + b g(x)
η(x) = c f(x) + d g(x)

といった2つの線形結合からなる関数の独立した微分方程式に分離する
というようなことをやるんだと思うのですが、

それをやると、おそらく、
f(x) = eix + e-ix
g(x) = eix - e-ix

といったような答になりそうな気がして、
結局、オイラーの公式を使わなければ、
cos x, sin xに行きつけなくなりそうな気がします。

そこで、別の方法を取ります。

以前に、この記事で紹介した山本義隆先生の「物理入門」で
オイラーの公式を用いずに、単振動の運動方程式を
見事に解いていた方法を使わせていただきます。

まずは、連立微分方程式の第1式に f(x)、第2式に g(x) を掛けて、足すと、

f (x) f '(x) + g (x) g '(x) = 0

これを x で積分すると、置換積分を使って、たとえば、

∫f (x) f '(x) dx = ∫y dy = y2/2 + C = {f (x)}2/ 2 + C

などとできて、結局、

{f (x)}2 + {g (x)}2 = C  (Cは定数)

という関係式が得られる。

この式から、(f(x), g(x)) は、
原点を中心とする半径 A = √C 上の円周上の点となるから、
θというパラメータを用いて、

f (x) = A cos θ(x)
g (x) = A sin θ(x)


と表せる(θはxに依存する関数)
(cos と sin を逆にすることができる任意性は、
θをπ/2-θとする自由度に含まれている)

これで、だいぶ近づいてきました!
(あとは、θ(x)の形を求めればOK!)

f(x)、g(x)を微分すると、合成関数の微分を使って、

f '(x) = - A θ'(x) sin θ(x) = - θ'(x) g (x)
g '(x) = A θ'(x) cos θ(x) = θ'(x) f (x)


元の連立微分方程式を満たすためには、

θ'(x) = 1

でなければならない。積分して、

θ(x) = x + x0 (x0は定数)

f (x) = A cos (x + x0)
g (x) = A sin (x + x0)


あとは、 x=0 の時の条件で、定数を決める。

e0 = 1 だから、 f(0) = 1、 g(0) = 0

g(0) = 0 で、A≠0 だから、x0 = nπ (nは整数)

f(0) = 1 より、次のいずれかである。

(i) x0 = 2nπ、A = 1

(ii) x0 = (2n+1)π、A = -1


いずれの場合も、

f (x) = cos x
g (x) = sin x


となるので、めでたく、証明ができました!

テーラー展開を使わない証明方法は、こんなところです。
やっぱり、テーラー展開を使った証明が一番わかりやすいんですけどね(笑)

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00 : 36 : 06 | 数学(高校+α) | コメント(0) | page top↑
∫ オイラーの公式 (3)
2012 / 05 / 11 ( Fri )
オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法をいろいろ探しています。

前回は、Wikipedidaに載っていた素晴らしい方法を紹介しました。

今回は、こちらの本に載っていた証明。

448601863Xオイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ
吉田 武
東海大学出版会 2010-01

by G-Tools


この本は、オイラーの公式を理解することを究極の目的にして、
初学者でも理解できるように、三角関数、指数関数、微分積分など
基礎事項を一からすべて説明してくれるという面白い本です。

僕は少し、本屋でパラパラと見ただけですが、
基本的には、テーラー展開できちんと証明するのを目的としているようです。
ただ、この本の中に、別の証明という形で
コラムのように掲載されていた証明があったので、
そちらに少しアレンジを加えて、紹介します。

まず、
f (x) = cos x + i sin x
と置き、最終的には、
f (x) = eix
となることを証明する。

まずは、f(x)を微分すると、
f '(x) = - sin x + i cos x
   = i ( i sin x + cos x )
   = i f (x)

となり、
f '(x) = i f (x)
という微分方程式ができる。

これは、高校で習う(今は習うかどうかは知りませんが・・・)
唯一のパターンである変数分離形の微分方程式

sin x と cos x は同時に0となることはないので、f(x) ≠ 0 だから、
両辺を f(x) で割って、
f '(x) / f (x) = i

両辺を x で積分すると、
∫[ f '(x) / f (x) ] dx = ∫ i dx

log f (x) = ix + C  (Cは任意定数)

f (x) = C eix

となり、初期条件

f (0) = cos 0 + i sin 0 = 1

から、C = 1 となって、

f (x) = eix

と導いています。
(うろ覚えなので、細部は違うかもしれませんが・・・)

