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♪ 4度進行の和声的説明
2014 / 07 / 30 ( Wed )
以前の記事で書いたいわゆる「4度進行」についての疑問。

前記事で紹介した分かりやすい方の和声解説本[1]を読み直していたら、
ちゃんと書いてありました!
前に読んだ時は斜め読みしてたので、読み飛ばしてたのかも^^;

疑問をもう一度整理しておくと、たとえば、Am調で

Am → Dm → G7 → C → F → Bm-5 → E7 → Am

という「4度進行」のコード進行は和声的にはどのように説明したらよいか?
という疑問です。

ポピュラーでは定番の進行ですが、クラシックでも出てきます。
イ短調では、ショパンのワルツイ短調遺作とか、インヴェンション13番とか・・・
長調では、モーツァルト K545第1楽章やショパンのエチュードOp.10-1 とか・・・

Am 調上の度数表記で書くと、

I → IV → VII7 → III → VI → II → V7 → I

ここで、 VII7 (G7) と III (C) をどう扱ったらよいのかが分からなかったのです。

あ、ほんとは短調では、和声的短音階の導音には# がつくので、
G7 は VII7 ではなく、♭VII7 と書くべきなんでしょうが、
こんな表記クラシックでもありなのかどうか・・・も分からず、
とりあえず、導音を半音上げない表記で、VII7 と書いておきます。

で、それはさておき、
VII や III は、めったに使用されないとかよく書かれているので、どうしたものか・・・

まず、 VII7 は、V9 の根音省略 V9 とみなせるかを考えました。
長調の場合、VII7 はV9 と同じになるので、それでも説明できそうですね。

今回の短調では、導音に # がつくため、うまくいきません。
つまり、Am 調の例だと、V には G音 ではなく、G#音 が入ることになるので、
もはや G7 ではなくなります。

次に、G7 が C 調の V 和音であることを思い出して、
III 調 (C) の副 V 和音 III/V7 である可能性を検討。
これなら、うまくいきそうです。
つまり、

I → IV → III/V7 → III → VI → II → V7 → I

これでもよさそうな気もするのですが、
その和声本[1]には、III や VII の 副 V 和音はめったに使用されない
みたいなことが書かれているので、どうなんだろう?

と思っていたら、和声本[1]にちゃんと今回のケースが書かれていることを発見!

「各音度の5度関連」という章に、

7個の音度上に形成される和音は、根音が順次に5度下行(4度上行)する関係
( I → IV → VII → III → VI → II → V → I )
で、連続的に用いられることが多い。


と書かれていました。
まさに、そのものではないですか!(笑)

このような場合には、VII は V7 とはみなさない。

のだそうです。そして、

(VII は)一種の D 和音と考えてさしつかえない。

III は T に準じて考えてさしつかえない。

のだそうで、

一般に、VII や III は、このような関連以外には、用いられることが少ない。

のだそうです(上の青字はすべて引用)

う~ん、納得しました!^^

結局、まとめておくと・・・

I (T) → IV (S) → VII (D) → III (T) → VI (T) → II (S) → V (D) → I (T)

と考えればよいということでしょうか。

それで、さっきの短調の導音に # の問題は、
このケースでは、VII が I の主音に解決するわけではなくて、
5度ずつ下行していくことが重要なのだから、
自然短音階の VII 和音で考えてよいわけですね。
(本には、短調の4度進行のことが書かれていないので、僕の憶測です)

というわけで、だから何なんだって話ですが、
ずっとモヤモヤしていた疑問が解消してスッキリです!(笑)

参考文献
[1] 島岡 譲 「和声と楽式のアナリーゼ = バイエルからソナタアルバムまで =」 (音楽之友社)
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19 : 46 : 32 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
♪和声の参考書
2014 / 07 / 30 ( Wed )
僕は和声の勉強に、主に次の2冊を使っています。

4276102138和声と楽式のアナリーゼ
島岡 譲
音楽之友社 1964-09-15

by G-Tools


こちらは、ブロ友さんのすすめで購入したのですが、
買ってみて大正解!
ほんとに、分かりやすくて、おすすめです!


薄い本ながら、実際に使う要点をしっかりおさえていて、
机上の空論的じゃなくて、実践的なのがありがたいですね。
例も豊富で、バイエルやソナチネなどなじみのある曲を使って説明してくれます。

あと、説明がほんとにうまくて分かりやすいです。
分かりやすすぎて、僕は3日ぐらいで読めました(笑)
もちろん、斜め読みですが、譜例を実際に弾きながら、
じっくり読んだ方がきっと理解は深まるんでしょうね^^;

下の本と違って、声部の進行ルールについては触れられていませんが、
その代り、和声だけでなく、ソナタ形式などの基本的な楽式についても載っています。

それから、クラシック向けの本なので、コードネームの付け方については載っていません。
でも、コードネームの付け方の解説なんて、
ネット上にいくらでもいいサイトがありますからね(笑)


4276102030和声の原理と実習
外崎 幹二 島岡 譲
音楽之友社 1958-11-05

by G-Tools


こちらは、もう少し本格的な解説書です。
こちらも、ブロ友さんが使用されているのを知ったのがきっかけ。
どうせ買うなら初めからしっかりしたものを買いたい主義なので、
実は初めに、この本の方を買いました。
(もう一つ上に、「芸大和声」という本がありますが、それはさすがに・・・汗)

よく見ると、同じ人が書かれてるんですね。
初め、まともに読もうとして、声部の進行ルールのところで、
あくび連発の末、挫折しました(笑)

その後、和音のところなどをつまみ読みすることにして、
すごく役に立ちました。
これしっかり読んだら、相当な知識レベルになりそうですけどね。
上の本は、この本の実践で重要な部分だけを抽出してくれたような本です(笑)

後半の「原理編」という章は、音楽の根本的なことが説明されていて、
非常に興味深いです。
いつか、しっかり読んでみたいところですね。

ところで、なぜこんな記事を書いたかというと、
最近、また和声を勉強していて、今まで疑問だったことが一つ解決したんです。
それは、次の記事で。。。

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12 : 33 : 18 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
♪ 和声分析
2014 / 03 / 01 ( Sat )
和声分析は、どうも苦手です!

というのも昔から分からないことがあって・・・

たとえば、ショパンの「ワルツ イ短調」。
(この曲を練習してるわけではなくて、例として分かりやすいので)

valse-a-moll-analize01.jpg
(クリックすると拡大します)

Am → Dm → G7 → C

ポップスでは、典型的な4度進行と言われるコード進行で、
4度ずつ上がって行くドミナントモーションを続けていくので、
心地よいのはよく分かるのです。

でも、調性で考えると、どう考えればよいのでしょう?

イ短調(Am)で考えると、
I → IV → VII7 → III
となり、「VII7」なんてわけわからないのが出てきてしまいます。

ハ長調(C)で考えると、
VI → II → V7 → I
となり、有名な「1625」の典型的なパターンの6から始まってる動きに見えます。

でも、ワルツイ短調って言うぐらいだから、
普通、曲の初めはイ短調ですよね。
(たまに違うこともありますが・・・)

とすると、
イ短調で始まって、G7のところでハ長調に転調していると考えるのでしょうか?
つまり、
a:I → IV → C:V7 → C:I

というわけで、コード進行としては、何の不思議もないのですが、
調性を軸に考えると、いつも分からなくなるんですよ。

インヴェンション13番。
invention13-analize01.jpg

これも同じパターンですが、
これは最終的にハ長調に落ち着くから、
Gのところで転調してると考えてしまえばいいんでしょうかね。

あんまりこだわっても仕方ない気もするし、
実際には、和音がどこで変わっているかと
ドミナントモーションの位置さえ分かればいいのかなという気もするので、
日頃は気にしてないのですが、分析は苦手です(^^;

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17 : 24 : 57 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
♪ 近親調の2つの定義
2012 / 05 / 29 ( Tue )
以前に「和声の原理と実習」という和声本を読んでいて、
以来、ずっと気になっていた一文があります。

近親調は、「調号が同じか、一つ違いの調」という定義の他に、

「原調の各音度上の和音をそれぞれ I と見るような調」

と定義することもできると書かれています(原文通りではありません)

この2つの定義が一致することを確かめるのは簡単で、

たとえば、C majorで考えることにすると、
第一の定義による C major の近親調は、下図のようになります。

F  ←  C  →  G
↑     ↑     ↑
↓     ↓     ↓
Dm ←  Am → Em 

一方で、C major の各音度上にある和音を並べると、
C Dm  Em F G Am Bm-5

Bm-5は、減三和音だから、主和音になりえないので、除外すると、
近親調の図とぴったり一致します。

他の長調についても、相対関係は同じなので、すべての長調に対して同様に一致する。

短調については、まず、A minor で考えると、
近親調の図は、上の図の、C と Am の役割を入れ変えただけで全く同じであり、
A minor の音度上にある和音も、
Am Bm-5 C Dm  Em F G
と、C major の時の順番を並べ替えて、
Amから順に始めただけで全く同じなので、一致する。

他の短調についても、相対関係は同じなので、すべての短調に対して同様に一致する。

よって、すべての調に対して、一致する!(証明終了)

ということで、
2つの定義が完全に一致することは確認できました。

ただ、なぜ、こんなにうまくいくんだろう?というのが疑問です。
必然的なことなのでしょうか???