すごくあっさり証明できてしまうのですが、
この方法では複素の対数関数logを使ってるのが分かりにくいかなと思います。
もちろん、複素の対数関数をしっかり定義すれば正しいとは思うのですが、

実数の対数関数の場合は、負数の対数が許されないので、
実関数の微分方程式では、普通、絶対値を取って、

log |f (x)| = ix + C

というように解くのが普通な気がします。
では、これが複素数になると、絶対値つけなくていいの?
となって、混乱が生じてしまいます。

そこで、これよりは少し煩雑になりますが、
あえて、対数を使わずに証明するよう、自己アレンジしてみました!

f '(x) = i f (x)

までは同じ。

ここから、x = -iz という変数変換を行います。
これは、 ix = z となるように狙っています。
もちろん、z は複素数になります。
変数変換は、高校数学の範囲でも、置換積分などで慣れていると思うので、
そんなに違和感はないでしょう。

変換後の関数を

f (x) = f (-iz) = g (z)

とかくことにします。

合成関数の微分公式を使って、

g '(z) = d{f (-iz)}/dz = f '(x) d{-iz}/dz = -if '(x)

f '(x) = if (x) だったので、

g '(z) = f (x) = g (z)

つまり、g(z)は、

g'(z) = g(z) 

というように、微分しても形が変わらない関数になります。

指数関数 ez

{ ez }' = ez

というように微分して形が変わらない関数なので、

g(z) = ez 

と言いたいところですが、ez以外にありえないということを
証明しなければ、他の関数も存在する可能性が出てしまいます。

そこで、このような関数 g(z) は、 C ez 以外にないということを示します。
(実際には、Cという任意定数がつきます)

ここからの証明は、こちらの本を参考にしています。
(ちなみに、この本は非常に骨太な名著で、いつか精読したいなあと思っています)

4130620053解析入門 (1)
杉浦 光夫
東京大学出版会 1980-01

by G-Tools


h(z) = g(z) / ez

という関数 h(z)を考える。

h'(z) = { g'(z) ez - g(z) (ez)' } / e2z
   = { g'(z) - g(z) } ez / e2z
   = 0


よって、h(z) = C (定数)

g(z) = C ez

というわけで、意外にも簡単に証明できて、

f (x) = C eix

となります。

あとは、先ほどと同様、f(0) = 1 から C=1 となり、

f (x) = eix

となって、めでたく、オイラーの公式が証明できたことになります!

次回は、もっと単純に思いつく正攻法で攻められないかなと思って、
自分で考えた方法を紹介します。
我流なので、数学的に穴があるかもしれませんが・・・汗

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00 : 18 : 35 | 数学(高校+α) | コメント(0) | page top↑
∫ オイラーの公式 (2)
2012 / 02 / 25 ( Sat )
オイラーの公式のテーラー展開を使わない証明法の話。

一つ目の方法は、Wikipediaに載っている方法で、
非常にだまされた気になるような証明ですが(笑)、
これなら、高校生でも十分理解できる素晴らしい証明ですね!

まずは、いきなり、

f(x) = (cos x - i sin x) e ix

という関数f(x)を考えます。
ここで、いきなり、なんで???と言いたくなるでしょうけど、ここはぐっと我慢(笑)

このf(x)を微分してみます。
積の微分は、
前を微分して、後ろを微分しないものと
前を微分しないで、後ろを微分するものとを足すんでしたね。

f'(x) = (cos x - i sin x)' eix + (cos x - i sin x) (eix)'
   = (- sin x - i cos x) eix + (cos x - i sin x) ieix
   = (- sin x - i cos x + i cos x + sin x) eix
   = 0

なんと素晴らしいことに、微分したら0になってしまうんです。
ということは、f(x)は定数ってことになります。

定数の値は、何か適当に x を入れれば、出てくるので、x = 0を入れると、

f(0) = (cos 0 - i sin 0) e 0 = 1

となるので、f(x) = 1 です。
つまり、
(cos x - i sin x) e ix = 1

ここまで来たらもう、求めたい eix の前についている
余計な因子で両辺を割ってしまえばよいだけです。

eix = 1 / (cos x - i sin x)

分母を実数化するために、複素共役 cos x + i sin x を分母分子にかけると、

eix = (cos x + i sin x) / (cos2 x + sin2 x)

cos2 x + sin2 x = 1 より、

eix = cos x + i sin x

となり、オイラーの公式が出てきます!