それは、また後ほど考えることにして、
この第2の定義は、なかなかおもしろいなあと思うんです。

第1の定義だと、
元の調に対して、平行調以外の近親調には1個だけ固有音階音にない音が存在して、
その音を契機にして、近親調に転調を行うという側面が出てきますよね。

第2の定義だと、
そもそも、元々の調に近親調の主和音が隠されていて、
だからこそ、自然な転調ができると考えられるような気がします。

ちゃんと音楽理論を学んだわけではないので、
完全な素人考えですけど、
奥が深いなあと思ったので、記事にしてみました。

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00 : 59 : 34 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
♪ 4度進行
2012 / 01 / 09 ( Mon )
ポピュラーでよく使われるコード進行で「4度進行」と呼ばれるものがあります。

次のコードが前のコードに対して、4度上がる進行ですが、
古典的なカデンツで言うと、
ドミナント(属和音)→トニック(主和音)へ行く進行と同じなので、
非常に心地よいため、よく使われるようです。

クラシックだと、トニックへ解決したら、そこで終わりで、
またそこから新たなカデンツが始まりますが、
ポピュラーだと、その次もさらに4度上へ・・・というように、
ひたすら4度ずつ上がっていくような進行があります。

たとえば、イ短調(Am)の場合は、
Am → Dm → G7 → C → FM7 → Bm7-5 → E7 → Am
というように、一巡して、また元のAmに戻ってくるような進行です。

・・・と、コードネームで書かれてもピンとこない方も多いと思いますので、
適当にmidiを作ってみましたので、聴いてみて下さい。
(アレンジが下手で、すみません)
circleof4th.mid

おそらく、ああ、これか!?って感じだと思います。
数え上げたらきりがないぐらいいろんな曲に使われている定番の進行です。

僕は、昔からこのコード進行が大好きで、
このコード進行が使われている曲は、間違いなく好きです(笑)
逆に、この進行に乗せて作れば、
いくらでも僕の好きな曲が量産できるんじゃないかと思ったりもするぐらいです(笑)

高校時代、エレクトーンを遊び弾きしていた頃から、
このような好きなコード進行を何種類か丸暗記して、弾いてました。

この4度進行は、理屈が分かりやすいですが、
曲に自分でコードをつけようと思った時には、
コード進行の理屈が今もあんまり分かっていないので、
とりあえず、思いつくコードをいろいろ鳴らしてみて、
一番しっくりくるものを選んでいるという感じです。

しっくりくるものがあればいいのですが、
これが一番ましかな?と思うようなコードしか見つけられないこともあり、
逆に、これがすごくしっくり来るんだけど、
このコードって何?ということもあり・・・

やはり、ポピュラーのコード進行も勉強してみたいなあと最近、思っています。
完全な理屈があるわけではないかも知れませんが、
定番の進行ルールなどがわかると、あてずっぽよりは、探しやすいですよね。
何かいい本とかあるかなあ。
探してみたいと思います。

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18 : 01 : 56 | 音楽理論 | コメント(8) | page top↑
♪ 自分仕様のコード表 (1)
2011 / 12 / 15 ( Thu )
以前、自分仕様のカデンツ練メニューを作ろうといろいろ試行錯誤してましたが、
結局、ハノン39番カデンツがいいのかな・・・という気がしてきました。

ところが、どうもこれが覚えられないんです。

僕は左脳人間なので、五線譜のお団子から和音を作るより、
言語っぽさのあるコードの方がしっくり来るなあと感じています。

お団子の方がすべての調に対して、お団子を平行移動するだけなんだから、
どう考えても機能的だという気はするんですけど、
やっぱり左脳人間には、絵的なものは辛いようで
(理想は、お団子派なんですけどね・・・

というわけで、
全調の各度数の和音に対するコード表を作ろう!
と思い立ったのは、だいぶ前になるんですが(汗)
当初は、こんなものを考えてました。
(中身は間違ってるかもしれません・・・)

IIIIIIIVVVIVII
CCDmEmFGAmBm-5
AmAmBm-5CaugDmEFG#m-5
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

各調に対して、I~VIIまで単純に並べただけのものです。

でも、ハノン39番カデンツとリンクして覚えてしまうことを考えると、
ハノンカデンツの順番でコード表記しておいた方がいいですよね。
というわけで、こんな感じ。

III71I2V7IVVIIII
CCDm7/FC/GGFAmEm
AmAmBm7-5/DAm/EE7DmFCaug
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


I~V7 までは、ハノンカデンツの順番で、
そのあとに、IVとVIとIIIも一応、作っておこうかなと(VIIもいるかな?)

24個の調を全部、自分で作成するのは気が遠くなるので、
プログラミングして自動作成したいなあと、もくろんでおります。
この重い腰があがったら・・・(笑)

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13 : 01 : 16 | 音楽理論 | コメント(6) | page top↑
♪ 自分仕様のカデンツ練 (3)
2011 / 09 / 11 ( Sun )
このネタ、かなり引っ張ってますね(笑)

自作カデンツ練習メニューを作ってみたものの、
自作メニューではちょっと、和声感を鍛える意味では難しいということでしたが、
よくよく考えてみると・・・

典型的なカデンツで構成されている既存の曲を
移調して使えばいいのではないかと。


というわけで、バイエルとかツェルニーとかで、
典型的なカデンツになっている部分を抜き出して、
移調すれば、それ自体も勉強になるし、一挙両得!(笑)

高級なクラシックは、やはり原調で味わいたいと思うので、
やはり、練習曲系になってしまいますよね。

絶対音感がある方は、
やめてくれ~!気持ち悪い!ってなると思いますが、
幸い、絶対音感が全くないので、移調って平気なんですよ。

まあ、めんどくさいので、ほんとにやるかどうかは別ですけどね(爆)

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22 : 41 : 33 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
♪ 自分仕様のカデンツ練 (2)
2011 / 09 / 10 ( Sat )
とりあえず、やっぱり、楽譜にしてみたいということで、
Studio ftn Score Editorというフリーソフトを
インストールして作成してみました。

昨日、NaGISAさんがコメント欄ですぐに作成して下さったのですが、
自分なりに修正したいところもありましたので・・・

作成した楽譜は、こちら!(クリックすると、拡大します)

selfmadekadenz.jpg

こうやって、楽譜を作ってみると、
楽譜の知識がないことに愕然としますね。
拍子やら、終止の記号やら・・・
ソフト使ってさえも、どう書くんだっけ?と、悩んでしまいました。
まだ、間違ってるかもしれません(汗)
手書きなんて、ト音記号、どう書いていいかすらわからないので、
とても出来ません(汗)

さっそく、ピアノで演奏してみたのですが、
各声部の音域や進行ルールを完全に無視してるため、
(カデンツとしての進行ルールは守ってるつもりですが・・・)
まったく、進行感がなくて、きれいに聞こえないですね!(汗)

たぶん、最上声が旋律になっていないのが、一番の原因だと思いますが、
基本形を覚えるのが目的なので、仕方ないですかね。

きれいに聞こえないと、練習する気がなくなるのが、悩みどころ(笑)
やっぱり、ハノンのカデンツはきれいだから、
やる気にもなれるんですよね。

ちなみに、このソフトでmidiも作成できたので、
張り付けておきます。
selfmadekadenz.mid
(音量が大きいので、要注意!)

midiで聴くと、きれいに聞こえなくもないんですが、
ピアノで弾くと、いまいちなんですよ。

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13 : 38 : 58 | 音楽理論 | コメント(6) | page top↑
♪ 自分仕様のカデンツ練
2011 / 09 / 09 ( Fri )
前記事で書いたように、
ハノン39番の全調カデンツにはいくつか不満があるので、
自分仕様のカデンツ練習メニューを作ってみようと考えています。
「改めて、記事にする」と言って、すぐにちゃんと続編書くのは極めて珍しいかも・・・笑

まずは、ハノン39番カデンツの不満点。

hannon39kadenz01.jpg

左手で和音をつかむ練習にならない
左右全体で和音を構成しているため、左手がシンプルすぎですよね。
どちらかといえば、左手で和音をつかむケースの方が多い気がするのですが。
そこで、両手ともに和音をつかむような練習にしたい。

転回形になっている
I - II71 - I2 - V7 - I で、
Iの第2転回形は、ドミナント機能上、意味がありますが、
II7の第1転回形は、特に転回形の意味がなさそうに思うので
むしろ、基本形で覚えたい。

IVがない
主要和音である、IVがありません。
考えてみたら、II7の根音(II)を省略すると、IVになるので、
II7の和音を覚えれば、IVも同時に覚えられることにはなるんですが、
独立して覚えた方がすっきりしますよね。

・・・と、いろいろと不満がありまして(笑)、
自分仕様の練習メニューを作ってみたいと思っている次第です。

もちろん、ハノン先生(正確にはアノン先生)は、
各声部の動きも考えて、このようにされているというのは承知しているので、
ケチをつけているわけでは決してありませんよ(汗)
声部の進行ルールって、かなり厳しいみたいなので・・・

で、自分仕様の練習メニューは、
各調の主要な和音を覚えることが目的なので、
各声部の進行ルールは完全に無視します!

左右それぞれで独自に和音を作ることにして、
Iの第2転回以外は、すべて基本形にして、

I - IV - II7 - I2 - V7 - I

という感じでいかがでしょうか?

・・・と言われても、楽譜にしないと、さっぱり伝わらないですよね(笑)

手書きで楽譜を書くのもめんどくさいし、
楽譜作成ソフトをインストールするのもめんどくさいので、
そのうち、楽譜にしてみたいと思います。

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23 : 23 : 05 | 音楽理論 | コメント(4) | page top↑
♪ 自分仕様の五度圏表
2011 / 06 / 30 ( Thu )
自分のためだけに、思いっきり自分用途にカスタマイズした
自分仕様の五度圏表を作ってみました!

#
b
長調短調#, b がつく音短調
導音
7C#A#mF#C#G#D#A#E#B#Gx
6F#D#mF#C#G#D#A#E# Cx
5BG#mF#C#G#D#A#  Fx
4EC#mF#C#G#D#   B#
3AF#mF#C#G#    E#
2DBmF#C#     A#
1GEmF#      D#
0CAm       G#
1FDmBb      C#
2BbGmBbEb     F#
3EbCmBbEbAb    B
4AbFmBbEbAbDb   E
5DbBbmBbEbAbDbGb  A
6GbEbmBbEbAbDbGbCb D
7CbAbmBbEbAbDbGbCbFbG


一応、wikipediaを参考に作ったのですが、
間違ってるかもしれませんので、ご注意ください!
特に、短調(和声的短音階)の導音は、自分で考えたので、間違ってる可能性大です。
間違ってたら、修正しますので、教えて下さると助かります^^;

「五度圏」って、普通、円で書かれることが多いですが、
ブログだと、円は描きにくいし、円だと書ける情報量も少ないので、
四角い表にしてみました。
地球儀を開いて、平面にしたメルカトル図法みたいなもんですかね(笑)

青字は、新たに追加される調号です。
転調を見つけるときに便利そうなので、色変えました。

赤字は、和声的短音階の導音として、変化する音です。


しかし、こうやってみると・・・
当然と言えば当然ですが、かなり、規則的に並んでますね!

#のところを横に見ていくと、
一個おきに、F→G→A→B と C→D→E 
という風に上がっていくだけですし、
♭の方は、その逆順になってるだけ。

覚えようと思えば、覚えられそうですが、
覚えるまでは、この表を参考にしようと思います。

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23 : 16 : 31 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
♪ 全音階の構成音が7個である理由
2011 / 06 / 23 ( Thu )
昨日の記事で全音階の構成音が7個である理由について。

理由が分かったというのは、さすがに言いすぎですが、
6個の場合と8個の場合を考えてみたところ、
やはり、7個が最適であるということが分かったので、
なんとなく、納得できました!

例のごとく、嘘くさいので、話半分か1/10ぐらいに読んでいただければと思います(笑)

前記事同様、完全5度をベースに音階を構成することにします。

Cから完全5度ずつ積み上げていくと、
C→G→D→A→E→B→F#→C#→G#→D#→A#→F→C

となり、12回繰り返した後に同じC音に戻り、12個の半音階が生成されます。
ここまでは、ピタゴラス音律による半音階の生成そのもの。

で、問題は、結局のところ、
この12個の半音階のうち、何個を選んで全音階を構成すればよいかということ。

もっと簡単に言えば、このうち何個を白鍵に割り当てるべきかということ。

まずは、半音階を12個の音に一番下の音のオクターブ上の音を追加して、
13個の●であらわすことにします。

●●●●●●●●●●●●● (13個、ただし両端は同じ音)

通常の全音階では、このうち7個の音が白鍵になり、
C●D●EF●G●A●BC

●は黒鍵の音のままなので、
●が入っているところは、全音、
●が入っていないところは、半音になります。 

次に、8個の場合を考えます。

ここから、もう1個白鍵に変えなければならないので、
例えば、その音をXとでもすると、
C●D●EF●GXA●BC
というような感じになります。

もちろん、この並びに限りませんが、どのように追加したところで、
どうしても、白鍵が3つ連続して並んでしまいます
ということは、半音が2つ連続してしまうということを意味し、
3度離れた音なのに、全音分しか離れていない箇所が出てしまいます。
(この例では、GとA)

それがダメとは言い切れないかもしれませんが、
音が偏り過ぎていて、バランスとしては、あまりうまくなさそうです。

追記(6/24):
半音が連続しない構成として、
CC#●D#E●F#G●AA#●C
というのは、ありえますね・・・^^;


次に、6個の場合を考えます。

今度は、さらに、1個白鍵の音を間引かなくてはなりません。
たとえば、Fを消去して、
C●D●E●●G●A●BC
という感じになるでしょう。

そうすると、黒鍵が2つ並んでしまうことが分かります。
つまり、ある2音の間が全音+半音(全音1.5個分)も離れてしまう
ような状況が起きてしまいます(この例では、EとG)
これはこれで、バランス悪いですよね。

実は、ひとつだけうまい方法があって、
C●D●E●F#●G#●A#●C
というように並べると、
6個の音をすべて全音できれいに並べることができます。
(F#、G#、A#は白鍵にするという意味)

一見、これでいけると思ってしまうのですが、実は落とし穴が!
完全5度は、半音7個分(つまり奇数)の音程だったことを思い出すと、
半音が含まれていないと、完全5度の関係が実現できません。

つまり、上のような並べ方をすると、
完全5度の関係にある2音が全く存在しないということになってしまいます。
音の調和で最も重要な完全5度が存在しないのは問題ですよね。
(逆に、この音階、どんな響きなのか、ちょっと興味はありますが・・・)


というわけで、長くなってしまいましたが、
6個でも8個でもあんまりうまくいかないことが分かりました。
やはり、7個が最適ということのようですね。

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23 : 56 : 06 | 音楽理論 | コメント(4) | page top↑
♪ 音階の不思議
2011 / 06 / 23 ( Thu )
僕は音階について考えるのが好きなのですが、
考えれば考えるほど、
音階って不思議なんです!