なかなかエレガントな証明ですよね!

ここで、なぜ、あの変な関数 f(x)を考えたか?ということを振り返ってみます。
実は、オイラーの公式に -x を入れてやると、

cos x - i sin x = e-ix

ということがすぐに分かるので、あの f(x)は、

f(x) = e-ix eix

を計算していることになるんですね。
この値は、明らかに1になります

でも、オイラーの公式を使ってないのに(証明したい式なので、使ってはいけない)
うまく1という答えを導き出しているのが、なかなかうまい証明ですよね!

この証明、ただ一点を除いて、高校数学の範囲で説明できます。
ただ一点というのは、微分するところで、何気なく、

( eix )' = i eix

とやりましたが、虚数が指数になっているときの指数関数も
このように微分できるかどうかは保証されてません。

結局、複素数の指数関数を高校では定義してないわけだから、
しかたないんですよね。
そもそも、複素数の指数関数をどう定義するかで証明も変わってきます。

テーラー展開で定義するならば、
テーラー展開からこの微分公式が成立することを証明しておくしかないですし、
逆に、このオイラーの公式を定義式にしてしまう流儀もあります。
そうすると、オイラーの公式を証明するのではなく、
この公式を前提として、逆に、指数関数の指数法則や微分の公式が
ちゃんと成り立つかを証明することになりますね。

まあ、でも、細かいことはさておき、この証明、ほんと分かりやすいので、
高校生に説明するには、お勧めの方法ですね!

他にもいくつかありますので、次回ご紹介します。

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23 : 31 : 45 | 数学(高校+α) | コメント(2) | page top↑
∫ オイラーの公式 (1)
2012 / 02 / 18 ( Sat )
前回の「0.999・・・=1」という記事で、哲学的な数式の話題になりましたが、
「哲学的な数式」と言われて、僕が真っ先に思い出すのは、
「オイラーの等式」でしょう。

小説「博士の愛した数式」でも登場した
「人類の至宝」とも「数学史上、最も美しい数式」とも言われている数式

e = -1

ほんと、美しいですよね!

e と π と i という言わば数学界の3大キャラ数字
一同に会すると、-1 などという純朴な数字になるんですから!

僕も中学の時だったかに、読み物系の本でこの式を目にしたときに、
「数学って、神秘的!」って思った記憶があります。

この等式は、「オイラーの公式」と呼ばれる、
e ix = cos x + i sin x

という公式に、x = π を入れるだけで出てきます。
cos π = -1、sin π = 0 だから。

そして、このオイラーの公式は、数学科の人しか使わないような高尚な公式ではなく、
物理系ではこれを知らないと生きていけないぐらいに頻出の公式。

そもそも、ほとんどの物理現象は、振動で表せるので、
sinやcosで表すことになるのですが、
sinやcosは、加法定理やら、倍角公式、半角公式、3倍角公式、合成・・・
と、たくさんの公式を覚えなくてはいけなくて、
うんざりしてくるんですよね。。。

ところが、このオイラーの公式で、sinやcosを eix に置き換えるだけで、
そんなもの何も覚えてなくても、
すべて、これ一台で計算できてしまうというすぐれもの!(笑)
・・・というわけで、この公式が重宝されるわけです。

で、この公式の証明が気になるわけですが、
一般には、テイラー展開を使うと、簡単にできます。
でも、テイラー展開は、高校数学レベルだと、ちょっとハードル高いですよね。

テイラー展開を使わない高校数学レベルで理解可能な証明方法ってないのかな?
とちょっと調べていたら、いくつかありそうですので、
次回から、紹介していこうと思います。