そのうちのほとんどは、不勉強だからであって、
ちゃんと勉強したら不思議でもなんでもないことかもしれませんが・・・

まず、第一の疑問。
なぜ、全音階は、音が7個なのか?

別に、西洋音楽に限らなければ、7個ではない音階だって、
たくさん存在していることは知っています。
そういう文化だからしょうがないと言われればそれまでかもしれませんが、
西洋音楽において、7個の音階がよかった理由みたいなものはあるんでしょうか?

それに関連して、
この7個の音階がどのようにして出来たか?
というのも疑問です。

いろいろ調べると、最も自然に思えるのは、ピタゴラス音律をベースにした説明。

Cから完全5度ずつ上に積み上げていくと、

C→G→D→A→E→B→F#

となります。
ここで、最後のF#をCの完全5度下にあるFに修正して、

C→G→D→A→E→B→F

という説明がよくなされているように思います。

しかし、これは、結局のところ、

F→C→G→D→A→E→B

というように、Fから始めればいいわけですよね。

おそらく、調性というものが認識されて、
現在の長調全音階では、Cが中心音になるということが分かっているので、
Cからスタートさせた説明だと思うんです。
つまり、調性まですべて理解されている現代での後付けの説明ですよね。

本当に初めに7つの音が作られたのは、どういう経緯によるんだろう?
というのが疑問です。

ひょっとしたら、西洋(古代ギリシャとかローマとか?)では
理論よりも前に経験的に7つの音が重要だということが知られていて、
さらに、そのうち、Cが中心点であることを知っていて、
それをピタゴラス学派が理論立てたところ、
完全5度を使ってうまく説明できたということなのでしょうか?

それとも、教会旋法のドリアンやら、なんちゃらかんちゃらだと(笑)、
中心点(終止音?)が始まりの音とは限らないみたいなので、
Cが中心点と考えられるようになったのは、もっと後の時代のことなのでしょうか?

ただ、教会旋法にしても、7個の音を使うのは変わりませんよね。
そうすると、7個という数には何かしら重要な意義があったように思います。

それから、もし、ピタゴラス音律をベースに音階が作られたとすると、

C→G→D→A→E→B→F#→・・・

をそのまま続行すれば、12個行ったところで、
Cに戻って、より均一性のよい半音階が生成できることには
気づいていたはずだと思うので、半音階が主流になっていてもおかしくない気がします。

半音階だと、調性がないので、全音階が定義されたのかもしれませんが、
その頃に調性という概念があったのかどうか・・・
それから、どうして、7個がよかったのか・・・
やっぱり、疑問は残りますね。

さらに、疑問に思うのが、
完全5度の関係で素直に並べると、

F→C→G→D→A→E→B

ですが、
この調の主音がCという2番目に位置するのがすごく不自然に思えてなりません。
初めか最後ならすっきりするんですが・・・

このように、分からないことばかりですが、
ちゃんと、音楽の歴史を勉強すれば、分かるのでしょうか?

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00 : 19 : 09 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
♪ ピアノの物理
2011 / 05 / 19 ( Thu )
先日のボルチモアの学会では、業者の展示会が併設されるのですが、
そこでは海外出版社のブースもあり、物理関係の洋書がたくさん並びます。

今や、洋書もアマゾンで簡単に買える便利な時代になりましたが、
実際に中身を閲覧できる機会は日本ではあまりないので、
この機会に、いつも立ち読みしまくります(笑)

そこで、見つけた意外な一冊!

Physics of the Piano
Physics of the PianoNicholas J., Sr. Giordano

Oxford Univ Pr (Txt) 2010-08-20
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このタイトル、日本語に訳せば、「ピアノの物理」です!
この本を見た瞬間、目が釘付けになってしまいました。
売約済になっていたにもかかわらず、中身を拝見させていただきました。

音の物理、ピアノの力学的な物理・・・
なかなか、興味深い内容です。

アマゾンで、中身閲覧の機能でも、少し中を見ることが出来ます。
目次が見れるので、書き写しました。
(和訳は、勝手に僕がつけました)

1. Introduction
  序章
2. A brief introduction to waves and sound
  波と音に関する入門
3. Making a musical scale
  音階をつくる
4. Why the piano was invented: A little history
  なぜ、ピアノは発明されたか
5. Making music with a vibrating string
  弦の振動で音を奏でる
6. Hitting strings with hammers
  ハンマーで弦を叩く
7. The soundboard: Turning string vibrations into sound
  響板:弦の振動を音に変える
8. Connecting the strings to the soundboard
  弦から響板へ
9. Evolution of the piano
  ピアノの進化
10. Psychoacoustics: How we perceive musical tones
  心理音響学:どのように音を感じるか
11. The magic of Steinway
  スタインウェイの魔法
12. What physics can and cannot teach us about pianos
  物理の教えてくれるものと教えてくれないもの

ね、すごく興味深い内容ではありませんか?

日本語でも同じような本が出てるかもと思って、
アマゾンで「ピアノ」と「物理」で検索してみたら、ありました!
(注意:上の本の日本語版ではありません。別の本です)

楽器の物理学
楽器の物理学N,H. フレッチャー T.D. ロッシング Neville H. Fletcher

シュプリンガー・フェアラーク東京 2002-10
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この本は、ピアノだけでなく、打楽器、管楽器も含めて、
いろんな楽器の物理が論じられています。
(目次は、リンク先のカスタマーレビューに掲載されています)

中身閲覧もできたので、見てみたところ、
こちらの本は、完全な物理学の本のようですね!(笑)

初めから、弦の振動、膜の振動の理論ですから。
おそらく、三角関数、ベッセル関数の嵐ではないかと・・・
物理を勉強したことのない方には、かなりきつそうな内容です。

他には、こんな本もありました。

ピアノの音色はタッチで変わるか―楽器の中の物理学
ピアノの音色はタッチで変わるか―楽器の中の物理学吉川 茂

日経サイエンス社 1997-06
売り上げランキング : 509338


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どの本も興味深いですね!
いずれ、読んでみたいです。

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23 : 28 : 21 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
♪ 長調対称性の破れの真相
2011 / 02 / 04 ( Fri )
発表会の記事を書かなくてはいけないのですが・・・
その前に分かってしまったので、こちらの記事を先に!

以前に、「なぜ、『変』な長調が多いのか?」という記事で、
#系の長調に「嬰」がつく数に比べて、
♭系の長調に「変」がつく数が多いのはなぜか?

という記事を書き、これを「長調対称性の破れ」と命名しました。

一応、理由を説明できたものの、
その原因が必然なのか偶然なのか分からなかったのですが、
実は必然というか、至極当然の結果であることに気づきました!

単に僕が無知なだけだったようです。。。
あんな怪しげな考察記事を書いてしまって、ちょっと恥ずかしいですね。

その理由とは、
単に、古代ギリシャ時代に考えられたピタゴラス音律において、

Cから上に完全5度ずつ上がった6音に
C→G→D→A→E→B
Cから下に完全5度下がった1音
F←C
を加えた7つの音で全音階を構成したからです。

その結果、Cを中心に考えると、上に上がる方(嬰種)には#がつきにくい
ってだけでした。

これが逆に、下に行く方で全音階が構成されてたら、
まったく逆の非対称性が現れてたんでしょうね。

特に本質的理由ではなく、単なる歴史的経緯ということだったようですね。

ピタゴラス音律を知らなかったわけではないのですが、
半音階が構成できるということしか理解していなくて、
全音階との関連性を知りませんでした。

楽典などを読んでも、まず「全音階ありき」で書かれていますからね。
どうして、こういう全音階になっているかを考えませんでした(言い訳^^;)

恥ずかしい記事を書いてしまいましたが、
過去記事は記念に残しておいて、
こちらの記事へのリンクをつけておこうと思います。

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23 : 41 : 59 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
♪ なぜ、「変」な長調が多いのか?
2010 / 11 / 09 ( Tue )
いきなり、意味不明なタイトルでスミマセン・・・
また、怪しげな考察記事を書かせていただきます。
(専門家でないので、間違ってるかもしれません)

ご存知のとおり、長調(長音階)には、ハ長調を除くと、
♯の調号がつく嬰種長音階と♭の調号がつく変種長音階がありますね。

これをハ長調からスタートして、五度圏にしたがって、
順々に属調(下属調)を6個ずつ書き出してみます。
(面倒な方は、Wikiの五度圏の図を眺めて下さいね)

嬰種長音階(属調)
ハ長調→ト長調→ニ長調→イ長調→ホ長調→ロ長調→ヘ長調

変種長音階(下属調)
ハ長調→ヘ長調→ロ長調→ホ長調→イ長調→ニ長調→ト長調

もう、お気づきでしょうか?
「嬰」に比べて、「変」がつく「変」な調が明らかに多すぎですよね!