ただ、厳密な証明は、テイラー展開をしないとだめな気がするのですが、
その理由は、その時に述べようと思います。

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22 : 20 : 54 | 数学(高校+α) | コメント(6) | page top↑
∫ 0.99999・・・ = 1
2012 / 01 / 11 ( Wed )
最近、物理・数学編は、調和振動子の計算の記事ばかり書いていて、
さすがに、こんなのずっと書いててもなあ・・・と思えてきましたので(笑)
もう少し分かりやすい数学の記事でも書こうと思います。

0.99999・・・ = 1

って、正しいと思いますか?

この式は数学的に厳密に正しいのですが(僕の知る限り)、
これを知った時は、かなり意外だったのを覚えています。
だって、初めの桁からして、既に違ってますからね(笑)

ちょっと厳密性は欠きますが、
小学生でもわかる簡単な証明をまず紹介します。

まずは、0.99999・・・ を x と置きます。

x = 0.99999・・・   (1)

両辺を10倍すると、小数点が一桁右へ移動するから、

10 x = 9.99999・・・  (2)

(2)から(1)を引くと・・・

   10 x = 9.99999・・・
-)    x = 0.99999・・・
-----------------------------
    9 x = 9.00000・・・

小数点以下はすべて同じく9が続いているので、
引き算すると全部ごっそり消えてしまいます。

というわけで、

9 x = 9

となり、めでたく、

x = 1

という答が出ます。

なんか、だまされたような証明ですよね!
でも、答えは正しいんですよ。

高校レベルの数学を使うと、もう少しちゃんとした証明が出来ます。
それには無限級数を使います。

0.99999・・・は、無限級数で表すと、

0.99999・・・
= 9/10 + 9/102 + 9/103 + ・・・ + 9/10n + ・・・


初項が 9/10 で、公比が 1/10 の無限級数になります。
公比の絶対値が1より小さいと、この和、
和 = 初項 / ( 1 - 公比 ) に収束するので、

0.99999・・・
= (9/10) / ( 1 - 1/10 )
= (9/10) / (9/10)
= 1

となります。

なんか不思議ですよね!
でも、これはおそらく、「極限」というものがそのように定義されてるからなんです。

つまり、0.99999・・・はどこまで行っても、厳密に1にはならないのですが、
「限りなく、どこまでも近づけられる」というのを「極限」と定義して、
数学的なイコールで結んでしまおうと決めたからなんですよね。

ちょっと哲学的なにおいのするこの式、結構好きなんです(笑)

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00 : 20 : 42 | 数学(高校+α) | コメント(18) | page top↑
フライングガーデンの謎
2011 / 02 / 03 ( Thu )
お正月に録画しておいた「相棒スペシャル」を見ていたら、
爆弾殺人の話だったのですが、
フライングガーデン(※)が登場していました。
※「爆弾ハンバーグ」が人気の北関東のファミレスチェーン。

なかなか、芸が細かいですね~

ところで、このフライングガーデン。
金券半額デーというのがあって、お得ですよね!
現金で支払った分の半額が次回以降使える金券として
戻ってくるシステム。

この金券半額デーに通い続けると、いったいどうなるんだろう?

・・・と以前から思っていました。

毎回 a 円のものを食べるとして、
還元率を r (この場合は、r = 1/2)、
n 回目に現金で支払った金額を an とすると、

n 回目に現金で支払う金額は、
n-1 回目に得た金券分を差し引いて、

an = a - r an-1 ・・・(1)

となる。

この漸化式を a0 = a の初期条件で解く。

特性方程式は、

α = a - rα・・・(2)

(1)-(2)

an - α = - r { an-1 - α }
   ・・・
   = (-r)n { a0 - α}
   = (-r)n (a - α)

ゆえに、
an = (-r)n (a - α) + α

(2)を解いて、
α = a / (1 + r)

an = (-r)n r a / (1 + r) + a / ( 1 + r)
  = a { 1 - (-r)n+1 } / (1 + r)

無限に通ったとすると、n→∞

an → a / (1 + r)

還元率 r = 1/2 を代入すると、

an → 2/3 a

というわけで、最終的には、なんと、
毎回、33.333・・・% OFFで
食べられる状態になるようです!