というわけで、ここでは、
素粒子物理学における「CP対称性の破れ」(ノーベル賞の小林・益川先生の話)になぞらえて、
「長調対称性の破れ」と命名することにしましょう!(笑)

今回は、この対称性の破れの謎に迫ってみます!
(というほど、偉そうなものではありませんが・・・)

まず、嬰種長音階を作る過程から見てみます。
ハ長調の属音(第5音)であるト音を主音にして、そのまま音階を作ると、
音の間隔が
全・全・半・全・全・半・全
となってしまうので、これを長音階の
全・全・半・全・全・全・半
に修正するために、第7音に#をつけるんでしたね。
以下同様に、属調を作るたびに第7音に#がついていきます。

それでは、変種長音階を作る過程を見てみます。
ハ長調の下属音(第4音)であるへ音を主音にして、そのまま音階を作ると、
全・全・全・半・全・全・半
となってしまうので、これを長音階の
全・全・半・全・全・全・半
に修正するために、第4音に♭をつけます。

ここがポイントです!
第4音(下属音)に♭がついてしまうんです!

次に下属調を作る際に主音にしようと思っている下属音に
あろうことか、♭をつけてしまうわけですから、
当然、次から作る下属調がすべて、「変○長調」になってしまわざるをえない

というわけなんです。

というわけで、長調対称性の破れの原因がめでたく解明できましたね!

これが何かの偶然なのか、はたまた、音楽に内在する必然なのかまでは
僕の知るところではありませんが、これって、有名な話なのでしょうか?
あまり、言及している記述を見たことがなかったので、記事にしてみました。

よく見ると、短調の方では、「嬰」が多いような気もしますね。
そのうち、考えてみます(笑)

追記:2011/2/4
その後、この現象は、不思議でもなんでもなくて、
至極当然の結果だということに気づきました。
真相は、こちらの記事を参照して下さい。
長調対称性の破れの真相

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20 : 13 : 48 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (10) 周波数比と美しい響きについての考察 (7)
2010 / 04 / 19 ( Mon )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


長々と連載してきました「周波数比と美しい響きについての考察」ですが、
そろそろ、「うなり」の計算にも飽きてきましたので、最後にします(笑

最後に、平均律の場合の倍音のうなりを計算してみました。

純正律では、周波数比がなるべく簡単な整数比になるように調律されますが、
平均律では、半音階の周波数比が等間隔になるように調律されます。

オクターブの周波数比が1:2というのは変えられないので、
(変えたら、同じ音ではなくなってしまいます)
半音12個分でちょうど2倍の周波数比になるように決められます。

半音の間の周波数比を1:x とすると、
xを12回掛け合わせると2になるということから、
heikinritsueq01.jpg
つまり、
heikinritsueq02.jpg
これを満たすような数x は、
heikinritsueq03.jpg
と書いて、「2の12乗根」と呼ばれます。

2の12乗根は無理数なので、どんな複雑な整数を持ってきても、
整数比であらわすことができません。
というわけで、今までの議論でのp:q のp とq が無限に大きい場合に相当し、
倍音が無限に続くとすれば、無数のうなりで埋め尽くされることになります。

それでは、今回もA音とその完全5度上のE音の間の
倍音のうなりを計算したいと思います。

完全5度の間には、半音は7個分あるので、
A音の周波数を440Hzとすると、E音の周波数は、
heikinritsueq04.jpg
となります。

計算結果はこちら。
今回も可聴限界を考えて、倍音をN=16(4オクターブ)に制限したので、
無数のうなりは現れませんが、うなりが生じていることが分かりますね。
fbeatcomparison02.jpg

一方、純正律の場合は、以前にも掲載した通り、うなりは現れません。
(0Hzはうなりではありません)
fbeatcomparison01.jpg

今まで長々と連載してきましたが、この2枚のグラフを見比べるだけで十分ですね!

ただ、Wikipediaなどを読む限り、「周波数比と音の美しさの関係」については、
実際のところ、完全には解明されていないようです。
うなりがあっても、それが逆に音に味を与えるという要素もありますしね。

というわけで、うなりの話はこれぐらいにして、ようやく、次回から本題の
「純正律から平均律が近似できる理由」の考察に挑みたいと思います。

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23 : 43 : 20 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (9) 周波数比と美しい響きについての考察 (6)
2010 / 04 / 03 ( Sat )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


やり残した整数論の証明を行っておきます。
本題にはほとんど関係ありませんので、数学嫌いな方はスルーしてくださいね。
このネタも少し疲れてきたので、さらっとすませます(笑

このままだとちょっと証明しにくいので、少し式を変形。
うなりの式は、
harmonicbeateq04.jpg(1)
でしたが、絶対値が面倒なので、±をつけて、絶対値を除去。
harmonicbeateq12.jpg(2)
かっこを外すと、
harmonicbeateq13.jpg(3)
そして、m、nの前に±がついているので、
m、nの範囲を正の整数から負を含めたすべての整数に拡張して、
harmonicbeateq14.jpg(4)
と表せます。
ここで、
harmonicbeateq15.jpg(5)
で表される整数NがN=0、±1、2、3、・・・のようにすべての整数を取りうる
ということを証明します。
このことが証明できれば、うなりの最低周波数がN=1の時のf0となることが言えます。

式を変形したことで、2つの弊害が考えられます。
①負の整数が現れる
m、nの符号を反転させることによって、絶対値が同じ正の整数が必ず存在します。
正負両方に同じ整数が組になって現れるだけなので、問題はありません。

②和の周波数が含まれる
うなりは差の周波数ですが、変形によって和の周波数も含まれてしまいます。
和の周波数は必ず、元の音の周波数よりも大きい周波数になりますが、
興味のあるのは低い周波数領域なので、問題ありません。

というわけで、式の変形は問題ないことが分かりましたので、
証明に移ります。

互いに素な2つの整数p、q に対して、
harmonicbeateq15.jpg(5)
で表される整数Nは、すべての整数をとりうる
ことを証明します。

そのために、まず、
2つの整数p、q に対して、
harmonicbeateq15.jpg(5)
で表される整数Nは、p、q の最大公約数のすべての倍数を取りうる
ことを証明します。
これが証明されれば、互いに素な場合は、最大公約数が1ですから、
1のすべての倍数、つまり、すべての整数を取りうることが証明されたことになります。

p、q の最大公約数をk として、次の2段階で証明します。
①まず、整数Nは必ず、kの倍数になっていることを証明。
②次に、kの倍数すべてを取りうること(穴がないこと)を証明。

①の証明
p、q の最大公約数をkとすると、ある整数p'、q' に対して、
harmonicbeateq16.jpg(6)
と表せる。
harmonicbeateq17.jpg(7)
となり、mp'+nq' は整数であるから、Nは必ず、kの倍数である。

②の証明
整数Nの集合のうち、最小の正の整数をN0(>0)とする。
0はNの形で書き表される数の一つであるから、
ある整数m0 、n0 に対して、
harmonicbeateq18.jpg(8)
と書き表せる。

これから、Nの集合のすべての整数がN0の倍数になっていることを示す。
NをN0で割ったときの商をQ、余りをRとすると、
harmonicbeateq19.jpg(9)
余りR が割る数N0 よりも大きくなることはないので、
harmonicbeateq20.jpg(10)
の大小関係がある。
(8)式を(9)式に代入。
harmonicbeateq21.jpg(11)
変形すると、
harmonicbeateq22.jpg(12)
となり、m-m0Q、n-n0Q も整数であるから、
Rも(5)式の形で表される整数Nの一つであることが分かる。

しかし、(10)の大小関係があるので、Rが正の数(R>0)であるとすると、
0がNのうち、最小の正の整数であるという仮定に反する。
ゆえに、R=0(余りが0)でなければならない。

つまり、すべてのNはN0で割り切れることになり、
すべてのNはN0の倍数であることが示された。
言い換えれば、0は、すべてのNの公約数である。

ここで、整数p、q は、
harmonicbeateq23.jpg(13)
と書けるから、p、q 自体もNの形であらわせる整数のうちに含まれる。
よって、0はp、q の公約数でもある。(結論A)

一方、上の①の証明の結論より、すべてのNは、p、q の最大公約数kの倍数であるから、
当然、Nのうちの一つである0は、p、q の最大公約数kの倍数である。(結論B)
結論Aと結論Bより、
0は、p、q の最大公約数kそのものでなければならない。
ゆえに、
harmonicbeateq24.jpg(14)
となる。

これより、(8)は、
harmonicbeateq25.jpg(15)
となり、すべての整数sに対して、
harmonicbeateq26.jpg(16)
が成立することから、
すべてのkの倍数もNの形であらわされる整数に含まれる。

これで、めでたく、
Nは、すべてのkの倍数を取りうることが証明できました。

p、q が互いに素ならば、k=1なので、
harmonicbeateq27.jpg(17)
というように、Nはすべての整数を取りえます。

和の形では、必ず、Nはp、q以上になるため、
p、q よりも小さい範囲では、必ず差となって現れるはずなので、
harmonicbeateq28.jpg(18)
が言えます。

そこで、うなりの周波数は、
harmonicbeateq29.jpg(19)
となり、最低周波数はf0であることが証明されました。

以上で、証明終了!
今回は、疲れて見直す気力がありません。
間違ってたら、どなたか教えてくださいね!

参考にしたサイト:
和歌山大学森杉先生の講義資料

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00 : 10 : 32 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (8) 周波数比と美しい響きについての考察 (5)
2010 / 03 / 27 ( Sat )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


さて、今回は実際に、倍音のうなりの周波数をすべて、
コンピュータで数値計算して、検証してみましょう。

プログラムは、こんな感じの至って簡単なもの。

#include <iostream>
#include <math.h>

void main()
{
  const int N = 16; //倍音の数
  const double f1 = 440; //周波数1 (Hz)
  const double f2 = 660; //周波数2 (Hz)

  for(int m=1; m<=N; m++){
   for(int n=1; n<=N; n++){
    double f = fabs(m * f1 - n * f2); //うなりの周波数
    std::cout << f << std::endl;
   }
  }
}


Nは、計算する倍音の数。
まずは、人間の可聴限界を考えて、4オクターブ上までということで、
N=24=16に設定。

プログラムは、2つの音の基音~16倍音のすべての倍音どうしのうなりの周波数
(合計16x16=256個)を計算して、出力します。

fabs()は、math.hのライブラリに入っている絶対値を返す関数ですが、
条件分岐を使って、自作してもそんなに大したことないでしょう。
たとえば、こんな感じでしょうか。
    double f = m * f1 - n * f2; //うなりの周波数
    f = (f>=0) ? f : -f;  //絶対値

(ただし、この部分は動作チェックしてないので、動く保証はありません)

それでは、計算結果です。
まずは、純正律にぴったり合わせた場合。
周波数比が完全に2:3の場合(p = 2, q = 3)
横軸が周波数を表していて、赤線が出ているところがうなりがある位置を表します。
fbeatgraph01.jpg
前回の数式では、最低周波数f0=220(Hz)ということでしたが、
実際、220Hz間隔にうなりが出ていて、最低が220Hzであることが分かりますね。
ちなみに、0Hzのところにも出ていますが、
0Hzとは、完全に同じ周波数に一致していることを意味しますので、
うなりは発生しません。

気になる低周波領域(上のグラフの楕円で表示したところ)を拡大してみましょう。
fbeatgraph02.jpg
やはり、0Hz以外に存在しませんね。

次は、純正律からずれた場合です。
周波数比が200:301の場合(p = 200, q = 301)
fbeatgraph03.jpg
上の例に比べると、0Hzのあたりが太くなっていますね。
そこで、拡大してみると・・・
fbeatgraph04.jpg
今度は、0Hz付近の低周波領域にうなりが発生していることがわかります。

でも、ちょっとおかしなことが。
確か、前回の数式による解析では、最低周波数はf0=2.2(Hz)だったはず。
にもかかわらず、このグラフでは4.4Hzになってますね。

これは、倍音の数Nを16個に制限したのが原因。
前回の解析では、倍音が無限に続くという仮定を置いていました。

そこで、可聴限界をはるかに超えてしまいますが、
N=100にして計算してみたのですが、
なんと、それでも4.4Hzになってしまいました

こうなったら、意地でも・・・というわけで、
パソコンに奮起してもらって、
N=1000にして、1000×1000=1000000個のうなりを
計算してみたところ、こんな風に。
fbeatgraph05.jpg
ようやく、2.2Hzのうなりが登場してくれました。
というわけで、現実には必ず最低周波数のうなりが出てくるとは限らないようですが、
周波数比が複雑になると、低周波領域にうなりが出てくるということは、
これで検証することが出来ました。

次回は、やり残した整数論の証明をやるか、あるいは、
マニアックついでに、平均律の完全5度の場合のうなりを
計算してみるかもしれません。

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00 : 45 : 20 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (7) 周波数比と美しい響きについての考察 (4)
2010 / 03 / 26 ( Fri )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


このシリーズ、かなり長編になってきましたね。
まだ、本題の平均律の分析にも入ってないのですが・・・

さて、前回までの数学的な考察で、
周波数比が簡単な整数比になるほど、低周波領域に倍音のうなりが少ない
ということが分かりました。

今日は、具体例をあげて説明したいと思います。
整数比の中で最も簡単な整数比は、1:2。
これは、オクターブ(8度)の音程ですね。

そして、次に簡単な整数比は、2:3。
純正律では、完全5度の音程がこの整数比に調律されます。

この完全5度音程を例に説明していきましょう。
周波数の基準となる中央のA音を440Hzとして、
とその完全5度上のE音とのうなりを考えます。

周波数比が完全に2:3の場合(p = 2, q = 3)
2つの音の周波数は、
A音: f1 = 440 (Hz)
E音: f2 = 440 × 3/2 = 660 (Hz)


前回の記事で、倍音のうなりの最低周波数f0 は、
harmonicbeateq05.jpg
と表せることが分かりましたので、
0 = f1 / p = 440 / 2 = 220 (Hz)
となります。

220Hzといえば、このA音の1オクターブ下のA音の周波数ですので、
音として認識されたとしても、うなりとしては認識されません。
これが最低周波数のため、これよりも低い周波数領域にはうなりは存在しないので、
うなりとして認識されるような低周波のうなりは存在しないことになります。

周波数比が200:301の場合(p = 200, q = 301)
純正律からわずかにずれて、比が200:301になった場合を考えます。
注:ここで、うっかり、201:300を考えてはいけません。
なぜなら、201も300も3の倍数なので、アホになる・・・じゃなくて、
互いに素でなくなり、最も簡単な整数比ではなくなるからです。


このとき、2つの音の周波数は、
A音: f1 = 440 (Hz)
E音: f2 = 440 × 301/200 = 662.2 (Hz)


うなりの最低周波数は、
0 = f1 / p = 440 / 200 = 2.2 (Hz)
となり、今度は先ほどの例とは異なり、かなり低い周波数になってしまいます。
1秒間に2.2回のうなりなら、十分、うなりとして認識されますね。
さらに、2.2Hz、4.4Hz、6.6Hz、・・・というように、倍数のうなりが存在しますので、
今度は、低周波領域に不快なうなりが多数存在することになります。

次回は、コンピュータでうなりを数値計算して、
実際にそうなっているかどうかを確かめてみたいと思います。
しかし、どんどんマニアックになってるな(いつものことだけど・・・)

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01 : 31 : 35 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (6) 周波数比と美しい響きについての考察 (3)
2010 / 03 / 21 ( Sun )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