・・・と、ここまで計算して、
よくよく考えてみると、当たり前のことでした。

2/3支払うと、その半額の1/3の金券がもらえます。
その金券で次回食べると、支払う金額は2/3。


これが永遠に繰り返されるわけですね!

恐るべし、フライングガーデン(笑)

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22 : 48 : 37 | 数学(高校+α) | コメント(0) | page top↑
ax^2 + bx + c = 愛
2011 / 02 / 03 ( Thu )
「容疑者Xの献身」のガリレオ(福山雅治)のセリフ
※開始直後のセリフなので、ネタばれではありません

もし、2次方程式が

ax2 + bx + c = 愛 

などであったならば、
そんなものは、解けはしない。。。


それを聞いて、いやいや、

ax2 + bx + c = i

だったら解けるんじゃないの?

と思った人は、僕以外にも少なからずいるハズ

というわけで、解いてみます。

ax2 + bx + (c-i) = 0

解の公式を用いて、

x = [ - b + { b2 - 4a(c-i) }1/2 ] / 2a

ここで、注意しなくてはいけないのが、
虚数単位の i が入ってしまっているので、
平方根は、複素数的意味での平方根として考えなければならない。

z = b2 - 4a(c-i)

とおくと、

z1/2 = √|z| exp{ i (θ+ 2kπ)/2 }
   = √|z| exp{ i (θ/2 + kπ) }

ここで、
    k = 0, 1
   θ = Arg z

k=0の場合の解 √|z| exp{ iθ/2 } を 
√z と表記すると約束すると、

k=1の場合の解は、
√|z| exp{ i (θ/2 + π) }
= √|z| exp{ iθ/2 } exp{iπ}
= - √|z| exp{ iθ/2 }
= - √z

すなわち、解は、

x = [ - b ± √{ b2 - 4a(c-i) } ] / 2a

となる。

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13 : 14 : 56 | 数学(高校+α) | コメント(0) | page top↑
円周率=3
2010 / 04 / 15 ( Thu )
円周率は厳密に3である!
(3.141592・・・なんかじゃなくて)
という見事な証明がアンサイクロペディアに載ってたので、
こちらで紹介させていただきます。

せっかくですので、数学の苦手な方にも分かるように、
なるべく分かりやすく説明してみたいと思います!
中学レベルの数学で理解できますので、気楽に読んでみてください。

まず、円周率は未知数なので、πとしましょう。

そして、πに3を足して、2で割った数をαとします。
つまり、
pi3proof01.jpg
πは未知数なので、αも当然、この時点では未知数です。

等式の両辺に同じ数をかけても、等式は成立しますから、
両辺に2をかけます。
pi3proof02.jpg
さらに、両辺にπ-3をかけましょう。
pi3proof03.jpg
括弧を外すと、
pi3proof04.jpg
となりますね。

ここで、右辺の変形がちょっと難しいでしょうか。。。
(π+3)(π-3)
=π(π-3)+3(π-3)
=π2-3π+3π-9
=π2-9
というように、ひとつひとつ丁寧にやっていけばOKですね。

もちろん、
(a+b)(a-b)=a2 - b2
という公式を知っていれば、すぐに計算できます。

そして、移項して、πの入っている項を右辺に、入っていない項を左辺に移動します。
左辺から右辺、右辺から左辺に持っていくときは、
符号を反転するんでしたね。
(例えば、右辺の-9は左辺に移す時、+9になります)
pi3proof05.jpg
等式の両辺に同じ数を足しても、等式は成り立ちますね。
そこで、両辺にα2を足します。
pi3proof06.jpg
ここからが一番難しいところでしょうか。
両辺ともに因数分解によって、このように変形できます。
pi3proof07.jpg
(a-b)2 = a2 -2ab+b2
という公式を覚えていれば、簡単なのですが、
公式を知らなくても、下の式から地道に計算すれば、
上の式と等しいことが分かります。

たとえば、右辺をやりましょう。
(α-π)2
=(α-π)(α-π)
=α(α-π)-π(α-π)
=α2-απ-πα+π2
=α2-πα-πα+π2
=α2-2πα+π2
という風に、上の式の右辺と一致します。
左辺についても、同様に一致することがわかります。

そして、2乗して等しいということは、中身が等しいということですから、
pi3proof08.jpg
となりますね。

最後に、両辺からαを引き算すると、αが消えて、
-3 = -π

πと3をそれぞれ逆の辺に移項すると、
見事に・・・
pi3proof09.jpg
という結果になります!

つまり、未知の円周率は、厳密に3であるということが証明できました!
π=3.0000・・・ってことが分かったので、これから計算するのが楽になりますね。
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ありえない入試問題 解答編 (2)
2009 / 07 / 22 ( Wed )
続いて、問2の解答編。

問2:犯罪行為である場合

コンビニ強盗がレジから10万円を奪い、逃走しました。
図のような碁盤の目状の道路を仲間が待つポイントまで最短経路で逃走するとして、
×印の検問に捕まらずに逃げ切れる確率はいくらか?
また、手にすることができる金額の期待値はいくらか?
(ただし、分岐点では等確率で→と↓を選択するものとします)

nyushimondai01.jpg
解答
これは、ちょっとした引っかけ問題です。
どこがひっかけなのかを説明する前に、まずは解答から。


上図の例のように、検問所へ最短経路で到達するには、
出発点(コンビニ)を含めて、必ず3回、分岐点(図中○印)を通る。

検問所に到達するのは、その3回の分岐のうち、
1回は右方向、2回は下方向を選択しなければならない。

それぞれの分岐点で分岐を決める確率は1/2なので、
3回分岐を選択して、一種類のルートを選択する確率は
(1/2)3 = 1/8

ルートの数は、3回のうち1回右方向を選ぶ組み合わせの数に等しいから、
3C1 = 3! / 2!1! = 3 (通り)

よって、検問所に至る確率は、
3 x 1/8 = 3/8

逃げ切れる確率は、その余事象だから、
1 - 3/8 = 5/8

逮捕された場合、奪ったお金は没収されるので、期待値は、
3/8 ×¥0 + 5/8 ×¥100,000 = ¥62,500

答え:逃げ切れる確率は5/8、期待値は¥62,500

間違い例
間違い例として、次のようなものが考えられます。

コンビニから仲間(ゴール)へ到達するすべての最短経路の数は、
合計6回、右方向と下方向を選択して、
そのうち3回右方向を選択しなければならないから、
6個から3個を選択する組み合わせの数に等しい。
すなわち、
6C3 = 6! / (3!3!) = (6x5x4) / (3x2) = 20 (通り)

そのうち、途中で検問所を通るルートの数は、同様の考え方で
検問所へ至るまでのルートの数が3C1
検問所から仲間までのルートの数が3C2なので、
3C1 x 3C2 = 3 x 3 = 9 (通り)

よって、検問所へ到達する確率は、9/20
逃げ切れる確率は余事象なので、
1 - 9/20 = 11/20

上の解答と答えが違ってますが・・・
さて、どこで間違えたのでしょうか???
続きを読む
22 : 02 : 30 | 数学(高校+α) | コメント(6) | page top↑
ありえない入試問題 解答編 (1)
2009 / 07 / 20 ( Mon )
まずは、問1の解答編。

問1:世俗的過ぎる問題
Aさんは実年齢34歳ですが、人前では若く見られるように、
適度にサバを読んでいます。
サバ分と嘘年齢を掛け算すると、168になるそうです。
さて、Aさんは何歳サバを読んでいるでしょうか?