まずは、前回の記事での間違いの訂正です
(元記事も既に訂正済み)

p と q が互いに素であるならば、
N=1、2、3、・・・というようにすべての正の整数を取りうる


と書いてしまいましたが、よく考えたら、
条件が足りなかったかもしれません。
少し、条件を追加して、

p と q が互いに素であるならば、
整数Nは、p、qよりも小さい範囲では、
N=1、2、3、・・・というようにすべての正の整数を取りうる


なら、合ってると思います、たぶん。

この証明はややこしいので、後回しにしまして・・・
この結果を利用して、結論を先に述べたいと思います。

N<p かつN<q の小さい範囲においては、
N=1、2、3、・・となるということですから、
うなりの式
harmonicbeateq11.jpg
から、うなりの周波数は、f0、2f0、3f0、4f0、・・・となることが分かります。
つまり、最低のうなりの周波数はf0 ということになります。

このf0という周波数が何だったかを思い出すと、
harmonicbeateq05.jpg
というように、定義したんでしたね。
音の周波数を比の整数で割ったものでした。

2つの音が簡単な整数比になる場合(例えば、2:3のように)、
比の整数p、q は小さいわけですから、うなりの最低周波数f0は大きな値となります。
つまり、低い周波数領域にはうなりは存在しないことになるわけです。

逆に、2つの音が複雑な整数比になる場合(例えば、2000:3001のように)、
比の整数p、q は大きいので、うなりの最低周波数f0は小さな値となります。
つまり、低い周波数領域にうなりが多数存在することになってしまいます。
このうなりの存在が和音の響きを損なう原因になっていると考えられます。

というわけで、ようやく、
「周波数が簡単な整数比になるほど、和音の響きが美しい」
のメカニズムを説明することができました。

とはいっても、この説明、抽象的すぎて分かりにくいかと思いますので、
次回から具体的な数字を入れて、もう少し分かりやすく説明したいと思います。
なんだか、このシリーズ、やたらと長編になってる気もしますが。。。

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00 : 04 : 07 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (5) 周波数比と美しい響きについての考察 (2)
2010 / 03 / 15 ( Mon )
注意:
この記事の内容は、すべて我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


さて、前回までに、倍音のうなりの周波数を表す式を導きました。
harmonicbeateq11.jpg(1)
今回からは、この式の意味することを考察していきたいと思います。

「うなり」とは、ある音階の音の音量が大きくなったり小さくなったりする現象。
ということは、その音階の周波数に比べて十分小さい周波数である
ことが前提の話ということになります。
言いかえれば、
音そのものの振動よりも十分にゆっくりとした揺らぎでないと、認識できない
ということです。
人間の耳の知覚を考えても、あまり速い揺らぎは聞き取れないので、
ゆっくりとした音量の揺らぎの方が不快感を与えると考えていいでしょう。
その意味で、音の響きを損ねるのは、低周波数のうなりである
と考えることにします。

それを踏まえて、もう一度、(1)式を眺めてみると、
この式が表すbeatの中で、最低の周波数がいくつか
ということが問題となりますね。
それが低い周波数であればあるほど、音の濁りの原因になると考えられます。

それを考えるためには、
整数Nがどのような整数を取りうるか
ということが重要となります。

たとえば、N=1,2,3,・・・とすべての整数を取りうるならば、
beat=f0,2f0,3f0,・・・となり、最低の周波数はf0となりますが、
もし、N=100,200,300,・・・というように100の倍数しか取りえないならば、
beat=100f0,200f0,300f0,・・・となり、最低の周波数は100f0となってしまうので、
結果は全然異なってしまいます。

つまり、
harmonicbeateq06.jpg(2)
であらわされる整数Nがどのような整数を取りうるかを考えなければなりません。

ここで、ちょっと厄介な整数論が出てきて、僕も実は苦手なのですが、
結論から言いますと、
p と q が互いに素であるならば、
整数Nは、p、qよりも小さい範囲では、
N=1、2、3、・・・というようにすべての正の整数を取りうる

ということが証明できるようです。
前回、pとqが互いに素であることが重要だと書いたのは、このためだったんですね。

追記(3/19):上記、たぶん間違ってました。
「p、qよりも小さい範囲では」という条件を追加しました。

こんなのは、僕にはとても独力で証明できるわけありませんが、
参考になるサイトがいろいろありましたので、その力をお借りして、
次回、証明していこうと思います。
気が重いので、次回の更新が先になるかもしれませんが・・・(笑

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00 : 34 : 30 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (4) 周波数比と美しい響きについての考察 (1)
2010 / 03 / 13 ( Sat )
さて、いよいよ、
「周波数が簡単な整数比になるほど、和音の響きが美しい」
の謎にせまっていきたいと思います。

これまでの要点は以下の通り。
ここからの考察で必要な知識はこれだけです。

うなり
周波数のわずかに異なる2つの音を同時に鳴らすと、
音が大きくなったり小さくなったりする。
うなりの周波数は、2つの周波数の差に等しい。
例:440Hzと441Hzの2つの音を鳴らした場合、うなりの周波数は、441-440=1Hz。
つまり、一秒間に一回の周期で音が大きくなったり小さくなったりする。

倍音
ある音を鳴らすと、その周波数の整数倍の音が同時に鳴る。
例:220Hzの音を鳴らした場合、440Hz,660Hz,880Hz,・・・の音が同時に存在する。

さて、それでは、考察を進めていきたいと思います。
その前に・・・
注意:
ここからは、全く我流の考察ですので、正しい保証はありません!
筆者は、音楽理論なるものをかじったことすらありませんので、ご了承ください。


いきなり、3つ以上の和音を考えるのは複雑すぎるので、
2つの音の重音で考えることにします。
3つ以上の場合でも、例えば、ドミソの和音の場合、ドとミ、ミとソ、ドとソの
3パターンの重音を合わせたものというように考えられるからです。

そこで、2つの音の周波数をf1、f2とし、
周波数比は次のような整数比で表されると仮定します。
harmonicbeateq01.jpg(1)
ここで、比はこれ以上簡単にできない整数比とすることが重要です。
つまり、たとえば、2000:3000などは、
最大公約数の1000で割って、最も簡単な整数比2:3で表現することにします。
このように、1以外の公約数をもたない(最大公約数が1の)
整数の組を数学的には「互いに素である」と言います。
pとqは互いに素な整数と仮定します。

(1)式から、
harmonicbeateq05.jpg(2)
というように周波数f0を定義して、f1、f2は、
harmonicbeateq02.jpg(3)
と表せます。

1の倍音はmf1(mは整数)、f2の倍音はnf2(nは整数)と表されるので、
倍音どうしのうなりの周波数は、その差(の絶対値)であるから、
harmonicbeateq03.jpg(4)
(3)の式を代入すると、
harmonicbeateq04.jpg(5)
と書けることになります。

さて、m、n、p、q はすべて整数なので、
harmonicbeateq06.jpg(6)
も整数となり、
harmonicbeateq11.jpg
という形に書けることになります。

次回から、この式の意味を考えていくことにします。
少々、面倒な整数論が出てきますが、よろしくお付き合いくださいね。
・・・って、もう十分、面倒ですかね(汗

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23 : 57 : 22 | 音楽理論 | コメント(0) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (3) 倍音
2010 / 03 / 08 ( Mon )
今回は、「倍音」とは何かについて。
これも、高校物理の復習です。

「倍音」とは、ある音に対して、その音の整数倍の周波数を持つ音のこと。
単音を鳴らした場合でも、必ず、倍音の成分が存在します。

もともとの音(基音)の周波数をfとすると、
harmonicseq01.jpg
という倍音が存在します。

倍音がどうして存在するかを考えるために、図のようなピアノの弦を考え、
弦の長さをLとし、弦の方向にx軸を取ります。
(実際のピアノはもっと複雑みたいですが、単純化しました)
harmonics05.jpg
ハンマーが弦をたたくと、弦に波が起こります。
X軸正の方向(右)に進む波をΨ+ 、負の方向(左)に進む波をΨ-とすると、
harmonicseq02.jpg
と書き表せます(周波数をf、波の速度をvとする)