解答
サバをα、嘘年齢をβとすると、
α +β = 34 ・・・①
また、サバと嘘年齢の積の条件から、
αβ = 168 ・・・②

ここで、二次方程式の解と係数の関係を用いると、
α、βは、二次方程式 x2 - (α+β) x +α β = 0
の解であるから、①、②を満たすα、βは、
x2 - 34 x + 168 = 0 ・・・③
の2つの解である。

左辺を以下のように平方完成して、
x2 - 34 x + 168 = 0
x2 - (2×17) x = -168
x2 - (2×17) x + 172 = -168 + 172
( x - 17 )2 = 121

両辺の平方根を取る。
x - 17 = ±11
x = 17 ± 11
∴ x = 28 または x = 6

ゆえに、以下の2つの場合のいずれかとなる。
(i) α = 28、β = 6
(ii) α = 6、β = 28


(i)の場合、28歳のサバを読んで、嘘年齢が6歳ということになるので、
いくらなんでも、サバの読みすぎ!!!
ということになり、「適度にサバを読んでいる」という題意に反するため、不適。

したがって、解は(ii)の場合となり、Aさんは、6歳、サバを読んでいる。

解と係数の関係を使いたくない方へ
②より、α≠ 0
β= 168 / α・・・④

これを①に代入すると、
α + 168 / α = 34
両辺にαを掛けて、
α2 + 168 = 34α
∴α2 - 34α + 168 = 0
となり、③と同じになる。

①、②の条件式は、α、β入れ替えても成り立つので、
βについても同じ式が成立するので、
α、βは
x2 - 34 x + 168 = 0 ・・・③
の2つの解である。
以下は同様。
18 : 16 : 24 | 数学(高校+α) | コメント(0) | page top↑
ありえない入試問題
2009 / 07 / 15 ( Wed )
入試にはありえないと思われる数学の問題を作ってみました。

問1:世俗的過ぎる問題

Aさんは実年齢34歳ですが、人前では若く見られるように、
適度にサバを読んでいます。
サバ分と嘘年齢を掛け算すると、168になるそうです。
さて、Aさんは何歳サバを読んでいるでしょうか?

問2:犯罪行為である問題

コンビニ強盗がレジから10万円を奪い、逃走しました。
図のような碁盤の目状の道路を仲間が待つポイントまで最短経路で逃走するとして、
×印の検問に捕まらずに逃げ切れる確率はいくらか?
また、手にすることができる金額の期待値はいくらか?
(ただし、分岐点では等確率で→と↓を選択するものとします)

nyushimondai01.jpg
(↑絵が汚くてスミマセン。ブログのお絵かきエディターを使ってみました)

一応、まじめに作ったつもりですが、出題ミスがあったら、スミマセン。
お気が向きましたら、コメントで回答して下さいね!

しばらくしたら、解答編をアップしたいと思います。
(間違ってるかもしれませんが・・・汗)
01 : 38 : 48 | 数学(高校+α) | コメント(6) | page top↑
人生の体感時間
2009 / 03 / 30 ( Mon )
久しぶりの「考察・仮説」シリーズ。

いきなりですが。。。
年を取ると、だんだん時が短く感じられませんか?
気も短くなりますが。。。

人生の体感時間(心理的な時間の長さ)を法則化した
ジャネーの法則」なるものがあるらしいんです。

Wikipediaの説明によると、
生涯のある時期における時間の心理的長さは年齢に反比例する
とされているそうです。

そこで、この法則に基づいて、人生の体感時間を計算をしてみることにしました。
実はその昔、学生時代、友達とこの計算をしてみたことがあったのですが、
その時は初期値を0歳にしたため、無限大に発散してしまって、
嫌になってやめてしまったんです(笑
今回、あるサイトでちょっとしたヒントを得ましたので、再び計算してみることにしました。

まずは、文字を定義します。
実際の時間(年齢)を t 、体感時間を T として(単位は年とします)、
その増加量をそれぞれ⊿t、⊿Tと書くことにします。
求めたいものは、t と T の関係式、T(t)です。

体感時間の進み方は、これまで生きてきた実際の時間(つまり年齢)である t に反比例するので、
jane_eq01.jpg
となります。 a は比例係数で、後で決定します。
変形すると、
jane_eq02.jpg
ここで、⊿t、⊿Tを微小量とすると(⊿t→0、⊿T→0)、
次のような微分方程式ができますね。
jane_eq03.jpg
これを解くと。。。
jane_eq04.jpg
ln というのは、自然対数のことでlogeと同じ意味です。
(注:大学以上では、こちらの表記を用いることが多い)
追記:数学的には、積分の中身は t とは異なる文字 t' を使って、∫(a/t') dt'と書くのが正しいです。