これらの波は、動かない弦の端(固定端)で反射されて
両方向に行ったり来たりするので、最終的に
正方向と負方向の波が重なり合った状態になります。

それをΨと書くと、
harmonicseq03.jpg
となります。

ここで、前回の記事でも用いた三角関数の和→積の公式
beateq05.jpg
を使うと、
harmonicseq04.jpg
という積の形に変形できます。

この式をよく見ると・・・
前半のsinの部分は、時間(t)のみに依存していて、
後半のcosの部分は、空間(x)のみに依存しています。
つまり、この波は左右に進んでいく波ではなく、一か所に止まっている波です。
波の振幅は、場所によって異なっていて、cosが0となる場所では振動しません。
このような波は定常波(定在波)と呼ばれます。

この式をさらに変形します。
波の速度v、周波数f、波長λの間には、
harmonicseq05.jpg
の関係がありますので、波長λで書くと、波は、
harmonicseq06.jpg
と書けます。
つまり、波の振幅の絶対値は、波長の半分の周期λ/2で0になったり、最大になったりする
ということが分かります。

弦の両端(固定端)は動けないので、振幅は0にならなければなりません。
そのような波長の振動だけが生き残るということです。
その条件は、「弦の長さが波長の半分の整数倍になる」ということです。
harmonicseq08.jpg
つまり、許される波長は整数nによって、とびとびの値をとり、
harmonicseq09.jpg
となります。

ここで、
harmonicseq07.jpg
の関係がありますから、許される周波数fの値もとびとびになり、
harmonicseq10.jpg
となります。
harmonicseq11.jpg
と書くことにすると、
harmonicseq12.jpg
となり、許される周波数fは、f1の整数倍ということになります。

ここで、f1は基音です。
そして、fnはその整数倍なので、これらが倍音であることが分かります。

ここまでは、数式だらけで分かりにくかったと思うので、
図で説明してみます。

こちらが基音の振動の様子(n=1の場合)。
弦の両端が固定されていて、振幅が0になっているのが分かります。
harmonics01.jpg

そして、倍音はこんな感じになります。
harmonics02.jpg
harmonics03.jpg
harmonics04.jpg
弦の両端の振幅が0になるために、
弦の長さLの間に半波長λ/2がちょうどn個分入っている状態のみが許されます。
これによって、整数倍の周波数の倍音のみが許されることになります。

というわけで、「うなり」と「倍音」の基本が分かったところで、
次回は倍音のうなりについて、考察してみたいと思います。

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00 : 45 : 48 | 音楽理論 | コメント(5) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (2) うなり
2010 / 02 / 28 ( Sun )
まずは、
「周波数が簡単な整数比になるほど、和音の響きが美しい」
のはなぜだろう?というところから。

そもそも、「美しい」なんて言うのは心理的な話なので、
福山雅治さん扮するガリレオ先生に聞こうものなら、
「実に非論理的である。」と言われておしまいな気もしますが(笑

一応、倍音のうなりが少ないという物理的要素もあるので、
そのあたりを確かめてみようと思います。

今回は、「うなり」とは何かについて。
高校物理を復習しておこうかなと思います。

「うなり」(beat)とは・・・
わずかに異なる周波数の2つの音を同時に鳴らすと、
音が周期的に大きくなったり小さくなったりする現象。

音は、空気の振動なので、三角関数で書けます。
beateq02.jpg(1)
Ψ0は波の振幅、fは周波数、tは時刻、
φは初期位相(t=0のときにどこから始まるか)を表します。

少し簡単にするために、振幅Ψ0=1としてしまって、φも省略して、
beateq01.jpg(2)
と書くことにします。

うなりを考えるために、
周波数のわずかに異なる2つの音波Ψ1、Ψ2を考えます。
周波数をそれぞれ、f1、f2とすると、
beateq03.jpg(3)

2つの音を同時に鳴らすということは、足し算すればいいので、
beateq04.jpg(4)
となります。

ここで便利なのが、三角関数の和→積の公式。
beateq05.jpg(5)

これを用いると、足し算が掛け算に変わって、
beateq06.jpg(6)
となります。

ここで、f+ と f- は、
beateq07.jpg(7)
と定義しました。

さて、Ψの式(6)の意味を考えたいと思います。
こういうときは、具体的な数字を入れてみるのが一番!
というわけで・・・
f1=110Hzf2=100Hzのわずかに異なった周波数の場合(差は10Hz)を考えます。

このとき、
f+ = (110 + 100)/2 = 105 (Hz)
f- = (110 - 100)/2 = 5 (Hz)

となり、
f+ は、元々の周波数 f1 と同程度の速い振動ですが、
f- は、ゆっくりとした振動であることが分かります。
つまり、(6)式のsinの部分は速い振動、cosの部分はゆっくりとした振動を表します。
このゆっくりとした部分の振動が「うなり」に相当するわけですね。

グラフに書いてみると、2つの音の振動はこんな感じになります。
f1 = 110Hz
beat01.jpg
f2 = 100Hz
beat02.jpg
2つの音は周波数が微妙に違うのですが、見てもわかりませんね。
重ねて書いて、拡大してみると、少し違ってるのが分かると思います。
beat03.jpg
この2つの音を足し合わせると、このようになります(式(6)のグラフ)
beat04.jpg
音が大きくなったり、小さくなったりしているのが分かりますね。
赤線の振動は、sinの速い振動成分を表します。
青線は、cosのゆっくりとした振動成分だけを書いたもの。
赤線の速い振動の振幅が青線のようにゆっくりと大きくなったり、小さくなったりして、
うなりが生じることが分かります。

よく見ると、うなりの振動周期は、cosの半周期になっているのがわかりますので、
うなりの周波数 fbeat は、f- の2倍となります。
すなわち、
beateq08.jpg
ということになります。
この例では、うなりの周波数は、fbeat = 110 - 100 = 10 (Hz)

ここでの結論としては、
うなりの周波数(振動数)は2つの音の周波数の差になる
ということですね。

次回は、倍音について。

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17 : 41 : 02 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
♪ 純正律と平均律 (1)
2010 / 02 / 23 ( Tue )
最近、音律に興味を持って、勉強中!
といっても、主にWikipediaで適当に調べてるだけですが。
ピアノに役立てようというのではなくて、単なる興味です。

そもそも、純正律のよりどころである
「周波数が簡単な整数比になるほど、和音の響きが美しい」
って、なぜなんでしょう?


美しいというのは心理的効果もあるので、
そんなこと考えたらいけないのかもしれませんが、
調べてみると、周波数比が簡単な整数になると、
倍音のうなりが少なくなるそうですね。
ちょっと、考察してみたいなと思っています。

実は、昔からもっと気になっていることがあります。
純正律で決めた音階が平均律で近似できるというのは、
すごい偶然なのでしょうか?それとも必然なのでしょうか?


・・・って、これだけじゃ、何が言いたいのか分かりませんよね。
そもそも、純正律で音階を決めたとき、それが周波数的に等比数列に近いから、
すべての調でうまくいくように、平均律でごまかすことができるわけですよね。
それでは、等比数列に近くなったというのは、すごい偶然なのでしょうか?

ピタゴラス音律で、完全5度上がっていくごとに音階を決めていって、
12個の半音階が構成できるのは、
完全5度の間の半音の数7とオクターブの間の半音の数12が
互いに素(1以外の共通の約数を持たない)であるから。


それもかなり上手くいっている話だなあとは思うのですが、
互いに素な数の組み合わせなんて、いくらでもあるので、
他の数の組み合わせでも音律は構成できたのでしょうか?
それとも、この7と12の組み合わせだけが絶妙だったのでしょうか?

少し、考察してみたいなあと思っています。
と言っても、今回は答がわかっているわけではなく、
本当にこれから考えてみようと思っているので、
結局分からないままという可能性もあります。
期待しないでくださいね!

それから、音楽理論は全然学んだことないので、
いい加減きわまりないです。
そもそも、考え方が間違っているかもしれませんし、
用語の使い方がおかしいかもしれません。ご了承ください!

それでは、次回から、本題に入ろうと思います。

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23 : 15 : 18 | 音楽理論 | コメント(2) | page top↑
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