ここで、昔は、初期値を0歳、つまりt0=0としてしまったのが間違いの元で、
ゼロ割で無限大に発散してしまったわけです。

ところが、考えてみると、初期値を0歳にしても、そんなときのことなんて
覚えてないわけだから、意味ないですよね。
むしろ、興味があるのは、これからの人生!(爆

というわけで、現在を起点に考えることにします。
現在の年齢で体感している一年の長さを基準に考えると、
今後、100歳まで到達するのに体感で何年かかるか

ということを計算するわけです。

その方針で、まず、初期値 t0を現在の年齢にして、
時間も時間の進み具合も現在の実際の値と等しいとします。
jane_eq05.jpg
2番目の条件式は、微分形で書きなおすと、こんな感じになりますね。
jane_eq06.jpg
よって、比例係数 a が決定できます。
jane_eq07.jpg
これらを上で求めたT(t)の式に代入すると、最終式が出ます。
jane_eq08.jpg

それでは、さっそく、僕の現在年齢を入れてみましょう。
t0=37を代入して、グラフにすると、こんな感じになりました。
(本当は年齢を隠しておきたかったのですが。。。笑)
jane37.jpg
37歳が起点なので、37歳からスタートしています。
実際に100歳まで生きたとしても、今の体感時間を基準にすると、
73歳まで生きるのと同じ体感時間に短縮されます。
結構、短縮されているような。。。でも、そんなに短縮されていないような。。。
なんとも言えませんね。

いろいろな年齢を起点に計算してみたのが、こちら。
jane10-40.jpg

10歳の人はさすがに、かなり短縮されてますね。
今は僕の3倍以上、体感の一年が長いわけですからね。

というわけで、自分も10歳のころはこんな長い体感時間を生きていたわけですが、
今はすっかり忘却の彼方なわけで、
体感時間なんてものは、その都度どんどんリセットされていくので、
人生が短縮されたからといって、憂うることはありません!

という、なんだかわけのわからない結論になってしまいました^^;
是非、参考にしてみて下さい!(ってどう参考にしろって言うんだと言われそう)
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人類みな兄弟の数学的証明
2008 / 11 / 01 ( Sat )
家作りともピアノとも何の関係もないですが・・・
「人類みな兄弟」を数学的証明を考えてみました。
(本当は、人類みな親戚の証明です)

これって、誰もが考えそうな証明なので、実は有名なのかもしれませんが。。。

まずは、自分の親は父・母の2人ですね。

祖父母はというと、父母それぞれの両親ってことになるので、2×2=4人です。

そして、曾祖父母はというと、さらに2倍に増えて、2×2×2=8人です。

つまり、一世代さかのぼるごとに先祖の人数は2倍に増えるので、
N世代さかのぼった時の先祖の人数は、
2をN回掛けたもの、すなわち 2N となります。

ここで、210=1024≒1000 という便利な公式を使うことにします。
(証明は、2を10回掛けるか、Googleで「2^10」と入力してみてください)

そうすると、10世代さかのぼったときの先祖の人数はおよそ1000人となりますね。

さて、1世代=25年と仮定します。
昔はもっと低年齢で出産していたと思いますが、長めに見積もることにします。

そうすると、10世代=250年なので、250年前には先祖は1000人となります。

このペースで30世代=750年、さかのぼるとすると、
先祖の人数は、1000×1000×1000=10億人となり、
現在の日本の人口1億をあっという間に超えてしまい、
日本人はすべて先祖ということになりますね。
さらに3世代行けば、80億で現在の世界の人口も超えてしまいます。

さて、今から750年前というと、西暦1258年なので、鎌倉時代です。
人類がいなかったほどの昔じゃないんですね。

というわけで、
みんなが同じ先祖を共有しているということが
数学的には証明されてしまうわけですが、
社会的に考えると、昔は離れた地域の人たちの交流がほとんどなかったはずなので、
実際には先祖を共有しない場合も多いと思います。

つまり、10億人すべてが別人と考えたのが間違いなんですね。
実はかなり重複があるってことなんでしょうね。
近親結婚が多かったというのが証明されたことになるのでしょうか。
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